Berezin积分 / Berezin integral

Woit · §30.1 The Grassmann algebra of polynomials on anticommuting generators

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机器草稿中的定义提及

A notion of integration (often called the “Berezin integral”) with many of the usual properties of an integral can also be defined. It has the peculiar feature of being the same operation as diferentiation, defined in the $n=1$ case by

$$\int (c_0+c_1\xi )d\xi =c_1$$

and for larger n by

$$\int F\left({\xi }_1,{\xi }_2,\dots ,{\xi }_n\right)d{\xi }_{1}d{\xi }_2\dots d{\xi }_n=\frac{\partial }{\partial {\xi }_n}\frac{\partial }{\partial {\xi }_{n-1}}\dots \frac{\partial }{\partial {\xi }_1}F=c_n$$

where $c_n$ is the coeficient of the basis element ${\xi }_1{\xi }_2\cdot \cdot \cdot {\xi }_n$ in the expression of $F$ in terms of basis elements.

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正文：英文 OCR 草稿

来源版本：2025-10-20

原文位置：§30.1；PDF 页 345；印刷页 328

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中文机译草稿

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机器草稿中的定义提及

也可以定义一种积分概念（通常称为“Berezin 积分”），它具有通常积分的许多性质。它有一个奇特的特征，即与微分是同一运算，在 $n=1$ 情形下由下式定义

$$\int (c_0+c_1\xi )d\xi =c_1$$

而对于更大的$n$，由

$$\int F\left({\xi }_1,{\xi }_2,\dots ,{\xi }_n\right)d{\xi }_{1}d{\xi }_2\dots d{\xi }_n=\frac{\partial }{\partial {\xi }_n}\frac{\partial }{\partial {\xi }_{n-1}}\dots \frac{\partial }{\partial {\xi }_1}F=c_n$$

其中$c_n$是$F$用基元素表示时基元素${\xi }_1{\xi }_2\cdot \cdot \cdot {\xi }_n$的系数。

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