复Clifford代数 / Complex clifford algebra

Woit · §28.1 The Complex Weyl and Cliford algebras

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Definition (Complex Cliford algebra, one degree of freedom)

The complex Cliford algebra in the one degree of freedom case is the algebra $\mathrm{Cliff}(2,\mathbf{C})$ generated by the elements $1,a_F,a_F^{†}$ , subject to the canonical anticommutation relations $(CAR)$

$$[a_F,a_F^{†}{]}_{+}=1,[a_F,a_F{]}_{+}=[a_F^{†},a_F^{†}{]}_{+}=0$$

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定义（复克利福德代数，一个自由度）

在一个自由度情形下的复克利福德代数是由元素 $1,a_F,a_F^{†}$ 生成的代数 $\mathrm{Cliff}(2,\mathbf{C})$，并满足正则反交换关系 $(CAR)$

$$[a_F,a_F^{†}{]}_{+}=1,[a_F,a_F{]}_{+}=[a_F^{†},a_F^{†}{]}_{+}=0$$

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Definition (Complex Cliford algebras, using annihilation and creation operators)

The complex Cliford algebra for $d$ degrees of freedom is the algebra $\mathrm{Cliff}(2d,\mathbf{C})$ generated by $1,a_{Fj},a_{Fj}†forj=1,2,...,d$ satisfying the CAR

$$[a_{Fj},a_{Fk}^{†}{]}_{+}={\delta }_{jk}1,[a_{Fj},a_{Fk}{]}_{+}=[a_{Fj}^{†},a_{Fk}^{†}{]}_{+}=0$$

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定义（复克利福德代数，使用湮灭算符与产生算符）

对于 $d$ 个自由度，复克利福德代数是满足 CAR 的、由 $1,a_{Fj},a_{Fj}†forj=1,2,...,d$ 生成的代数 $\mathrm{Cliff}(2d,\mathbf{C})$

$$[a_{Fj},a_{Fk}^{†}{]}_{+}={\delta }_{jk}1,[a_{Fj},a_{Fk}{]}_{+}=[a_{Fj}^{†},a_{Fk}^{†}{]}_{+}=0$$

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Definition (Complex Cliford algebras)

The complex Cliford algebra in $n$ variables is the algebra $\mathrm{Cliff}(n,\mathbf{C})$ generated by 1, ${\gamma }_j$ for $j=1,2,\dots ,n$ satisfying the relations

$$[{\gamma }_j,{\gamma }_k{]}_{+}=2{\delta }_{jk}$$

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定义（复克利福德代数）

在 $n$ 个变量中的复克利福德代数是代数 $\mathrm{Cliff}(n,\mathbf{C})$，它由 1、${\gamma }_j$（对于 $j=1,2,\dots ,n$）生成，并满足关系

$$[{\gamma }_j,{\gamma }_k{]}_{+}=2{\delta }_{jk}$$

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