四元数 / Quaternion

Woit · §6.2 Spin groups in three and four dimensions

此来源组尚无已登记的原著转录；机器草稿摘录供阅读导航使用，不作为原著证据。

英文 OCR 草稿

The source introduces quaternion multiplication, conjugation, norm, and unit quaternions; machine-draft status remains.

机器草稿中的相关讨论摘录

The quaternions are a number system (denoted by $H$) generalizing the complex number system, with elements $q\in \mathbf{H}$ that can be written as

$$q=q_0+q_1\mathbf{i}+q_2\mathbf{j}+q_3\mathbf{k},q_j\in \mathbf{R}$$

with $i$, $j$, $k$ $\eta \in \mathbf{H}$ satisfying

$${\mathbf{i}}^2={\mathbf{j}}^2={\mathbf{k}}^2=-1,\mathbf{ij}=-\mathbf{ji}=\mathbf{k},\mathbf{ki}=-\mathbf{ik}=\mathbf{j},\mathbf{jk}=-\mathbf{kj}=\mathbf{i}$$

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正文：英文 OCR 草稿

来源版本：2025-10-20

原文位置：§6.2；PDF 页 83；印刷页 66

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中文机译草稿

本处按 PDF 核对术语及讨论角色；OCR 和机译仍为未审校机器稿。

机器草稿中的相关讨论摘录

四元数是一个数系（记作$H$），它推广了复数系，其元素$q\in \mathbf{H}$可写成

$$q=q_0+q_1\mathbf{i}+q_2\mathbf{j}+q_3\mathbf{k},q_j\in \mathbf{R}$$

其中$i$、$j$、$k$满足$\eta \in \mathbf{H}$

$${\mathbf{i}}^2={\mathbf{j}}^2={\mathbf{k}}^2=-1,\mathbf{ij}=-\mathbf{ji}=\mathbf{k},\mathbf{ki}=-\mathbf{ik}=\mathbf{j},\mathbf{jk}=-\mathbf{kj}=\mathbf{i}$$

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正文：中文机译草稿

来源版本：2025-10-20

原文位置：§6.2；PDF 页 83；印刷页 66

处理记录：MinerU OCR；machine-translation/deepseek-v4.1-flash

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Woit · §6.3 A summary

此来源组尚无已登记的原著转录；机器草稿摘录供阅读导航使用，不作为原著证据。

英文 OCR 草稿

The author names unit quaternions as an explicit construction of Spin(3). OCR and translation remain machine-draft-not-reviewed.

机器草稿中的相关讨论摘录

$Spin(3)$ , which geometrically is the space $S^3$ . Its Lie algebra is ${\mathbf{R}}^3$ with Lie bracket the cross-product. We have seen two diferent explicit constructions of $Spin(3)$ , in terms of unit quaternions $(Sp(1))$ , and in terms of 2 by 2 unitary matrices of determinant 1 $\left(SU(2)\right)$ ).

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正文：英文 OCR 草稿

来源版本：2025-10-20

原文位置：§6.3；PDF 页 90；印刷页 73

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中文机译草稿

作者将单位四元数列为 Spin(3) 的一种显式构造。 OCR and translation remain machine-draft-not-reviewed.

机器草稿中的相关讨论摘录

$Spin(3)$，在几何上就是空间$S^3$。其李代数是${\mathbf{R}}^3$，李括号为叉积。我们已经看到$Spin(3)$的两种不同的显式构造，一种用单位四元数$(Sp(1))$，另一种用行列式为1的2乘2酉矩阵$\left(SU(2)\right)$）。

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正文：中文机译草稿

来源版本：2025-10-20

原文位置：§6.3；PDF 页 90；印刷页 73

处理记录：MinerU OCR；machine-translation/deepseek-v4.1-flash

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Woit · §7.1 The spinor representation

此来源组尚无已登记的原著转录；机器草稿摘录供阅读导航使用，不作为原著证据。

英文 OCR 草稿

The author discusses the unit-quaternion action of Sp(1). OCR and translation remain machine-draft-not-reviewed.

机器草稿中的相关讨论摘录

In the $SU(2)$ and $Sp(1)$ cases, there is an even simpler non-trivial irreducible representation than the adjoint: the representation of 2 by 2 complex matrices in $SU(2)$ on column vectors ${\mathbf{C}}^2$ by matrix multiplication or the representation of unit quaternions in $Sp(1)$ on $H$ by scalar multiplication.

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正文：英文 OCR 草稿

来源版本：2025-10-20

原文位置：§7.1；PDF 页 92；印刷页 75

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中文机译草稿

作者讨论 Sp(1) 中单位四元数的标量乘法作用。 OCR and translation remain machine-draft-not-reviewed.

机器草稿中的相关讨论摘录

在$SU(2)$和$Sp(1)$的情形中，存在一个比伴随表示更简单的非平凡不可约表示：$SU(2)$中的2乘2复矩阵通过矩阵乘法作用在列向量${\mathbf{C}}^2$上的表示，或者$Sp(1)$中的单位四元数通过标量乘法作用在$H$上的表示。

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正文：中文机译草稿

来源版本：2025-10-20

原文位置：§7.1；PDF 页 92；印刷页 75

处理记录：MinerU OCR；machine-translation/deepseek-v4.1-flash

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