实Clifford代数 / Real clifford algebra

Woit · §28.2 Real Cliford algebras

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Definition (Real Cliford algebras)

The real Cliford algebra in $n$ variables is the algebra Clif(n, $R$) generated over the real numbers by $1,{\gamma }_{j}forj=1,2,\dots ,n$ satisfying the relations

$$[{\gamma }_j,{\gamma }_k{]}_{+}=2{\delta }_{jk}$$

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Definition (Real Cliford algebras, arbitrary signature)

The real Cliford algebra in $n=r+s$ variables is the algebra $\mathrm{Cliff}(r,s,\mathbf{R})$ over the real numbers generated by $1,{\gamma }_{j}forj=1,2,...,n$ satisfying the relations

$$[{\gamma }_j,{\gamma }_k{]}_{+}=\pm 2{\delta }_{jk}1$$

where we choose $the+sign$ when $j=k=1,\dots ,r$ and the − sign when $j=k=$ $r+1,\dots ,n.$

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定义（实克利福德代数）

在 $n$ 个变量中的实克利福德代数是代数 Clif($n$, $R$)，它由 $1,{\gamma }_{j}forj=1,2,\dots ,n$ 在实数上生成，并满足关系

$$[{\gamma }_j,{\gamma }_k{]}_{+}=2{\delta }_{jk}$$

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定义（实克利福德代数，任意符号差）

在 $n=r+s$ 个变量中的实克利福德代数是实数域上由 $1,{\gamma }_{j}forj=1,2,...,n$ 生成的代数 $\mathrm{Cliff}(r,s,\mathbf{R})$，满足关系

$$[{\gamma }_j,{\gamma }_k{]}_{+}=\pm 2{\delta }_{jk}1$$

其中当 $j=k=1,\dots ,r$ 时我们选取 $the+sign$，而当 $j=k=$ $r+1,\dots ,n.$ 时选取 − 符号

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