微分形式 / Differential form

Woit · §30.1 The Grassmann algebra of polynomials on anticommuting generators

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Digression (Diferential forms). Readers may have already seen the Grassmann algebra in the context of diferential forms on ${\mathbf{R}}^n$ . These are known to physicists as “antisymmetric tensor ${fields}^{\prime \prime }$ , and given by taking elements of the exterior algebra ${\mathbf{\Lambda }}^{\ast }({\mathbf{R}}^n)$ with coeficients not constants, but functions on ${\mathbf{R}}^n$ This construction is important in the theory of manifolds, where at a point $x$ in a manifold $M$, one has a tangent space $T_{x}M$ and its dual space $(T_{x}M{)}^{\ast }.A$ set of local coordinates $x_j$ on $M$ gives basis elements of $(T_{x}M{)}^{\ast }$ denoted by dx_$j$ and diferential forms locally can be written as sums of terms of the form

$$f(x_1,x_2,\dots ,x_n)d{x}_j\wedge \cdots \wedge d{x}_k\wedge \cdots \wedge d{x}_l$$

where the indices $j,k,l$ satisfy $1\le j<k<l\le n$

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来源版本：2025-10-20

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题外话（微分形式）。读者可能已经在 ${\mathbf{R}}^n$ 上微分形式的语境中见过格拉斯曼代数。物理学家将这些称为“反对称张量 ${fields}^{\prime \prime }$”，其给出方式是取外代数 ${\mathbf{\Lambda }}^{\ast }({\mathbf{R}}^n)$ 的元素，其系数不是常数，而是 ${\mathbf{R}}^n$ 上的函数。这一构造在流形理论中很重要，其中在流形 $M$ 中的一点 $x$ 处，有切空间 $T_{x}M$ 及其对偶空间 $(T_{x}M{)}^{\ast }.A$；$M$ 上的一组局部坐标 $x_j$ 给出 $(T_{x}M{)}^{\ast }$ 的基元素，记作 dx_$j$，而微分形式在局部可以写成如下形式的项之和

$$f(x_1,x_2,\dots ,x_n)d{x}_j\wedge \cdots \wedge d{x}_k\wedge \cdots \wedge d{x}_l$$

其中指标$j,k,l$满足$1\le j<k<l\le n$

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