Hodge拉普拉斯算符 / Laplacian operator on differential forms

Woit · §33.3 Supersymmetric quantum mechanics and diferential forms

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the tensor product of complex-valued functions on ${\mathbf{R}}^d$ (acted on by the Weyl algebra $\mathrm{Weyl}(2d,\mathbf{C}))$ and anticommuting functions on ${\mathbf{C}}^d$ (acted on by the Cliford algebra $\mathrm{Cliff}(2d,\mathbf{C}))$ . There are two operators $Q_{+}$ and $Q_{-},$ adjoints of each other and of square zero. If one has studied diferential forms, this should look familiar. This space $\mathcal{H}$ is well known to mathematicians, as the complexvalued diferential forms on ${\mathbf{R}}^d.$ , often written ${\Omega }^{\ast }({\mathbf{R}}^d)$ , where here the ^∗ denotes an index taking values from 0 (the 0-forms, or functions) to d (the d-forms). In the theory of diferential forms, it is well known that one has an operator $d$ on ${\Omega }^{\ast }({\mathbf{R}}^d)$ with square zero, called the de Rham diferential. Using the inner product on ${\mathbf{R}}^d$ , a Hermitian inner product can be put on ${\Omega }^{\ast }({\mathbf{R}}^d)$ by integration, and then d has an adjoint $\delta ,$ also of square zero. The Laplacian operator on diferential forms is$$ \Box = (d + \delta) ^ {2}

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正文：英文 OCR 草稿

来源版本：2025-10-20

原文位置：§33.3；PDF 页 373、374；印刷页 356、357

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${\mathbf{R}}^d$ 上复值函数的张量积（受 Weyl 代数 $\mathrm{Weyl}(2d,\mathbf{C}))$ 作用）与 ${\mathbf{C}}^d$ 上反交换函数的张量积（受 Clifford 代数 $\mathrm{Cliff}(2d,\mathbf{C}))$ 作用）。有两个算符 $Q_{+}$ 和 $Q_{-},$，它们互为伴随且平方为零。如果学过微分形式，这应当看起来很熟悉。这个空间 $\mathcal{H}$ 为数学家所熟知，即 ${\mathbf{R}}^d.$ 上的复值微分形式，常写作 ${\Omega }^{\ast }({\mathbf{R}}^d)$，其中这里的 ^∗ 表示一个指标，取值从 0（0-形式，或函数）到 $d$（$d$-形式）。在微分形式理论中，众所周知，${\Omega }^{\ast }({\mathbf{R}}^d)$ 上有一个平方为零的算符 $d$，称为 de Rham 微分。利用 ${\mathbf{R}}^d$ 上的内积，可以通过积分在 ${\Omega }^{\ast }({\mathbf{R}}^d)$ 上赋予一个厄米内积，于是 $d$ 有一个伴随 $\delta ,$，同样平方为零。微分形式上的拉普拉斯算符是$$ \Box = (d + \delta) ^ {2}

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正文：中文机译草稿

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