欧拉角 / Euler angle

Woit · §6.1 The rotation group in three dimensions

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英文 OCR 草稿

The author uses Euler angles as a parametrization; discussion only. OCR and translation remain machine-draft-not-reviewed.

机器草稿中的相关讨论摘录

A standard parametrization for elements of $SO(3)$ is in terms of 3 “Euler angles” $\varphi ,\theta ,$ $\psi$ with a general rotation given by

$$R(\varphi ,\theta ,\psi )=R(\psi ,{\mathbf{e}}_3)R(\theta ,{\mathbf{e}}_1)R(\varphi ,{\mathbf{e}}_3)\text{\hspace{1em}(6.1)}$$

i.e., first a rotation about the z-axis by an angle $\varphi ,$ then a rotation by an angle $\theta$ about the new x-axis, followed by a rotation by $\psi$ about the new $z-$ axis. Multiplying out the matrices gives a rather complicated expression for a rotation in terms of the three angles, and one needs to figure out what range to choose for the angles to avoid multiple counting.

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正文：英文 OCR 草稿

来源版本：2025-10-20

原文位置：§6.1；PDF 页 80；印刷页 63

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中文机译草稿

The author uses Euler angles as a parametrization; discussion only. OCR and translation remain machine-draft-not-reviewed.

机器草稿中的相关讨论摘录

$SO(3)$ 中元素的一种标准参数化是借助 3 个“欧拉角” $\varphi ,\theta ,$ $\psi$ 来表示，其中一般旋转由下式给出

$$R(\varphi ,\theta ,\psi )=R(\psi ,{\mathbf{e}}_3)R(\theta ,{\mathbf{e}}_1)R(\varphi ,{\mathbf{e}}_3)\text{\hspace{1em}(6.1)}$$

即，首先绕$z$轴旋转角度$\varphi ,$，然后绕新的$x$轴旋转角度$\theta$，接着绕新的$z-$轴旋转$\psi$。将矩阵乘开后会得到一个用三个角表示的相当复杂的旋转表达式，并且需要弄清楚应选择什么值域来避免重复计数。

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正文：中文机译草稿

来源版本：2025-10-20

原文位置：§6.1；PDF 页 80；印刷页 63

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