正交复结构 / Orthogonal complex structure

Woit · §31.4 Complex structures, U(d) SO(2 d) and the spinor representation

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英文 OCR 草稿

Source specifies the compatibility condition that the complex structure preserves the positive symmetric inner product, distinct from symplectic compatibility.

机器草稿中的定义提及

The construction of the spinor representation given here has used a specific choice of the ${\theta }_j,{\overline{\theta }}_j$ (see equations 31.2) and the fermionic annihilation and creation operators. This corresponds to a standard choice of complex structure $J_0$ , which appears in a manner closely parallel to that of the Bargmann-Fock case of section 26.1. The diference here is that, for the analogous construction of spinors, the complex structure J must be chosen so as to preserve not an antisymmetric bilinear form Ω, but the inner product, and one has

$$(J(\cdot ),J(\cdot ))=(\cdot ,\cdot )$$

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正文：英文 OCR 草稿

来源版本：2025-10-20

原文位置：§31.4；PDF 页 361；印刷页 344

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中文机译草稿

Source specifies the compatibility condition that the complex structure preserves the positive symmetric inner product, distinct from symplectic compatibility.

机器草稿中的定义提及

这里给出的旋量表示的构造使用了 ${\theta }_j,{\overline{\theta }}_j$ 的一个特定选择（见方程 31.2）以及费米子湮灭和产生算符。这对应于复结构 $J_0$ 的一种标准选择，其出现方式与 26.1 节的 Bargmann-Fock 情形密切平行。这里的区别在于，对于旋量的类似构造，必须选择复结构 $J$，使其保持的不是反对称双线性形式 Ω，而是内积，并且有

$$(J(\cdot ),J(\cdot ))=(\cdot ,\cdot )$$

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