正交反射 / Orthogonal reflection

Woit · §29.2 Cliford algebras and geometry

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英文 OCR 草稿

The same source passage defines orthogonal reflection by its explicit hyperplane formula.

机器草稿中的定义提及

We’ll consider two diferent ways of seeing the relationship between the Cliford algebra $\mathrm{Cliff}(n,\mathbf{R})$ and the group $O(n)$ of rotations in ${\mathbf{R}}^n$ . The first is based upon the geometrical fact (known as the Cartan-Dieudonn´e theorem) that one can get any rotation by doing at most n orthogonal reflections in diferent hyperplanes. Orthogonal reflection in the hyperplane perpendicular to a vector $w$ takes a vector $\mathbf{v}$ to the vector

$${\mathbf{v}}^{\prime }=\mathbf{v}-2\frac{(\mathbf{v},\mathbf{w})}{(\mathbf{w},\mathbf{w})}\mathbf{w}$$

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正文：英文 OCR 草稿

来源版本：2025-10-20

原文位置：§29.2；PDF 页 339；印刷页 322

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中文机译草稿

The same source passage defines orthogonal reflection by its explicit hyperplane formula.

机器草稿中的定义提及

我们将考虑两种不同的方式来看待克利福德代数 $\mathrm{Cliff}(n,\mathbf{R})$ 与 ${\mathbf{R}}^n$ 中旋转群 $O(n)$ 之间的关系。第一种方式基于一个几何事实（称为 Cartan-Dieudonné e 定理）：通过在不同超平面中至多进行 $n$ 次正交反射，可以得到任意旋转。关于垂直于向量 $w$ 的超平面的正交反射，将向量 $\mathbf{v}$ 变为向量

$${\mathbf{v}}^{\prime }=\mathbf{v}-2\frac{(\mathbf{v},\mathbf{w})}{(\mathbf{w},\mathbf{w})}\mathbf{w}$$

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