Woit · §5.4 Lie algebra representations
英文原文
The author names Lie algebra representations that arise from group representations as integrable and gives the U(1) condition.
原文相关讨论摘录
This theorem shows that we can study Lie group representations by studying the corresponding Lie algebra representation . This will generally be much easier since the are linear maps. Unlike the non-linear maps , the map is determined by its value on basis elements of . The will satisfy the same bracket relations as the (see equation 5.2). We will proceed in this manner in chapter 8 when we construct and classify all and representations, finding that the corresponding Lie algebra representations are much simpler to analyze. Note though that representations of the Lie algebra do not necessarily correspond to representations of the group (when they do they are called “integrable”). For a simple example, looking at the proof of theorem 2.3, one gets unitary representations of the Lie algebra of for any value of the constant , but these are only representations of the group when is integral.
来源与版本
正文：英文原文
来源版本：2025-10-20
原文位置：§5.4；PDF 页 74；印刷页 57
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中文译文
作者将来自群表示的李代数表示称为可积表示，并以 U(1) 给出条件。
译文摘录
该定理表明，我们可以通过研究相应的李代数表示 来研究李群表示 。这通常会容易得多，因为 是线性映射。与非线性映射 不同，映射 由其在 的基元素 上的值决定。 将满足与 相同的括号关系（见方程 5.2）。我们将在第 8 章中按照这种方式进行，届时我们将构造并分类所有 和 表示，并发现相应的李代数表示分析起来要简单得多。但请注意，李代数 的表示不一定对应于群 的表示（当它们对应时，被称为“可积的”）。举一个简单的例子，考察定理 2.3 的证明，对于常数 的任意值，人们可以得到 的李代数的酉表示，但这些表示只有在 为整数时才是群 的表示。
来源与版本
正文：中文译文
来源版本：2025-10-20
原文位置：§5.4；PDF 页 74；印刷页 57
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