李超代数 / Lie superalgebra

Woit · §30.2 Pseudo-classical mechanics and the fermionic Poisson bracket

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Definition (Lie superalgebra)

A Lie superalgebra structure on a real or complex vector space $V$ is given by a Lie superbracket $[\cdot ,\cdot {]}_{\pm }$ . This is a bilinear map on $V$ which on generators $X,Y,Z$ (which may be usual or fermionic ones) satisfies

$$[X,Y{]}_{\pm }=-(-1{)}^{|X||Y|}[Y,X{]}_{\pm }$$

and a super-Jacobi identity

$$[X,[Y,Z{]}_{\pm }{]}_{\pm }=[[X,Y{]}_{\pm },Z{]}_{\pm }+(-1{)}^{|X||Y|}[Y,[X,Z{]}_{\pm }{]}_{\pm }$$

where |X| takes value 0 for a usual generator, 1 for a fermionic generator.

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正文：英文 OCR 草稿

来源版本：2025-10-20

原文位置：§30.2；PDF 页 347、348；印刷页 330、331

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定义（李超代数）

实或复向量空间 $V$ 上的李超代数结构由一个李超括号 $[\cdot ,\cdot {]}_{\pm }$ 给出。这是一个在 $V$ 上的双线性映射，它在生成元 $X,Y,Z$（可以是通常的或费米子的）上满足

$$[X,Y{]}_{\pm }=-(-1{)}^{|X||Y|}[Y,X{]}_{\pm }$$

以及一个超雅可比恒等式

$$[X,[Y,Z{]}_{\pm }{]}_{\pm }=[[X,Y{]}_{\pm },Z{]}_{\pm }+(-1{)}^{|X||Y|}[Y,[X,Z{]}_{\pm }{]}_{\pm }$$

其中 |$X$| 对于通常的生成元取值为 0，对于费米子生成元取值为 1。

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