Einstein求和约定 / Einstein summation convention

Woit · §40.1 Minkowski space

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Digression (Upper and lower indices). In many physics texts it is conventional in discussions of special relativity to write formulas using both upper and lower indices, related by

$$x_{\mu }=\sum _{\nu =0}^3{\eta }_{\mu \nu }{x}^{\nu }={\eta }_{\mu \nu }{x}^{\nu }$$

with the last form of this using the Einstein summation convention.

One motivation for introducing both upper and lower indices is that special relativity is a limiting case of general relativity, which is a fully geometrical theory based on taking space-time to be a manifold $M$ with a metric g that varies from point to point. In such a theory it is important to distinguish between elements of the tangent space $T_x(M)$ at a point $x\in M$ and elements of its dual, the co-tangent space $T_x^{\ast }(M)$ , while using the fact that the metric g provides an inner product on $T_x(M)$ and thus an isomorphism $T_x(M)\simeq T_x^{\ast }(M)$ . In the special relativity case, this distinction between $T_x(M)$ and $T_x^{\ast }(M)$ just comes down to an issue of signs, but the upper and lower index notation is useful for keeping track of those.

A second motivation is that position and momenta naturally live in dual vector spaces, so one would like to distinguish between the vector space $M^4$ of positions and the dual vector space of momenta. In the case though of a vector space like $M^4$ which comes with a fixed inner product ${\eta }_{\mu \nu }$ , this inner product gives a fixed identification of $M^4$ and its dual, an identification that is also an identification as representations of the Lorentz group. Given this fixed identification, we will not here try and distinguish by notation whether a vector is in $M^4$ or its dual, so will just use lower indices, not both upper and lower indices.

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来源版本：2025-10-20

原文位置：§40.1；PDF 页 443、444；印刷页 426、427

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题外话（上指标与下指标）。在许多物理学文献中，在讨论狭义相对论时，习惯上使用上指标和下指标来书写公式，二者通过以下关系相联系：

$$x_{\mu }=\sum _{\nu =0}^3{\eta }_{\mu \nu }{x}^{\nu }={\eta }_{\mu \nu }{x}^{\nu }$$

其中最后一个形式使用了爱因斯坦求和约定。

引入上指标与下指标的一个动机是：狭义相对论是广义相对论的极限情形，而广义相对论是一种完全几何化的理论，其基础是把时空视为一个流形 $M$，并带有一个逐点变化的度量 $g$。在这样的理论中，重要的是区分点 $x\in M$ 处的切空间 $T_x(M)$ 的元素与其对偶余切空间 $T_x^{\ast }(M)$ 的元素，同时利用度量 $g$ 在 $T_x(M)$ 上给出一个内积，从而给出一个同构 $T_x(M)\simeq T_x^{\ast }(M)$ 这一事实。在狭义相对论的情形中，$T_x(M)$ 与 $T_x^{\ast }(M)$ 之间的这种区分仅仅归结为一个符号问题，但上指标与下指标记号对于跟踪这些符号很有用。

第二个动机是位置与动量自然地生活在对偶向量空间中，因此人们希望区分位置向量空间$M^4$与动量的对偶向量空间。然而，对于像$M^4$这样带有固定内积${\eta }_{\mu \nu }$的向量空间，这个内积给出了$M^4$与其对偶的一个固定等同，这个等同同时也是作为洛伦兹群的表示的等同。鉴于这个固定的等同，我们在此不会试图通过记号来区分一个向量是在$M^4$中还是在其对偶中，因此将只使用下指标，而不是同时使用上指标和下指标。

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