一般线性群 / General linear group

Woit · §1.3 Unitary group representations

原文中文译文对照

中文译文

GL(V) is identified as the group of invertible linear maps V to itself.

译文摘录

其中 $GL(V)$ 是可逆线性映射 $V\to V$ 构成的群，而 $V$ 是一个向量空间。

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正文：中文译文

来源版本：2025-10-20

原文位置：§1.3；PDF 页 23、24、25、26、27；印刷页 6、7、8、9、10

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Woit · §4.1 Vector spaces and linear maps

原文中文译文对照

中文译文

Invertible linear operators form the general linear group; a basis identifies it with the group of invertible matrices.

译文摘录

读者应当注意，我们常常不会在记号上区分线性算符 $L$ 与其在某个未指定基下的、矩阵元为 $L_{jk}$ 的矩阵，因为我们通常关心的是算符 $L$ 的、对于相应矩阵而言与基无关的性质（例如，该算符或矩阵是否可逆？）。$V$ 上的可逆线性算符在复合下构成一个群，我们有时将这个群记作 $GL(V)$，其中“GL”表示“General Linear”。选取一组基将这个群与可逆矩阵群等同起来，其群法则为矩阵乘法。当 $V$ 为 $n$ 维时，在实情形下我们将这个群记作 $GL(n,\mathbf{R})$，在复情形下记作 $GL(n,\mathbf{C})$。

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正文：中文译文

来源版本：2025-10-20

原文位置：§4.1；PDF 页 52；印刷页 35

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Woit · §5.3 A summary

原文中文译文对照

中文译文

本节回顾前文已经介绍的一般线性群。

译文摘录

• 一般线性群 $\mathcal{G}\mathcal{L}(n,\mathbf{R})$ 和 $GL(n,\mathbf{C})$ 分别是所有元素为实数或复数的可逆矩阵构成的群。它们的李代数分别是 $\mathfrak{gl}(n,\mathbf{R})=M(n,\mathbf{R})$ 和 $\mathfrak{gl}(n,\mathbf{C})=M(n,\mathbf{C})$。这些是所有 $n$ 乘 $n$ 矩阵构成的向量空间，其李括号为矩阵对易子。其他李群将是这些群的子群，其李代数将是这些李代数的李子代数。

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正文：中文译文

来源版本：2025-10-20

原文位置：§5.3；PDF 页 70、71；印刷页 53、54

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