非退化双线性形式 / Non-degenerate bilinear form

Woit · §29.1 Non-degenerate bilinear forms

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英文 OCR 草稿

Discussion of the normal form of a nondegenerate antisymmetric bilinear form; no invented kernel-based definition.

机器草稿中的相关讨论摘录

This choice of Ω is much less arbitrary than it looks. One can show that given any non-degenerate antisymmetric bilinear form on ${\mathbf{R}}^{2d}$ a basis can be found with respect to which it will be the Ω given here (for a proof, see [8]). This is also true if one complexifies ${\mathbf{R}}^{2d}$ , using the same formula for Ω, which is now a bilinear form on ${\bar{\mathbf{C}}}^{2d}$ . In the real case the group that preserves Ω is called $Sp(2d,\mathbf{R})$ , in the complex case $Sp(2d,\mathbf{C})$

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正文：英文 OCR 草稿

来源版本：2025-10-20

原文位置：§29.1；PDF 页 336；印刷页 319

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中文机译草稿

Discussion of the normal form of a nondegenerate antisymmetric bilinear form; no invented kernel-based definition.

机器草稿中的相关讨论摘录

这个对Ω的选择远比它看起来要不任意。可以证明，给定${\mathbf{R}}^{2d}$上任意非退化反对称双线性形式，都能找到一组基，使得它相对于这组基就是此处给出的Ω（证明见[8]）。如果对${\mathbf{R}}^{2d}$做复化，并使用同一个公式定义Ω，这一点同样成立，此时它是${\bar{\mathbf{C}}}^{2d}$上的双线性形式。在实情形下，保持Ω的群称为$Sp(2d,\mathbf{R})$；在复情形下则称为$Sp(2d,\mathbf{C})$。

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