Woit · §3 Two-state Systems and SU(2)
英文原文
The chapter overview identifies SU(2) as the determinant-one subgroup of U(2).
原文相关讨论摘录
In this chapter we will analyze what happens for general quantum systems with by first finding the possible observables. Exponentiating these will give the group of unitary 2 by 2 matrices acting on . This is a specific representation of , the “defining” representation. By restricting to the subgroup of elements of determinant one, one gets a representation of on often called the “spin ” representation.
来源与版本
正文：英文原文
来源版本：2025-10-20
原文位置：§3；PDF 页 41、42；印刷页 24、25
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核对状态：AI 辅助转录核对，未作人工审阅或数学审稿
来源 PDF SHA-256：5a1941b2443b54d5db3d055f1e5ba390429b7a728475258017aaac87ee85a837
中文译文
The chapter overview identifies SU(2) as the determinant-one subgroup of U(2).
译文摘录
在本章中，我们将分析具有 的一般量子系统会发生什么，首先找出可能的可观测量。将这些可观测量指数化，将得到作用在 上的 2 乘 2 酉矩阵构成的群 。这是 的一个具体表示，即“定义”表示。通过限制到行列式为 1 的元素构成的子群 ，就得到 在 上的一个表示，通常称为“自旋 ”表示。
来源与版本
正文：中文译文
来源版本：2025-10-20
原文位置：§3；PDF 页 41、42；印刷页 24、25
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核对状态：译文尚未审核
Woit · §3.1 The two-state quantum system
英文原文
The main section first discusses the full SU(2) group acting on the two-state system before its explicit characterization.
原文相关讨论摘录
For the other two cases and , by a change of basis either one could be put in the same diagonal form, but doing this for one value of makes the other two no longer diagonal. To understand the action on , one needs to consider not just the subgroups, but the full three dimensional group one gets by exponentiating general linear combinations of Pauli matrices.
来源与版本
正文：英文原文
来源版本：2025-10-20
原文位置：§3.1；PDF 页 42、43、44、45、46、47；印刷页 25、26、27、28、29、30
处理记录：PDF 文字层提取；MinerU OCR；AI 辅助转录对照
核对状态：AI 辅助转录核对，未作人工审阅或数学审稿
来源 PDF SHA-256：5a1941b2443b54d5db3d055f1e5ba390429b7a728475258017aaac87ee85a837
英文原文
The author identifies SU(2) as the unitary 2 by 2 matrices with determinant one.
原文定义摘录
So, we see that by exponentiating times linear combinations of the self-adjoint Pauli matrices (which all have trace zero), we get unitary matrices of determinant one. These are invertible, and form the group named , the group of unitary 2 by 2 matrices of determinant one. If we exponentiated not just , but for some real constant (such matrices will not have trace zero unless ) , we would get a unitary matrix with determinant . The group of all unitary 2 by 2 matrices is called . It contains as subgroups as well as the described at the beginning of this section. is slightly different from the product of these two subgroups, since the group element
来源与版本
正文：英文原文
来源版本：2025-10-20
原文位置：§3.1；PDF 页 46；印刷页 29
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核对状态：AI 辅助转录核对，未作人工审阅或数学审稿
来源 PDF SHA-256：5a1941b2443b54d5db3d055f1e5ba390429b7a728475258017aaac87ee85a837
中文译文
The main section first discusses the full SU(2) group acting on the two-state system before its explicit characterization.
译文摘录
对于另外两种情形 和 ，通过基变换，二者之一都可以化为相同的对角形式，但对 的某一个值这样做会使另外两者不再对角。要理解 在 上的作用，不仅需要考虑 子群，还需要考虑通过将 泡利矩阵的一般线性组合指数化而得到的完整三维 群。
来源与版本
正文：中文译文
来源版本：2025-10-20
原文位置：§3.1；PDF 页 42、43、44、45、46、47；印刷页 25、26、27、28、29、30
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中文译文
The author identifies SU(2) as the unitary 2 by 2 matrices with determinant one.
译文摘录
因此，我们看到，通过对 倍自伴泡利矩阵（它们全都有零迹）的线性组合取指数，我们得到行列式为 1 的酉矩阵。这些矩阵是可逆的，并构成名为 的群，即行列式为 1 的 2 乘 2 酉矩阵之群。如果我们不仅对 取指数，而是对某个实常数 的 取指数（除非 ，否则这样的矩阵不会有零迹），我们就会得到一个行列式为 的酉矩阵。所有 2 乘 2 酉矩阵构成的群称为 。它包含 以及本节开头描述的 作为子群。 与这两个子群的乘积略有不同，因为该群元素
来源与版本
正文：中文译文
来源版本：2025-10-20
原文位置：§3.1；PDF 页 46；印刷页 29
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核对状态：译文尚未审核
Woit · §5.3 A summary
英文原文
Section 5.3 summarizes the determinant-one subgroup of U(n) and its Lie algebra.
原文回顾摘录
- The special unitary group is the subgroup of of matrices of determinant one. Its Lie algebra is the Lie algebra of by skew-Hermitian matrices with trace zero.
来源与版本
正文：英文原文
来源版本：2025-10-20
原文位置：§5.3；PDF 页 71；印刷页 54
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来源 PDF SHA-256：5a1941b2443b54d5db3d055f1e5ba390429b7a728475258017aaac87ee85a837
中文译文
Woit · §6.3 A summary
此来源组尚无已登记的原著转录；机器草稿摘录供阅读导航使用，不作为原著证据。
英文 OCR 草稿
The author identifies determinant-one 2x2 unitary matrices with SU(2). OCR and translation remain machine-draft-not-reviewed.
机器草稿中的相关讨论摘录
, which geometrically is the space . Its Lie algebra is with Lie bracket the cross-product. We have seen two diferent explicit constructions of , in terms of unit quaternions , and in terms of 2 by 2 unitary matrices of determinant 1 ).
中文机译草稿
作者将行列式为 1 的 2×2 酉矩阵识别为 SU(2)。 OCR and translation remain machine-draft-not-reviewed.
机器草稿中的相关讨论摘录
，在几何上就是空间。其李代数是，李括号为叉积。我们已经看到的两种不同的显式构造，一种用单位四元数，另一种用行列式为1的2乘2酉矩阵）。
来源与版本
正文：中文机译草稿
来源版本：2025-10-20
原文位置：§6.3；PDF 页 90；印刷页 73
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核对状态：中文机译草稿 · 待校对
Woit · §6.4 For further reading
此来源组尚无已登记的原著转录；机器草稿摘录供阅读导航使用，不作为原著证据。