向量叉积 / Cross product

Woit · §6.1 The rotation group in three dimensions

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英文 OCR 草稿

The author relates the Lie bracket on R^3 to the cross product; discussion only. OCR and translation remain machine-draft-not-reviewed.

机器草稿中的相关讨论摘录

Note that these are exactly the same commutation relations (equation 3.5) satisfied by the basis vectors $X_1,X_2,X_3$ of the Lie algebra $\mathfrak{su}(2)$ , so $\mathfrak{so}(3)$ and $\mathfrak{su}(2)$ are isomorphic Lie algebras. They both are the vector space ${\mathbf{R}}^3$ with the same Lie bracket operation on pairs of vectors. This operation is familiar in yet another context, that of the cross-product of standard basis vectors ${\mathbf{e}}_j$ in ${\mathbf{R}}^3$ :

$${\mathbf{e}}_1\times {\mathbf{e}}_2={\mathbf{e}}_3,{\mathbf{e}}_2\times {\mathbf{e}}_3={\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_3\times {\mathbf{e}}_1={\mathbf{e}}_2$$

We see that the Lie bracket operation

$$(X,Y)\in {\mathbf{R}}^3\times {\mathbf{R}}^3\to [X,Y]\in {\mathbf{R}}^3$$

that makes ${\mathbf{R}}^3$ a Lie algebra $\mathfrak{so}(3)$ is the cross-product on vectors in ${\mathbf{R}}^3$

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正文：英文 OCR 草稿

来源版本：2025-10-20

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中文机译草稿

The author relates the Lie bracket on R^3 to the cross product; discussion only. OCR and translation remain machine-draft-not-reviewed.

机器草稿中的相关讨论摘录

注意，这些恰好就是李代数 $\mathfrak{su}(2)$ 的基向量 $X_1,X_2,X_3$ 所满足的同一组对易关系（方程 3.5），因此 $\mathfrak{so}(3)$ 与 $\mathfrak{su}(2)$ 是同构的李代数。它们都是向量空间 ${\mathbf{R}}^3$，并在向量对上具有相同的李括号运算。这一运算在另一个语境中也是熟悉的，即 ${\mathbf{R}}^3$ 中标准基向量 ${\mathbf{e}}_j$ 的叉积：

$${\mathbf{e}}_1\times {\mathbf{e}}_2={\mathbf{e}}_3,{\mathbf{e}}_2\times {\mathbf{e}}_3={\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_3\times {\mathbf{e}}_1={\mathbf{e}}_2$$

我们看到李括号运算

$$(X,Y)\in {\mathbf{R}}^3\times {\mathbf{R}}^3\to [X,Y]\in {\mathbf{R}}^3$$

这使得 ${\mathbf{R}}^3$ 成为一个李代数，$\mathfrak{so}(3)$ 是 ${\mathbf{R}}^3$ 中向量上的叉积。

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正文：中文机译草稿

来源版本：2025-10-20

原文位置：§6.1；PDF 页 81；印刷页 64

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Woit · §6.3 A summary

此来源组尚无已登记的原著转录；机器草稿摘录供阅读导航使用，不作为原著证据。

英文 OCR 草稿

The author identifies the Lie bracket on R3 with the cross product. OCR and translation remain machine-draft-not-reviewed.

机器草稿中的相关讨论摘录

$Spin(3)$ , which geometrically is the space $S^3$ . Its Lie algebra is ${\mathbf{R}}^3$ with Lie bracket the cross-product. We have seen two diferent explicit constructions of $Spin(3)$ , in terms of unit quaternions $(Sp(1))$ , and in terms of 2 by 2 unitary matrices of determinant 1 $\left(SU(2)\right)$ ).

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正文：英文 OCR 草稿

来源版本：2025-10-20

原文位置：§6.3；PDF 页 90；印刷页 73

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中文机译草稿

作者指出 R3 上的李括号就是叉积。 OCR and translation remain machine-draft-not-reviewed.

机器草稿中的相关讨论摘录

$Spin(3)$，在几何上就是空间$S^3$。其李代数是${\mathbf{R}}^3$，李括号为叉积。我们已经看到$Spin(3)$的两种不同的显式构造，一种用单位四元数$(Sp(1))$，另一种用行列式为1的2乘2酉矩阵$\left(SU(2)\right)$）。

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正文：中文机译草稿

来源版本：2025-10-20

原文位置：§6.3；PDF 页 90；印刷页 73

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