费米子泊松括号 / Fermionic poisson bracket

Woit · §30.2 Pseudo-classical mechanics and the fermionic Poisson bracket

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Author defines the bracket by the graded symmetry, Leibniz property and generator relations in this passage.

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To get pseudo-classical mechanics, we think of the Grassmann algebra ${\Lambda }^{\ast }({\mathbf{R}}^n)$ as our algebra of classical observables, an algebra we can think of as functions on a “fermionic” phase space $V={\mathbf{R}}^n$ (note that in the fermionic case, the phase space does not need to be even dimensional). We want to find an appropriate notion of fermionic Poisson bracket operation on this algebra, and it turns out that this can be done. While the standard Poisson bracket is an antisymmetric bilinear form $\Omega (\cdot ,\cdot )$ on linear functions, the fermionic Poisson bracket will be based on a choice of symmetric bilinear form on linear functions, equivalently, a notion of inner product $(\cdot ,\cdot )$

Denoting the fermionic Poisson bracket by $\{\cdot ,\cdot {\}}_{+}$ , for a multiplication anticommutative on generators one has to adjust signs in the Leibniz rule, and the derivation property analogous to the derivation property of the usual Poisson bracket is, for monomials $F_1,F_2,F_3$ 2

$$\{F_1{F}_2,F_3{\}}_{+}=F_1\{F_2,F_3{\}}_{+}+(-1{)}^{|F_2||F_3|}\{F_1,F_3{\}}_{+}{F}_2$$

where $|F_2|$ and $\left|F_3\right|$ are the degrees of $F_2$ and $F_3$ . It will also have the symmetry property

$$\{F_1,F_2{\}}_{+}=-(-1{)}^{|F_1||F_2|}\{F_2,F_1{\}}_{+}$$

and these properties can be used to compute the fermionic Poisson bracket for arbitrary functions in terms of the relations for generators.

The ${\xi }_j$ can be thought of as the “anticommuting coordinate functions” with respect to a basis ${\mathbf{e}}_j$ of $V={\mathbf{R}}^n$ . We have seen that the symmetric bilinear forms on ${\mathbf{R}}^n$ are classified by a choice of positive signs for some basis vectors, negative signs for the others. So, on generators ${\xi }_j$ one can choose

$$\{{\xi }_j,{\xi }_k{\}}_{+}=\pm {\delta }_{jk}$$

with a plus sign for $j=k=1,\cdot \cdot \cdot ,r$ and a minus sign for $j=k=r+1,\cdots ,n$ corresponding to the possible inequivalent choices of non-degenerate symmetric bilinear forms.

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正文：英文 OCR 草稿

来源版本：2025-10-20

原文位置：§30.2；PDF 页 346、347；印刷页 329、330

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中文机译草稿

Author defines the bracket by the graded symmetry, Leibniz property and generator relations in this passage.

机器草稿中的定义提及

为得到伪经典力学，我们将格拉斯曼代数 ${\Lambda }^{\ast }({\mathbf{R}}^n)$ 视为经典可观测量的代数，即可视为 a 个“费米子”相空间 $V={\mathbf{R}}^n$ 上的函数的代数（注意在费米子情形中，相空间不必是偶数维的）。我们希望在这个代数上找到费米子泊松括号运算的适当概念，而结果表明这是可以做到的。标准的泊松括号是线性函数上的反对称双线性形式 $\Omega (\cdot ,\cdot )$，而费米子泊松括号则将基于线性函数上对称双线性形式的一种选择，等价地，即内积 $(\cdot ,\cdot )$ 的概念

将费米子泊松括号记为 $\{\cdot ,\cdot {\}}_{+}$，对于在生成元上乘法反交换的情形，必须调整莱布尼茨法则中的符号，而与通常泊松括号的导子性质类似的导子性质，对于单项式 $F_1,F_2,F_3$ 2

$$\{F_1{F}_2,F_3{\}}_{+}=F_1\{F_2,F_3{\}}_{+}+(-1{)}^{|F_2||F_3|}\{F_1,F_3{\}}_{+}{F}_2$$

其中 $|F_2|$ 和 $\left|F_3\right|$ 分别是 $F_2$ 和 $F_3$ 的次数。它还将具有对称性质

$$\{F_1,F_2{\}}_{+}=-(-1{)}^{|F_1||F_2|}\{F_2,F_1{\}}_{+}$$

并且这些性质可用于根据生成元的关系计算任意函数的费米子泊松括号。

${\xi }_j$ 可以被视为相对于 $V={\mathbf{R}}^n$ 的基 ${\mathbf{e}}_j$ 的“反交换坐标函数”。我们已经看到，${\mathbf{R}}^n$ 上的对称双线性形式由如下选择分类：对某些基向量取正号，对其余基向量取负号。因此，在生成元 ${\xi }_j$ 上，可以选择

$$\{{\xi }_j,{\xi }_k{\}}_{+}=\pm {\delta }_{jk}$$

对于 $j=k=1,\cdot \cdot \cdot ,r$ 取正号，对于 $j=k=r+1,\cdots ,n$ 取负号，这对应于非退化对称双线性形式可能的非等价选择。

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正文：中文机译草稿

来源版本：2025-10-20

原文位置：§30.2；PDF 页 346、347；印刷页 329、330

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