粒子数守恒 / Particle number conservation

Woit · §38.2 Internal symmetries

此来源组尚无已登记的原著转录；机器草稿摘录供阅读导航使用，不作为原著证据。

英文 OCR 草稿

Author-named discussion; machine draft source identity and human-review status are preserved.

机器草稿中的相关讨论摘录

An important property of $\hat{N}$ that can be straightforwardly checked is that

$$[\hat{N},\hat{H}]=\left[\hat{N},{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\hat{\Psi }}^{†}(x)\frac{-1}{2m}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}\hat{\Psi }(x)dx\right]=0$$

This implies that particle number is a conserved quantity: if we start out with a state with a definite particle number, this will remain constant. Note that the origin of this conservation law comes from the fact that $\hat{N}$ is the quantized generator of the $U(1)$ symmetry of phase transformations on complex-valued fields $\Psi$. If we start with any Hamiltonian function $h$ on ${\mathcal{H}}_1$ that is invariant under the $U(1)$ (i.e., built out of terms with an equal number of $\Psi$s and $\overline{\Psi }\mathrm{s})$ then for such a theory $\hat{N}$ will commute with $\hat{H}$ and particle number will be conserved.

阅读所在节 · 完整章节

来源与版本

查看 PDF

正文：英文 OCR 草稿

来源版本：2025-10-20

原文位置：§38.2；PDF 页 425；印刷页 408

处理记录：MinerU OCR

核对状态：英文 OCR 草稿 · 待校对

中文机译草稿

Author-named discussion; machine draft source identity and human-review status are preserved.

机器草稿中的相关讨论摘录

$\hat{N}$ 的一个重要且可直接验证的性质是：

$$[\hat{N},\hat{H}]=\left[\hat{N},{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\hat{\Psi }}^{†}(x)\frac{-1}{2m}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}\hat{\Psi }(x)dx\right]=0$$

这意味着粒子数是守恒量：如果我们从一个具有确定粒子数的态出发，该粒子数将保持不变。注意，这一守恒律的起源在于 $\hat{N}$ 是复值场 $\Psi$ 上相位变换的 $U(1)$ 对称性的量子化生成元。如果我们从 ${\mathcal{H}}_1$ 上的任意哈密顿函数 $h$ 出发，且该函数在 $U(1)$ 下不变（即由 $\Psi$ 与 $\overline{\Psi }\mathrm{s})$ 数目相等的项构成），那么对于这样的理论，$\hat{N}$ 将与 $\hat{H}$ 对易，粒子数将守恒。

阅读所在节 · 完整章节

来源与版本

查看 PDF

正文：中文机译草稿

来源版本：2025-10-20

原文位置：§38.2；PDF 页 425；印刷页 408

处理记录：MinerU OCR；machine-translation/deepseek-v4.1-flash

核对状态：中文机译草稿 · 待校对