粒子数密度 / Particle number density

Woit · §37.2 Quadratic operators and dynamics

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机器草稿中的定义提及

• The number operator $\hat{N}$ . A number density operator can be defined by

$$\hat{n}(x)={\hat{\Psi }}^{†}(x)\hat{\Psi }(x)$$

and integrated to get an operator with eigenvalues the total number of particles in a state

$$\begin{array}{rl}\hat{N}& ={\int }_{-\infty }^{\infty }\hat{n}(x)dx\\ & ={\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-i{p}^{\prime }x}{a}^{†}(p^{\prime })\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{ipx}a(p)dpd{p}^{\prime }dx\\ & ={\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }\delta (p-p^{\prime })a^{†}(p^{\prime })a(p)dpd{p}^{\prime }\\ & ={\int }_{-\infty }^{\infty }{a}^{†}(p)a(p)dp\end{array}$$

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正文：英文 OCR 草稿

来源版本：2025-10-20

原文位置：§37.2；PDF 页 415；印刷页 398

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机器草稿中的定义提及

• 数算符 $\hat{N}$。数密度算符可由下式定义

$$\hat{n}(x)={\hat{\Psi }}^{†}(x)\hat{\Psi }(x)$$

并积分以得到一个算符，其特征值为一个态中的总粒子数

$$\begin{array}{rl}\hat{N}& ={\int }_{-\infty }^{\infty }\hat{n}(x)dx\\ & ={\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-i{p}^{\prime }x}{a}^{†}(p^{\prime })\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{ipx}a(p)dpd{p}^{\prime }dx\\ & ={\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }\delta (p-p^{\prime })a^{†}(p^{\prime })a(p)dpd{p}^{\prime }\\ & ={\int }_{-\infty }^{\infty }{a}^{†}(p)a(p)dp\end{array}$$

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