玻色子Fock空间 / Bosonic fock space

Woit · §36.1 Multi-particle quantum systems as quanta of a harmonic oscillator

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Author-named definition; machine draft source identity and human-review status are preserved.

机器草稿中的定义提及

This same symmetric part of a tensor product occurs in the Bargmann-Fock construction of the quantum state space for a phase space $M={\mathbf{R}}^{2\bar{d}}$ , where the Fock space ${\mathcal{F}}_d$ can be described in three diferent but isomorphic ways. Note that we generally won’t take care to distinguish here between ${\bar{\mathcal{F}}}_d^{fin}$ (superpositions of states with finite number of quanta) and its completion ${\mathcal{F}}_d$ (which includes states with an infinite number of quanta). The three diferent descriptions of ${\mathcal{F}}_d$ are:

${\mathcal{F}}_d$ has an orthonormal basis

$$|n_1,n_2,\dots ,n_d⟩$$

labeled by the eigenvalues $n_j$ of the number operators $N_j$ for $j=1,\cdots ,d$ Here $n_j\in \{0,1,2,\cdot \cdot \cdot \}$ and

$$n=\sum _{j=1}^d{n}_j$$

is finite. This is called the “occupation number” basis of ${\mathcal{F}}_d$ . In this basis, the annihilation and creation operators are

$$\begin{array}{rl}{a}_j|n_1,n_2,\dots ,n_d⟩& =\sqrt{n_j}|n_1,n_2,\dots ,n_j-1,\dots ,n_d⟩\\ a_j^{†}|n_1,n_2,\dots ,n_d⟩& =\sqrt{n_j+1}|n_1,n_2,\dots ,n_j+1,\dots ,n_d⟩\end{array}$$

${\mathcal{F}}_d$ is the space of polynomials $\mathbf{C}[z_1,z_2,\cdots ,z_d]$ in $d$ complex variables $z_j.$ , with inner product the $d$ dimensional version of equation 22.4 and orthonormal basis elements corresponding to the occupation number basis the monomials 1

$$\frac{1}{\sqrt{n_1!\cdots n_d!}}{z}_1^{n_1}{z}_2^{n_2}\dots z_d^{n_d}\text{\hspace{1em}(36.2)}$$

Here the annihilation and creation operators are

$$a_j=\frac{\partial }{\partial z_j},a_j^{†}=z_j$$

${\mathcal{F}}_d$ is the algebra

$$S^{\ast }({\mathcal{M}}_J^{+})=\mathbf{C}\oplus {\mathcal{M}}_J^{+}\oplus ({\mathcal{M}}_J^{+}\otimes {\mathcal{M}}_J^{+}{)}^S\oplus \dots \text{\hspace{1em}(36.3)}$$

with product the symmetrized tensor product given by equation 9.3. Here ${\mathcal{M}}_J^{+}$ is the space of complex linear functions on $M$ that are eigenvectors with eigenvalue +$i$ for the complex structure $J.$ . Using the isomorphism between monomials and symmetric tensor products (given on monomials in one variable by equation 9.4), the monomials 36.2 provide an orthonormal basis of this space. Expressions for the annihilation and creation operators acting on $S^{\ast }({\mathcal{M}}_J^{+})$ can be found using this isomorphism, using their action on monomials as derivative and multiplication operators.

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正文：英文 OCR 草稿

来源版本：2025-10-20

原文位置：§36.1；PDF 页 397、398；印刷页 380、381

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中文机译草稿

Author-named definition; machine draft source identity and human-review status are preserved.

机器草稿中的定义提及

张量积的同一对称部分出现在相空间 $M={\mathbf{R}}^{2\bar{d}}$ 的量子态空间的 Bargmann-Fock 构造中，其中 Fock 空间 ${\mathcal{F}}_d$ 可以用三种不同但同构的方式描述。注意，我们在这里通常不会刻意区分 ${\bar{\mathcal{F}}}_d^{fin}$（有限量子数态的叠加）与其完备化 ${\mathcal{F}}_d$（包含无限量子数态）。${\mathcal{F}}_d$ 的三种不同描述是：

${\mathcal{F}}_d$ 具有正交标准基

$$|n_1,n_2,\dots ,n_d⟩$$

由数算符 $N_j$ 的特征值 $n_j$ 标记，其中 $j=1,\cdots ,d$ 此处 $n_j\in \{0,1,2,\cdot \cdot \cdot \}$ 且

$$n=\sum _{j=1}^d{n}_j$$

是有限的。这被称为 ${\mathcal{F}}_d$ 的“占据数”基。在此基中，湮灭算符和产生算符是

$$\begin{array}{rl}{a}_j|n_1,n_2,\dots ,n_d⟩& =\sqrt{n_j}|n_1,n_2,\dots ,n_j-1,\dots ,n_d⟩\\ a_j^{†}|n_1,n_2,\dots ,n_d⟩& =\sqrt{n_j+1}|n_1,n_2,\dots ,n_j+1,\dots ,n_d⟩\end{array}$$

${\mathcal{F}}_d$ 是 $d$ 个复变量 $z_j.$ 的多项式 $\mathbf{C}[z_1,z_2,\cdots ,z_d]$ 构成的空间，其内积为方程 22.4 的 $d$ 维版本，正交标准基元素对应于占据数基，即单项式 1

$$\frac{1}{\sqrt{n_1!\cdots n_d!}}{z}_1^{n_1}{z}_2^{n_2}\dots z_d^{n_d}\text{\hspace{1em}(36.2)}$$

这里，湮灭算符和产生算符是

$$a_j=\frac{\partial }{\partial z_j},a_j^{†}=z_j$$

${\mathcal{F}}_d$ 是代数

$$S^{\ast }({\mathcal{M}}_J^{+})=\mathbf{C}\oplus {\mathcal{M}}_J^{+}\oplus ({\mathcal{M}}_J^{+}\otimes {\mathcal{M}}_J^{+}{)}^S\oplus \dots \text{\hspace{1em}(36.3)}$$

以由方程 9.3 给出的对称化张量积作为乘积。这里 ${\mathcal{M}}_J^{+}$ 是 $M$ 上复线性函数构成的空间，这些函数是复结构 $J.$ 的、特征值为 +$i$ 的特征向量。利用单项式与对称张量积之间的同构（在单变量上由方程 9.4 给出），单项式 36.2 构成该空间的一个正交标准基。作用于 $S^{\ast }({\mathcal{M}}_J^{+})$ 的湮灭算符与产生算符的表达式可利用此同构得到，即利用它们作为导数算符和乘法算符在单项式上的作用。

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正文：中文机译草稿

来源版本：2025-10-20

原文位置：§36.1；PDF 页 397、398；印刷页 380、381

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