路径积分 / Path integral

Woit · §35.3 Quantization and path integrals

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There is however a very diferent approach to relating classical and quantum theories, which completely bypasses the Hamiltonian formalism, just using the Lagrangian. This is the path integral formalism, which is based upon a method for calculating matrix elements of the time evolution operator

$$⟨q_T|e^{-\frac{i}{\hslash }HT}|q_0⟩$$

in the position eigenstate basis in terms of an integral over the space of paths that ${}_{\mathrm{go}}$ from position $q_0$ to position $q_T$ in time $T$ (we will here only treat the $d=1\mathrm{case})$ . Here $|q_0$ is an eigenstate of $Q$ with eigenvalue $q_0$ (a delta-function at $q_0$ in the position space representation), and $|q_T$ has $Q$ eigenvalue $q_T$ . This matrix element has a physical interpretation as the amplitude for a particle starting at $q_0$ at $t=0$ to have position $q_T$ at time $T,$ with its norm-squared giving the probability density for observing the particle at position $q_T$ . It is also the kernel function that allows one to determine the wavefunction $\psi (q,T)$ at any time $t=T$ in terms of its initial value at $t=0$ , by calculating

$$\psi (q_T,T)={\int }_{-\infty }^{\infty }⟨q_T|e^{-\frac{i}{\hslash }HT}|q_0⟩\psi (q_0,0)d{q}_0$$

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来源版本：2025-10-20

原文位置：§35.3；PDF 页 391；印刷页 374

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然而，还有一种截然不同的方法将经典理论与量子理论联系起来，它完全绕过了哈密顿算子形式，仅使用拉格朗日量。这就是路径积分形式，它基于一种计算时间演化算符的矩阵元的方法

$$⟨q_T|e^{-\frac{i}{\hslash }HT}|q_0⟩$$

在位置本征态基下，用对路径空间的积分表示 ${}_{\mathrm{go}}$ 在时间 $T$ 内从位置 $q_0$ 到位置 $q_T$（这里我们只处理 $d=1\mathrm{case})$。这里 $|q_0$ 是 $Q$ 的一个本征态，特征值为 $q_0$（在位置空间表示中为位于 $q_0$ 的 delta 函数），而 $|q_T$ 具有 $Q$ 特征值 $q_T$。该矩阵元有一个物理解释：它是粒子在 $t=0$ 时从 $q_0$ 出发、在时间 $T,$ 时具有位置 $q_T$ 的振幅，其范数平方给出在位置 $q_T$ 观测到该粒子的概率密度。它也是核函数，使得人们能够通过计算来确定任意时间 $t=T$ 的波函数 $\psi (q,T)$，以其在 $t=0$ 的初值为依据。

$$\psi (q_T,T)={\int }_{-\infty }^{\infty }⟨q_T|e^{-\frac{i}{\hslash }HT}|q_0⟩\psi (q_0,0)d{q}_0$$

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