自旋极化向量 / Spin polarization vector

Woit · §34.2 Solutions of the Pauli equation and representations of E(3)

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for arbitrary functions ${\alpha }_{E,\pm }(\mathbf{p})$ on the sphere $|\mathbf{p}|=\sqrt{2mE}$ , where the $u_{\pm }(\mathbf{p})$ in this context are called “spin polarization vectors” . There is however a subtlety involved in representing solutions in this manner. Recall from section 7.5 that $u_{+}(\mathbf{p})$ is discontinuous at $p_3=-1$ (the same will be true for $u_{-}(\mathbf{p}))$ and any unit-length eigenvector of $\mathbf{\sigma }\cdot \mathbf{p}$ must have such a discontinuity somewhere. If ${\alpha }_{E,\pm }(\mathbf{p})$ has a zero at $p_3=-1$ the product ${\tilde{\psi }}_{E,\pm }(\mathbf{p})$ can be continuous. It remains a basic topological fact that the combination ${\tilde{\psi }}_{E,\pm }(\mathbf{p})$ must have a zero, or it will have to be discontinuous. Our choice of $u_{\pm }(\mathbf{p})$ works well if this zero is at $p_3=-1$ , but if it is elsewhere one might want to make a diferent choice. In the end one needs to check that computed physical quantities are independent of such choices.

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正文：英文 OCR 草稿

来源版本：2025-10-20

原文位置：§34.2；PDF 页 381；印刷页 364

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机器草稿中的定义提及

对于球面 $|\mathbf{p}|=\sqrt{2mE}$ 上的任意函数 ${\alpha }_{E,\pm }(\mathbf{p})$，其中此语境下的 $u_{\pm }(\mathbf{p})$ 称为“自旋极化向量”。然而，以这种方式表示解涉及一个微妙之处。回顾第 7.5 节，$u_{+}(\mathbf{p})$ 在 $p_3=-1$ 处不连续（对于 $u_{-}(\mathbf{p}))$ 同样如此，并且 $\mathbf{\sigma }\cdot \mathbf{p}$ 的任何单位长度特征向量都必须在某处具有这样的不连续性。如果 ${\alpha }_{E,\pm }(\mathbf{p})$ 在 $p_3=-1$ 处有一个零点，则乘积 ${\tilde{\psi }}_{E,\pm }(\mathbf{p})$ 可以是连续的。一个基本的拓扑事实仍然是，组合 ${\tilde{\psi }}_{E,\pm }(\mathbf{p})$ 必须有一个零点，否则它将不得不不连续。如果这个零点位于 $p_3=-1$，我们对 $u_{\pm }(\mathbf{p})$ 的选择效果很好，但如果它位于别处，人们可能想要做出不同的选择。最终，需要检查所计算出的物理量是否独立于这类选择。

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