半旋量表示 / Half-spinor representation

Woit · §31.3 Spinors and the Bargmann-Fock construction

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英文 OCR 草稿

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机器草稿中的定义提及

While ${\mathcal{F}}_d^{+}$ is irreducible as a representation of the Cliford algebra, it is the sum of two irreducible representations of $Spin(2d)$ , the so-called “half-spinor” representations. $Spin(2d)$ is generated by quadratic combinations of the Cliford algebra generators, so these will preserve the subspaces

$$S_{+}=\mathrm{span}\{|0{⟩}_F,a_{Fj}^{†}{a}_{Fk}^{†}|0{⟩}_F,\dots \}\subset S={\mathcal{F}}_d^{+}$$

and

$$S_{-}=\mathrm{span}\{a_{Fj}^{†}|0{⟩}_F,a_{Fj}^{†}{a}_{Fk}^{†}{a}_{Fl}^{†}|0{⟩}_F,\dots \}\subset S={\mathcal{F}}_d^{+}$$

corresponding to the action of an even or odd number of creation operators on $|0{⟩}_F$ . This is because quadratic combinations of the $a_{Fj},a_{F_j^{†}}$ preserve the parity of the number of creation operators used to get an element of $S$ by action on $|0{⟩}_F.$

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正文：英文 OCR 草稿

来源版本：2025-10-20

原文位置：§31.3；PDF 页 360、361；印刷页 343、344

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中文机译草稿

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机器草稿中的定义提及

虽然 ${\mathcal{F}}_d^{+}$ 作为 Clifford 代数的表示是不可约的，但它是 $Spin(2d)$ 的两个不可约表示之和，即所谓的“半旋量”表示。$Spin(2d)$ 由 Clifford 代数生成元的二次组合生成，因此这些组合将保持这些子空间不变。

$$S_{+}=\mathrm{span}\{|0{⟩}_F,a_{Fj}^{†}{a}_{Fk}^{†}|0{⟩}_F,\dots \}\subset S={\mathcal{F}}_d^{+}$$

和

$$S_{-}=\mathrm{span}\{a_{Fj}^{†}|0{⟩}_F,a_{Fj}^{†}{a}_{Fk}^{†}{a}_{Fl}^{†}|0{⟩}_F,\dots \}\subset S={\mathcal{F}}_d^{+}$$

对应于偶数个或奇数个产生算符作用于$|0{⟩}_F$的作用。这是因为$a_{Fj},a_{F_j^{†}}$的二次组合保持产生算符数目的奇偶性，这些产生算符用于通过作用于$|0{⟩}_F.$而得到$S$的一个元素。

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正文：中文机译草稿

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原文位置：§31.3；PDF 页 360、361；印刷页 343、344

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