元辛表示 / Metaplectic representation

Woit · §25 The Metaplectic Representation and Annihilation and Creation Operators, arbitrary d

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英文 OCR 草稿

The chapter introduction describes the metaplectic representation of a double cover; no definition is claimed.

机器草稿中的相关讨论摘录

In this chapter we’ll turn from the $d=1$ case of chapter 24 to the general case of arbitrary d. The choice of d annihilation and creation operators picks out a distinguished subgroup $U(d)\subset Sp(2d,\mathbf{R})$ of transformations that do not mix annihilation and creation operators, and the metaplectic representation gives one a representation of a double cover of this group. We will see that normal ordering the products of annihilation and creation operators turns this into a representation of $U(d)$ itself (rather than the double cover). In this way, a $U(d)$ action on the finite dimensional phase space gives operators that provide an infinite dimensional representation of $U(d)$ on the state space of the d dimensional harmonic oscillator.

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正文：英文 OCR 草稿

来源版本：2025-10-20

原文位置：§25；PDF 页 293；印刷页 276

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中文机译草稿

章节引言讨论双覆盖群上的元辛表示；此处登记为讨论，不宣称是定义。

机器草稿中的相关讨论摘录

在本章中，我们将从第24章的$d=1$情形转向任意$d$的一般情形。$d$个湮灭算符与产生算符的选择挑出一个不混合湮灭算符与产生算符的变换的 distinguished 子群$U(d)\subset Sp(2d,\mathbf{R})$，而 metaplectic 表示给出该群的一个双重覆盖的表示。我们将看到，对湮灭算符与产生算符的乘积进行正规排序会把它变成$U(d)$本身（而非双重覆盖）的表示。这样，a $U(d)$在有限维相空间上的作用给出的算符，在$d$维谐振子的态空间上提供了$U(d)$的无限维表示。

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正文：中文机译草稿

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原文位置：§25；PDF 页 293；印刷页 276

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