向量表示 / Vector representation

Woit · §6.1 The rotation group in three dimensions

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英文 OCR 草稿

The author discusses the defining representation of SO(n) on R^n; discussion only. OCR and translation remain machine-draft-not-reviewed.

机器草稿中的相关讨论摘录

Something very special that happens for orthogonal groups only in dimension $n=3$ is that the vector representation (the defining representation of $SO(n)$ matrices on ${\mathbf{R}}^n)$ is isomorphic to the adjoint representation. Recall that any Lie group $G$ has a representation $(Ad,\mathfrak{g})$ on its Lie algebra $g$. $\mathfrak{so}(n)$ can be identified with the antisymmetric n by $n$ matrices, so is of (real) dimension $\frac{n^2-n}{2}$ . Only for $n=3$ is this equal to $n_{:}$ the dimension of the representation on vectors in ${\mathbf{R}}^n$ This corresponds to the geometrical fact that only in 3 dimensions is a plane (in all dimensions rotations are built out of rotations in various planes) determined uniquely by a vector (the vector perpendicular to the plane). Equivalently, only in 3 dimensions is there a cross-product $\text{ v }\times \text{ w }$ which takes two vectors determining a plane

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正文：英文 OCR 草稿

来源版本：2025-10-20

原文位置：§6.1；PDF 页 81；印刷页 64

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中文机译草稿

The author discusses the defining representation of SO(n) on R^n; discussion only. OCR and translation remain machine-draft-not-reviewed.

机器草稿中的相关讨论摘录

正交群在维数 $n=3$ 时才会发生一件非常特殊的事情，即向量表示（$SO(n)$ 矩阵在 ${\mathbf{R}}^n)$ 上的定义表示）与伴随表示同构。回忆一下，任何李群 $G$ 都有一个在其李代数 $g$ 上的表示 $(Ad,\mathfrak{g})$。$\mathfrak{so}(n)$ 可以通过 $n$ 个反对称 $n$ 矩阵来识别，因此其（实）维数为 $\frac{n^2-n}{2}$。只有当 $n=3$ 时，它才等于 $n_{:}$，即在 ${\mathbf{R}}^n$ 中向量表示的维数。这对应于一个几何事实：只有在 3 维中，一个平面（在所有维数中，旋转都是由各种平面内的旋转构成的）才由唯一一个向量（垂直于该平面的向量）确定。等价地说，只有在 3 维中才存在一个叉积 $\text{ v }\times \text{ w }$，它将确定一个平面的两个向量映为

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正文：中文机译草稿

来源版本：2025-10-20

原文位置：§6.1；PDF 页 81；印刷页 64

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Woit · §6.3 A summary

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英文 OCR 草稿

The author identifies the defining representation of SO(3) with the vector representation and calls it spin 1. OCR and translation remain machine-draft-not-reviewed.

机器草稿中的相关讨论摘录

• A representation on ${\mathbf{R}}^3$ which can be constructed in two diferent ways: as the adjoint representation of either of the two groups, or as the defining representation of $SO(3)$ This is known to physicists as the “spin $1^{\mathfrak{s}}$ representation.

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正文：英文 OCR 草稿

来源版本：2025-10-20

原文位置：§6.3；PDF 页 90；印刷页 73

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中文机译草稿

作者将 SO(3) 的定义表示称为向量表示，并说明物理学家称其为自旋 1 表示。 OCR and translation remain machine-draft-not-reviewed.

机器草稿中的相关讨论摘录

• 在 ${\mathbf{R}}^3$ 上的一种表示，可以用两种不同的方式构造：作为两个群中任一个的伴随表示，或作为 $SO(3)$ 的定义表示。物理学家将此称为“自旋 $1^{\mathfrak{s}}$ 表示”。

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正文：中文机译草稿

来源版本：2025-10-20

原文位置：§6.3；PDF 页 90；印刷页 73

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Woit · §7.1 The spinor representation

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英文 OCR 草稿

The author identifies the SO(3) representation with the vector representation; discussion only. OCR and translation remain machine-draft-not-reviewed.

机器草稿中的相关讨论摘录

This was the adjoint representation for those three groups, and isomorphic to the vector representation for $SO(3)$ .

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正文：英文 OCR 草稿

来源版本：2025-10-20

原文位置：§7.1；PDF 页 92；印刷页 75

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中文机译草稿

作者将 SO(3) 上的表示与向量表示对应；仅为讨论。 OCR and translation remain machine-draft-not-reviewed.

机器草稿中的相关讨论摘录

这就是这三个群的伴随表示，并且同构于$SO(3)$的向量表示。

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正文：中文机译草稿

来源版本：2025-10-20

原文位置：§7.1；PDF 页 92；印刷页 75

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Woit · §7.2 The spin 1/2 particle in a magnetic field

此来源组尚无已登记的原著转录；机器草稿摘录供阅读导航使用，不作为原著证据。

英文 OCR 草稿

The source explains that the same SU(2) element induces a vector rotation.

机器草稿中的相关讨论摘录

The time evolution of a state is thus given at time t by the same $SU(2)$ element that, acting on vectors, gives a rotation about the axis $\begin{array}{r}\mathbf{w}=\frac{\mathbf{B}}{|\mathbf{B}|}\end{array}$ by an angle

$$\frac{ge|\mathbf{B}|t}{2mc}$$

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正文：英文 OCR 草稿

来源版本：2025-10-20

原文位置：§7.2；PDF 页 96；印刷页 79

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中文机译草稿

此处为机器译稿中的相关来源摘录；译文仍待人工校对。

机器草稿中的相关讨论摘录

因此，态的时间演化在时刻 $t$ 由同一个 $SU(2)$ 元素给出，该元素作用于向量时，给出绕轴 $\begin{array}{r}\mathbf{w}=\frac{\mathbf{B}}{|\mathbf{B}|}\end{array}$ 旋转一个角度

$$\frac{ge|\mathbf{B}|t}{2mc}$$

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正文：中文机译草稿

来源版本：2025-10-20

原文位置：§7.2；PDF 页 96；印刷页 79

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