二重覆盖 / Double cover

Woit · §6.2 Spin groups in three and four dimensions

此来源组尚无已登记的原著转录；机器草稿摘录供阅读导航使用，不作为原著证据。

英文 OCR 草稿

The source discusses Spin(n) as a simply connected two-fold cover of SO(n); role is discussion.

机器草稿中的相关讨论摘录

Digression. The topological reason for this is that, $(forn>2)$ the fundamental group of $SO(n)$ is non-trivial, with ${\pi }_1(SO(n))={\mathbf{Z}}_2$ (in particular there is a non-contractible loop in $SO(n)$ , contractible if you go around it twice). $Spin(n)$ is topologically the simply-connected double cover of $SO(n)$ , and the covering map $\Phi :Spin(n)\to SO(n)$ can be chosen to be a group homomorphism.

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正文：英文 OCR 草稿

来源版本：2025-10-20

原文位置：§6.2；PDF 页 82；印刷页 65

处理记录：MinerU OCR

核对状态：英文 OCR 草稿 · 待校对

中文机译草稿

本处按 PDF 核对术语及讨论角色；OCR 和机译仍为未审校机器稿。

机器草稿中的相关讨论摘录

题外话。其拓扑原因是，$(forn>2)$，$SO(n)$ 的基本群非平凡，且 ${\pi }_1(SO(n))={\mathbf{Z}}_2$（特别地，$SO(n)$ 中存在一条不可缩的环路，若绕其两圈则可缩）。$Spin(n)$ 在拓扑上是 $SO(n)$ 的单连通双重覆盖，并且覆盖映射 $\Phi :Spin(n)\to SO(n)$ 可选取为群同态。

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正文：中文机译草稿

来源版本：2025-10-20

原文位置：§6.2；PDF 页 82；印刷页 65

处理记录：MinerU OCR；machine-translation/deepseek-v4.1-flash

核对状态：中文机译草稿 · 待校对

Woit · §7.1 The spinor representation

此来源组尚无已登记的原著转录；机器草稿摘录供阅读导航使用，不作为原著证据。

英文 OCR 草稿

The author discusses the double cover from SU(2) to SO(3). OCR and translation remain machine-draft-not-reviewed.

机器草稿中的相关讨论摘录

The spin representation of $SU(2)$ is not a representation of $SO(3)$ . The double cover map $\Phi :SU(2)SO(3)$ is a homomorphism, so given a representation $(\pi ,V)$ of $SO(3)$ one gets a representation $(\pi \circ \Phi ,V)$ of $SU(2)$ by composition. One cannot ${}_{\mathrm{go}}$ in the other direction: there is no homomorphism $SO(3)SU(2)$ that would allow one to make the spin representation of $SU(2)$ on ${\mathbf{C}}^2$ into an $SO(3)$ representation.

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正文：英文 OCR 草稿

来源版本：2025-10-20

原文位置：§7.1；PDF 页 93；印刷页 76

处理记录：MinerU OCR

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中文机译草稿

作者讨论从 SU(2) 到 SO(3) 的二重覆盖。 OCR and translation remain machine-draft-not-reviewed.

机器草稿中的相关讨论摘录

$SU(2)$的自旋表示不是$SO(3)$的表示。双重覆盖映射$\Phi :SU(2)SO(3)$是同态，因此给定$SO(3)$的一个表示$(\pi ,V)$，通过复合就得到$SU(2)$的一个表示$(\pi \circ \Phi ,V)$。反方向则不能${}_{\mathrm{go}}$：不存在同态$SO(3)SU(2)$，使得能够将$SU(2)$在${\mathbf{C}}^2$上的自旋表示变成$SO(3)$的表示。

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正文：中文机译草稿

来源版本：2025-10-20

原文位置：§7.1；PDF 页 93；印刷页 76

处理记录：MinerU OCR；machine-translation/deepseek-v4.1-flash

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