基本群 / Fundamental group

Woit · §6.2 Spin groups in three and four dimensions

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英文 OCR 草稿

The aside states pi_1(SO(n)) is Z_2 for n>2; discussion only, not a standalone definition.

机器草稿中的相关讨论摘录

Digression. The topological reason for this is that, $(forn>2)$ the fundamental group of $SO(n)$ is non-trivial, with ${\pi }_1(SO(n))={\mathbf{Z}}_2$ (in particular there is a non-contractible loop in $SO(n)$ , contractible if you go around it twice). $Spin(n)$ is topologically the simply-connected double cover of $SO(n)$ , and the covering map $\Phi :Spin(n)\to SO(n)$ can be chosen to be a group homomorphism.

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正文：英文 OCR 草稿

来源版本：2025-10-20

原文位置：§6.2；PDF 页 82；印刷页 65

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中文机译草稿

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机器草稿中的相关讨论摘录

题外话。其拓扑原因是，$(forn>2)$，$SO(n)$ 的基本群非平凡，且 ${\pi }_1(SO(n))={\mathbf{Z}}_2$（特别地，$SO(n)$ 中存在一条不可缩的环路，若绕其两圈则可缩）。$Spin(n)$ 在拓扑上是 $SO(n)$ 的单连通双重覆盖，并且覆盖映射 $\Phi :Spin(n)\to SO(n)$ 可选取为群同态。

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