Hopf 纤维化 / Hopf fibration

Woit · §7.4 Complex projective space

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英文 OCR 草稿

The digression names S^3/U(1) with its circle fibers the Hopf fibration.

机器草稿中的定义提及

Digression. For another point of view on $\mathbf{C}{\mathbf{P}}^1$ , one constructs the quotient of ${\mathbf{C}}^2$ by complex scalars in two steps. Multiplication by a real scalar corresponds to a change in normalization of the state, and we will often use this freedom to work with normalized states, those satisfying

$$⟨\psi |\psi ⟩=z_1{\overline{z}}_1+z_2{\overline{z}}_2=1$$

Such normalized states are unit-length vectors in ${\mathbf{C}}^2$ , which are given by points on the unit sphere $S^3\subset {\mathbf{R}}^4={\mathbf{C}}^2$

With such normalized states, one still must quotient out the action of multiplication by a phase, identifying elements of ${\bar{S}}^3$ that difer by multiplication by $e^{i\theta }$ . The set of these elements forms a new geometrical space, often written $S^3/U(1)$ . This structure is called a “fibering” of $S^3$ by circles (the action by phase multiplication traces out non-intersecting circles) and is known as the “Hopf fibration”. Try an internet search for various visualizations of the geometrical structure involved, a surprising decomposition of three dimensional space (identifying points at infinity to get $S^3)$ into non-intersecting curves.

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正文：英文 OCR 草稿

来源版本：2025-10-20

原文位置：§7.4；PDF 页 101；印刷页 84

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中文机译草稿

拓展段落将带圆纤维的 S^3/U(1) 称为 Hopf 纤维化。

机器草稿中的定义提及

题外话。关于$\mathbf{C}{\mathbf{P}}^1$的另一种观点，分两步构造${\mathbf{C}}^2$对复标量的商。乘以实标量对应于态归一化的改变，我们常常利用这一自由度来处理归一化态，即满足

$$⟨\psi |\psi ⟩=z_1{\overline{z}}_1+z_2{\overline{z}}_2=1$$

这样的归一化态是 ${\mathbf{C}}^2$ 中的单位长度向量，它们由单位球面 $S^3\subset {\mathbf{R}}^4={\mathbf{C}}^2$ 上的点给出

对于这样的归一化态，人们仍必须商去乘以相位的乘法作用，把相差一个 $e^{i\theta }$ 的乘法的 ${\bar{S}}^3$ 元素等同起来。这些元素的集合构成一个新的几何空间，通常写作 $S^3/U(1)$。这种结构称为 a 用圆对 $S^3$ 的“纤维化”（相位乘法作用描出不相交的圆），并被称为“Hopf 纤维化”。不妨在网上搜索所涉及的几何结构的各种可视化，这是对三维空间的一种令人惊讶的分解（把无穷远点等同起来，从而得到 $S^3)$，分解为不相交的曲线。

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