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# 在线查询包 / online OKF package

> q: `manifold tangent space` · books: woit-qtgr · max_chars: 30000

回答铁律：英文原文优先于中文译文；跨书同名概念不得混同；引用必须带 `input_commit` 与站点 URL。

## 本包材料的网址（正文被截断时直接打开这些）

- 小节 3.2 Commutation relations for Pauli matrices：https://limbo137.top/okf/books/woit-qtgr/2025-10-20/chapter-03/02-commutation-relations-for-pauli-matrices.md
- 概念卡 切空间(tangent space)：https://limbo137.top/okf/concepts/c1d46382-437d-4926-a7fd-d9d0cd36a531.md

## 命中小节（P0 中文译文节选，按标题与概念匹配）

## 命中概念（P1 卡片全文）

### 切空间(tangent space)

<!-- 卡片 URL: https://limbo137.top/okf/concepts/c1d46382-437d-4926-a7fd-d9d0cd36a531.md -->

# 切空间(tangent space)



## 各书的首次出现与定义

### szekeres · source-snapshot-bc3404156f6e

首次出现（当前为最早已登记位置）：

- en · §15.3 · `en/chapter-15/03-tangent-cotangent-and-tensor-spaces#first-1fd2c442e5431ea73af8-en`

[所引书籍文本](https://limbo137.top/en/chapter-15/03-tangent-cotangent-and-tensor-spaces)（行 232） · [书本英文原文 · §15.3](https://limbo137.top/en/chapter-15/03-tangent-cotangent-and-tensor-spaces) · 原书 PDF（具体页未登记）（PDF 本体不随包分发）

[定位与哈希](../evidence/e-9f2ffe16e14a75b5ac138896.json)

> is a tangent vector at $p$ since it satisfies Eq. (15.3) and Eq. (15.4). It is called the tangent space at $p .$ . If $( U , \phi )$ is any chart at $p$ with coordinate functions $x ^ { i }$ , define the operators

- zh-CN · §15.3 · `zh/chapter-15/03-tangent-cotangent-and-tensor-spaces#concept-15-tangent-space`

[所引书籍文本](https://limbo137.top/zh/chapter-15/03-tangent-cotangent-and-tensor-spaces)（行 243） · [书本英文原文 · §15.3（节级定位）](https://limbo137.top/en/chapter-15/03-tangent-cotangent-and-tensor-spaces) · 原书 PDF（具体页未登记）（PDF 本体不随包分发）

[定位与哈希](../evidence/e-402333927cb56318b4e7e0cb.json)

> 是 $p$ 处的一个切向量，因为它满足式 (15.3) 和式 (15.4)。它称为 $p .$ 处的 切空间(tangent space)。若 $( U , \phi )$ 是 $p$ 处的任一图卡，其坐标函数为 $x ^ { i }$，则定义算符


全部已登记位置（含后续出现，不限于首次）：

- §15.3 · en · `en/chapter-15/03-tangent-cotangent-and-tensor-spaces`
  [所引书籍文本](https://limbo137.top/en/chapter-15/03-tangent-cotangent-and-tensor-spaces)（行 232） · [书本英文原文 · §15.3](https://limbo137.top/en/chapter-15/03-tangent-cotangent-and-tensor-spaces) · 原书 PDF（具体页未登记）（PDF 本体不随包分发）
- §15.3 · zh-CN · `zh/chapter-15/03-tangent-cotangent-and-tensor-spaces`
  [所引书籍文本](https://limbo137.top/zh/chapter-15/03-tangent-cotangent-and-tensor-spaces)（行 243） · [书本英文原文 · §15.3（节级定位）](https://limbo137.top/en/chapter-15/03-tangent-cotangent-and-tensor-spaces) · 原书 PDF（具体页未登记）（PDF 本体不随包分发）

定义：

**缺失定义记录**：当前已登记来源未提供定义记录；未断言原书没有定义。

### woit-qtgr · 2025-10-20

首次出现（当前为最早已登记位置）：

- zh-CN · §3.2 · `books/woit-qtgr/2025-10-20/zh/chapter-03/02-commutation-relations-for-pauli-matrices#first-c1cbeb5580362deafa51-zh`

[所引书籍文本](https://limbo137.top/books/woit-qtgr/2025-10-20/zh/chapter-03/02-commutation-relations-for-pauli-matrices)（行 331） · [书本英文原文 · §3.2（节级定位）](https://limbo137.top/books/woit-qtgr/2025-10-20/en/chapter-03/02-commutation-relations-for-pauli-matrices) · 原书 PDF（具体页未登记）（PDF 本体不随包分发）

[定位与哈希](../evidence/e-f7c761f56391ddbc3e37929d.json)

> $X_j$ 及其对易关系可以看作完整的群及其群乘法则在单位元附近的无穷小形式。从流形几何来看，回忆 $SU(2)$ 作为空间就是 $S^3$。$X_j$ 构成 $SU(2)$ 单位元处切空间(tangent space) $\mathbf R^3$ 的一组基，正如 $i$ 构成 $U(1)$ 单位元处切空间的一组基。

- en · §3.2 · `books/woit-qtgr/2025-10-20/en/chapter-03/02-commutation-relations-for-pauli-matrices#first-c1cbeb5580362deafa51-en`

[所引书籍文本](https://limbo137.top/books/woit-qtgr/2025-10-20/en/chapter-03/02-commutation-relations-for-pauli-matrices)（行 306） · [书本英文原文 · §3.2（节级定位）](https://limbo137.top/books/woit-qtgr/2025-10-20/en/chapter-03/02-commutation-relations-for-pauli-matrices) · 原书 PDF（具体页未登记）（PDF 本体不随包分发）

[定位与哈希](../evidence/e-808266ef389875ce74f792eb.json)

> The $X_j$ and their commutation relations can be thought of as an infinitesimal version of the full group and its group multiplication law near the identity. In terms of manifold geometry, recall that $SU(2)$ is the space $S^3$. The $X_j$ give a basis of the tangent space $\mathbf R^3$ to the identity of $SU(2)$, just as $i$ gives a basis of the tangent space to the identity of $U(1).


全部已登记位置（含后续出现，不限于首次）：

- §3.2 · zh-CN · `books/woit-qtgr/2025-10-20/zh/chapter-03/02-commutation-relations-for-pauli-matrices`
  [所引书籍文本](https://limbo137.top/books/woit-qtgr/2025-10-20/zh/chapter-03/02-commutation-relations-for-pauli-matrices)（行 331） · [书本英文原文 · §3.2（节级定位）](https://limbo137.top/books/woit-qtgr/2025-10-20/en/chapter-03/02-commutation-relations-for-pauli-matrices) · 原书 PDF（具体页未登记）（PDF 本体不随包分发）
- §3.2 · en · `books/woit-qtgr/2025-10-20/en/chapter-03/02-commutation-relations-for-pauli-matrices`
  [所引书籍文本](https://limbo137.top/books/woit-qtgr/2025-10-20/en/chapter-03/02-commutation-relations-for-pauli-matrices)（行 306） · [书本英文原文 · §3.2（节级定位）](https://limbo137.top/books/woit-qtgr/2025-10-20/en/chapter-03/02-commutation-relations-for-pauli-matrices) · 原书 PDF（具体页未登记）（PDF 本体不随包分发）

定义：

**缺失定义记录**：当前已登记来源未提供定义记录；未断言原书没有定义。

## 按书与路径记录的依赖组

未登记依赖组；不代表该概念没有前置知识。


## 名称与维护

UUID：`urn:uuid:c1d46382-437d-4926-a7fd-d9d0cd36a531`。状态：`active`。

本页由脚本生成；YAML 为结构化第二入口，JSON 索引指向本页。原书和冻结证据保留各自版本。

## 英文片段（P3 来自已发布小节的英文权威片段）

### 3.2 Commutation relations for Pauli matrices

原站：https://limbo137.top/books/woit-qtgr/2025-10-20/en/chapter-03/02-commutation-relations-for-pauli-matrices · 打包文件：https://limbo137.top/okf/books/woit-qtgr/2025-10-20/chapter-03/02-commutation-relations-for-pauli-matrices.md

<!-- okf-block: english-fragments -->
## 英文片段 · English excerpts（只发短片段，不是整节原文）

- scope: `fragments`（每个概念一句，≤320 字符）
- 人类阅读网页: https://limbo137.top/books/woit-qtgr/2025-10-20/en/chapter-03/02-commutation-relations-for-pauli-matrices

- **commutation relation**（对易关系）：The Pauli matrices satisfy an important set of commutation relations:
- **commutator**（对易子）：The fact that the commutators do not all vanish reflects the non-commutativity of the group. Group elements $U \in SU(2)$ near the identity satisfy
- **skew-adjoint matrices**（斜伴随矩阵）：While physicists prefer to work with the self-adjoint Pauli matrices and their real eigenvalues, one can instead use skew-adjoint matrices:
- **tangent space**（切空间）：The $X_j$ and their commutation relations can be thought of as an infinitesimal version of the full group and its group multiplication law near the identity. In terms of manifold geometry, recall that $SU(2)$ is the space $S^3$. The $X_j$ give a basis of the tangent space $\mathbf R^3$ to the identity of $SU(2)$,…

## 下一跳

- 本站目录与术语索引：https://limbo137.top/llms.txt