--- schema: online-okf-query-1 okf_schema: online-okf-1 input_commit: c5d5d525765d54262237dd13b408f2b9590f67a3 concept_version: {"store_id":"fcfd44a3-3b74-4077-bb28-54e09686ffaa","epoch":"34e87bb1-94ae-473e-8819-8bf58ed5087f","committed_seq":16,"export_revision":"5dd5494dac885d3f32508b96941a9afbe691461a46f932e9c6eff3502d419ded","manifest_sha256":"2c391ade665ad6762fd98c8704681ca19509af6b3df612a3d2b8c65f2926dce7"} generated_by: deploy/worker/src/index.ts --- # 在线查询包 / online OKF package > q: `内积 希尔伯特` · books: 全部 · max_chars: 30000 回答铁律：英文原文优先于中文译文；跨书同名概念不得混同；引用必须带 `input_commit` 与站点 URL。 ## 本包材料的网址（正文被截断时直接打开这些） - 小节 1.2 Canonical quantization：https://limbo137.top/okf/books/nakahara-geometry-topology-physics/second-edition-local/chapter-01/02-section-1-2.md - 小节 5.2 Complex inner product spaces：https://limbo137.top/okf/books/szekeres/source-snapshot-bc3404156f6e/chapter-05/02-complex-inner-product-spaces.md - 小节 12.9 Supersymmetric quantum mechanics：https://limbo137.top/okf/books/nakahara-geometry-topology-physics/second-edition-local/chapter-12/09-section-12-9.md - 概念卡 希尔伯特空间(Hilbert space)：https://limbo137.top/okf/concepts/34c6c0e8-a933-4a51-bbf6-7721075b239c.md - 概念卡 希尔伯特拉格朗日量(Hilbert Lagrangian)：https://limbo137.top/okf/concepts/5cac9313-3d4f-4510-8bac-b257c148accb.md - 概念卡 准希尔伯特空间(pre-Hilbert space)：https://limbo137.top/okf/concepts/533f0fe5-106d-4d9c-8fbb-d18f91263336.md ## 命中小节（P0 中文译文节选，按标题与概念匹配） ### 1.2 Canonical quantization ｜ 1.2 正则量子化 原站：https://limbo137.top/books/nakahara-geometry-topology-physics/second-edition-local/en/chapter-01/02-section-1-2 · 本段文件：https://limbo137.top/okf/books/nakahara-geometry-topology-physics/second-edition-local/chapter-01/02-section-1-2.md ## 1.2.1 希尔伯特空间、左矢与右矢 我们来考虑一个复希尔伯特空间 $$ \mathcal {H} = \{\left| \phi \right\rangle , \left| \psi \right\rangle , \dots \}. \tag {1.26} $$ $\mathcal{H}$ 中的元素称为右矢(ket)或右矢向量。 线性函数 $\alpha : \mathcal{H} \to \mathbb{C}$ 由下式定义： $$ \alpha \left(c _ {1} \mid \psi_ {1} \rangle + c _ {2} \mid \psi_ {2} \rangle\right) = c _ {1} \alpha \left(\left| \psi_ {1} \right\rangle\right) + c _ {2} \alpha \left(\left| \psi_ {2} \right\rangle\right) \quad \forall c _ {i} \in \mathbb {C}, \left| \psi_ {i} \right\rangle \in \mathcal {H}. $$ 我们采用狄拉克引入的一种特殊记号，把该线性函数记作 $\langle \alpha |$，其作用记作 $\langle \alpha |\psi \rangle \in \mathbb{C}$。线性函数的集合本身也是一个向量空间，称为 $\mathcal{H}$ 的对偶向量空间(dual vector space)，记作 $\mathcal{H}^*$。$\mathcal{H}$ 中的元素称为左矢(bra)或左矢向量。 设 $\{|e_1\rangle, |e_2\rangle, \ldots\}$ 是 $\mathcal{H}$ 的一组基。于是任一向量 $|\psi \rangle \in \mathcal{H}$ 可展开为 $|\psi \rangle = \sum_{k} \psi_k |e_k\rangle$，其中 $\psi_k \in \mathbb{C}$ 称为 $|\psi \rangle$ 的第 $k$ 个分量。现在我们在 $\mathcal{H}^*$ 中引入一组基 $\{\langle \varepsilon_1|, \langle \varepsilon_2|, \ldots\}$。我们要求这组基是 $\{|e_k\rangle\}$ 的对偶基，即 $$ \langle \varepsilon_ {i} | e _ {j} \rangle = \delta_ {i j}. \tag {1.27} $$ 于是，任意的线性泛函 $\langle \alpha |$ 可展开为 $\langle \alpha | = \sum_{k}\alpha_{k}\langle \varepsilon_{k}|,$，其中 $\alpha_{k}\in \mathbb{C}$ 是 $\langle \alpha |$ 的第 $k$ 个分量(component)。现在，$\langle \alpha |\in \mathcal{H}^*$ 对 $|\psi \rangle \in \mathcal{H}$ 的作用可以用它们的分量表示为 $$ \langle \alpha | \psi \rangle = \sum_ {i j} \alpha_ {i} \psi_ {j} \left\langle \varepsilon_ {i} \mid e _ {j} \right\rangle = \sum_ {i j} \alpha_ {i} \psi_ {j} \delta_ {i j} = \sum_ {i} \alpha_ {i} \psi_ {i}. \tag {1.28} $$ 可以把 $|\psi \rangle$ 看作一个列向量，把 $\langle \alpha |$ 看作一个行向量，这样 $\langle \alpha |\psi \rangle$ 就只被看成行向量与列向量的矩阵乘法，其结果是一个标量。 可以在 $\mathcal{H}$ 的元素与 $\mathcal{H}^*$ 的元素之间建立一一对应。固定 $\mathcal{H}$ 的一组基 $\{|e_k\rangle\}$ 以及 $\mathcal{H}^*$ 的一组基 $\{\langle \varepsilon_k|\}$。于是，与 $|\psi\rangle = \sum_{k}\psi_{k}|e_{k}\rangle$ 相对应，存在元素 $\langle \psi | = \sum_{k}\psi_{k}^{*}\langle \varepsilon_{k}|\in \mathcal{H}^{*}$。对 $\psi_{k}$ 取复共轭的原因很快就会清楚。这样便可以在 $\mathcal{H}$ 的两个元素之间引入内积。设 $|\phi\rangle, |\psi\rangle \in \mathcal{H}$，它们的内积定义为 $$ \left(| \phi \rangle , | \psi \rangle\right) \equiv \langle \phi | \psi \rangle = \sum_ {k} \phi_ {k} ^ {*} \psi_ {k}. \tag {1.29} $$ 我们习惯上用同一个字母来表示相应的左矢与右矢。向量 $|\psi \rangle$ 的范数(norm)自然由内积来定义。设 $\| |\psi \rangle \| = \sqrt{\langle\psi|\psi\rangle}$。容易证明这一定义满足范数的全部公理。注意，由于左矢各分量中取了复共轭，范数是实数且非负。 利用两个右矢之间的内积，可以构造一组Hilbert空间的标准正交基 $\{|e_k\rangle\}$，使得 $(|e_i\rangle, |e_j\rangle) = \langle e_i | e_j \rangle = \delta_{ij}$。设 $|\psi\rangle = \sum_k \psi_k |e_k\rangle$。从左边乘以 $\langle e_k |$，便得到 $\langle e_k | \psi \rangle = \psi_k$。于是 $|\psi\rangle$ 可表示为 $|\psi\rangle = \sum_k \langle e_k | \psi \rangle |e_k\rangle = \sum_k |e_k\rangle \langle e_k | \psi \rangle$。由于这对任意的 $|\psi\rangle$ 都成立，我们就得到了完备性关系 $$ \sum_ {k} \left| e _ {k} \right\rangle \left\langle e _ {k} \right| = I, \tag {1.30} $$ 其中 $I$ 是 $\mathcal{H}$ 中的恒等算符（当 $\mathcal{H}$ 为有限维时即为单位矩阵）。 ### 5.2 Complex inner product spaces ｜ 5.2 复内积空间 原站：https://limbo137.top/en/chapter-05/02-complex-inner-product-spaces · 本段文件：https://limbo137.top/okf/books/szekeres/source-snapshot-bc3404156f6e/chapter-05/02-complex-inner-product-spaces.md ## 正交基 设 $V$ 为具有基 $e _ { 1 } , e _ { 2 } , \ldots , e _ { n }$ 的有限维内积空间。定义内积关于此基的分量为 $$ h _ {i j} = \langle e _ {i} | e _ {j} \rangle = \overline {{\langle e _ {j} | e _ {i} \rangle}} = \overline {{h _ {j i}}}.\tag{5.15} $$ 分量矩阵 $\mathsf { H } = [ h _ { i j } ]$ 显然是厄米的， $$ \mathsf {H} = \mathsf {H} ^ {\dagger} \quad \text { where } \quad \mathsf {H} ^ {\dagger} = \overline {{\mathsf {H}}} ^ {T}. $$ 在基变换式 (5.3) 下，我们有 $$ \langle e _ {i} | e _ {j} \rangle = \overline {{A _ {i} ^ {k}}} \langle e _ {k} ^ {\prime} | e _ {m} ^ {\prime} \rangle A _ {j} ^ {m} $$ 而内积的分量按如下方式变换 $$ h _ {i j} = \overline {{A _ {i} ^ {k}}} h _ {k m} ^ {\prime} A _ {j} ^ {m}.\tag{5.16} $$ 可以用同样的论证将带撇分量表示为不带撇分量的表达式， $$ h _ {i j} ^ {\prime} = \langle e _ {i} ^ {\prime} | e _ {j} ^ {\prime} \rangle = \overline {{A ^ {\prime k}}} _ {i} h _ {k m} A _ {j} ^ {\prime m}.\tag{5.17} $$ 这些方程有矩阵等价形式， $$ \mathsf {H} = \mathsf {A} ^ {\dagger} \mathsf {H} ^ {\prime} \mathsf {A}, \qquad \mathsf {H} ^ {\prime} = \mathsf {A} ^ {\prime \dagger} \mathsf {H} \mathsf {A} ^ {\prime},\tag{5.18} $$ 其中 $\mathsf { A } ^ { \prime } = \mathsf { A } ^ { - 1 }$ > [!exercise] 随文练习 > > 证明矩阵 $H$ 的厄米性在变换式 (5.18) 下保持不变。 若两个向量 $u$ 与 $v$ 满足 $\langle u \vert v \rangle = 0$ ，则称它们是正交的。若基 $e _ { 1 } , e _ { 2 } , \ldots , e _ { n }$ 中的向量均具有单位范数，并且两两正交，则称该基为标准正交基 其他， $$ \langle e _ {i} | e _ {j} \rangle = \delta_ {i j} = \left\{ \begin{array}{l l} 1 & \text { if } i = j, \\ 0 & \text { if } i \neq j. \end{array} \right. $$ 等价地，若内积关于基的分量矩阵为单位矩阵，则该基是正交归一的，$\mathsf { H } = \mathsf { I }$ 从任意基 $\{ u _ { 1 } , u _ { 2 } , \ldots , u _ { n } \}$ 出发，总可以通过称为 施密特正交归一化(Schmidt orthonormalization) 的过程构造一组标准正交基，该过程与例 5.2 中概述的欧氏内积的格拉姆–施密特过程密切相关。其步骤依次为： 1. 集合 $f _ { 1 } = u _ { 1 } , \mathrm { t h e n } e _ { 1 } = { \frac { f _ { 1 } } { \| f _ { 1 } \| } } .$ 2. 集合 $f _ { 2 } = u _ { 2 } - \langle e _ { 1 } | u _ { 2 } \rangle e _ { 1 }$，它正交于 $e _ { 1 }$，因为 $$ \langle e _ {1} \mid f _ {2} \rangle = \langle e _ {1} \mid u _ {2} \rangle - \langle e _ {1} \mid u _ {2} \rangle \| e _ {1} \| = 0. $$ 通过设置$e _ { 2 } = f _ { 2 } / \| f _ { 2 } \|$来规范化$f _ { 2 }$ 3. 集合 $f _ { 3 } = u _ { 3 } - \langle e _ { 1 } | u _ { 3 } \rangle e _ { 1 } - \langle e _ { 2 } | u _ { 3 } \rangle e _ { 2 }$，它与 $e _ { 1 }$ 和 $e _ { 2 }$ 均正交。将其归一化以得到 $e _ { 3 } = { \frac { f _ { 3 } } { \parallel f _ { 3 } \parallel } }$ 4. 按此方式继续，直到 $$ f _ {n} = u _ {n} - \sum_ {i = 1} ^ {n - 1} \left\langle e _ {i} \mid u _ {n} \right\rangle e _ {i} \quad \text { and } \quad e _ {n} = \frac {f _ {n}}{\| f _ {n} \|}. $$ 由于每个向量 $e _ { i }$ 都是单位向量，并且与所有由先前步骤定义的 $j < i$ 的 $e _ { j }$ 正交，它们构成一个正交归一集合。容易看出，$V$ 的任意向量 $v = v ^ { i } u _ { i }$ 都是 $e _ { i }$ 的线性组合，因为每个 $u _ { j }$ 都是 $e _ { 1 } , \ldots , e _ { j }$ 的线性组合。因此，由定理 3.3，向量 $\{ e _ { i } \}$ 构成一个基，因为它们张成 $V$ 且其数目为 $n$。 相对于标准正交基，任意一对向量 $u = u ^ { i } e _ { i }$ 与 $v = v ^ { j } e _ { j }$ 的内积由下式给出 $$ \langle u | v \rangle = \langle u ^ {i} e _ {i} | v ^ {j} e _ {j} \rangle = \overline {{u ^ {i}}} v ^ {j} \langle e _ {i} | e _ {j} \rangle = \overline {{u ^ {i}}} v ^ {j} \delta_ {i j}. $$ 因此 $$ \langle u \mid v \rangle \sum_ {i = 1} ^ {n} \overline {{{u ^ {i}}}} v ^ {i} = \overline {{{u ^ {1}}}} v ^ {1} + \overline {{{u ^ {2}}}} v ^ {2} + \dots + \overline {{{u ^ {n}}}} v ^ {n}, $$ 这等价于在例5.4中定义在$\mathbb { C } ^ { n }$上的标准内积。 > [!example] 例 5.7 > > 设一个内积在基 $u _ { 1 } , u _ { 2 } , u _ { 3 } ;$ 中具有以下分量 > > $$ > h _ {1 1} = \langle u _ {1} | u _ {1} \rangle = 1 \quad h _ {1 2} = \langle u _ {1} | u _ {2} \rangle = 0 \quad h _ {1 3} = \langle u _ {1} | u _ {3} \rangle = \frac {1}{2} (1 + i) > $$ > > $$ > h _ {2 1} = \langle u _ {2} | u _ {1} \rangle = 0 \quad h _ {2 2} = \langle u _ {2} | u _ {2} \rangle = 2 \quad h _ {2 3} = \langle u _ {2} | u _ {3} \rangle = 0 > $$ > > $$ > h _ {3 1} = \langle u _ {3} | u _ {1} \rangle = \frac {1}{2} (1 - i) \quad h _ {3 2} = \langle u _ {3} | u _ {2} \rangle = 0 \quad h _ {3 3} = \langle u _ {3} | u _ {3} \rangle = 1. > $$ > > 在继续之前，重要的是要认识到这个内积确实满足正定条件 (IP3)。例如，如果我们给定 $h _ { 1 3 } = \overline { { h _ { 3 1 } } } = 1 + i$，情况就不会如此，因为那时向量 $\displaystyle { v = u _ { 1 } - \frac { 1 - i } { \sqrt { 2 } } u _ { 3 } }$ 将具有负范数 $\langle v | v \rangle = 2 ( 1 - \sqrt { 2 } ) < 0 \quad$。 > > 在上述内积中，首先令$e _ { 1 } = f _ { 1 } = u _ { 1 }$。下一个向量是 > > $$ > f _ {2} = u _ {2} - \langle e _ {1} | u _ {2} \rangle e _ {1} = u _ {2}, \quad e _ {2} = \frac {u _ {2}}{\| u _ {2} \|} = \frac {1}{\sqrt {2}} u _ {2}. > $$ > > 最后一步是设置 > > $$ > f _ {3} = u _ {3} - \langle e _ {1} | u _ {3} \rangle e _ {1} - \langle e _ {2} | u _ {3} \rangle e _ {2} = u _ {3} - \frac {1}{2} (1 + i) u _ {1} > $$ > > 其范数平方为 > > $$ > \begin{aligned} > (\| f _ {3} \|) ^ {2} &= \langle u _ {3} | u _ {3} \rangle - \frac {1}{2} (1 - i) \langle u _ {1} | u _ {3} \rangle - \frac {1}{2} (1 + i) \langle u _ {3} | u _ {1} \rangle + \frac {1}{4} (1 - i) (1 + i) \langle u _ {1} | u _ {1} \rangle \\[0.4em] > &= 1 - \frac {1}{4} (1 - i) (1 + i) - \frac {1}{4} (1 + i) (1 - i) + \frac {1}{2} = \frac {1}{2}. > \end{aligned} > $$ > > 因此$e _ { 3 } = f _ { 3 } / \lVert f _ { 3 } \rVert = \sqrt{2}(u_3-(1+i)u_1)$构成了标准正交基。 > 施密特正交归一化过程实际上提供了一种证明正定性的好方法，因为如果内积不满足 (IP3)，该过程会在某一阶段中断，产生一个范数非正的向量。 > [!exercise] 随文练习 > > 尝试对上述内积进行施密特正交归一化，并按 $h _ { 1 3 } = \overline { { h _ { 3 1 } } } = 1 + i$ 进行更改，然后观察它如何失效！ ### 12.9 Supersymmetric quantum mechanics ｜ 12.9 超对称量子力学 原站：https://limbo137.top/books/nakahara-geometry-topology-physics/second-edition-local/en/chapter-12/09-section-12-9 · 本段文件：https://limbo137.top/okf/books/nakahara-geometry-topology-physics/second-edition-local/chapter-12/09-section-12-9.md ## 12.9.2 平坦空间中的超对称量子力学 $$ L = \frac {1}{2} \dot {x} _ {k} \dot {x} _ {k} + \frac {\mathrm {i}}{2} \psi_ {k} \dot {\psi} _ {k}. \tag {12.137} $$ 于是哈密顿量为 该系统的庞加莱1-形式为 相应的辛2-形式为 由此得到泊松括号 把该泊松括号替换为反交换关系，即实现了系统的量子化： 这一反交换关系称为 $\mathbb{R}^3$ 上的克利福德代数(Clifford algebra)。设 $\sigma_i$ 为泡利矩阵的第 $i$ 个分量。由观察 容易验证，$\psi_{i} = \sigma_{i} / \sqrt{2}$ 是克利福德代数的二维表示。众所周知，克利福德代数的有限维不可约表示（在共轭变换的意义下）是唯一的。因此，该系统的希尔伯特空间为 $\mathcal{H} = \mathbb{C}^2$。用泡利矩阵改写哈密顿量，得 这一哈密顿量称为泡利哈密顿量(Pauli Hamiltonian)，它描述处于磁场中的自旋。 类似地，在 $\mathbb{R}^{2n}$ 与 $\mathbb{R}^{2n + 1}$ 上定义的克利福德代数作用于希尔伯特空间 $\mathcal{H} = \mathbb{C}^{2^n}$。 泡利哈密顿量只由自旋坐标 $\psi_{i}$ 构成，与空间坐标 $x_{k}$ 无关。因此，它无法描述运动的自旋。现在修改哈密顿量，使自旋可以在空间中运动。这可以通过在哈密顿量中加上一个动能项来实现。考虑 $\mathbb{R}^d$ 中的自旋，并令 $\pmb {B} = 0$，得到哈密顿量 这个拉格朗日量的系数是经过选取的，使得该系统具有后面将要定义的超对称(supersymmetry)。其正则共轭动量为 $p_k = \dot{x}_k$ 与 $\pi_k = -\mathrm{i}\psi_k / 2$，由此得到该系统的泊松括号 $$ [ x _ {j}, x _ {k} ] _ {\mathrm {P B}} = [ p _ {j}, p _ {k} ] _ {\mathrm {P B}} = 0 \quad [ x _ {j}, p _ {k} ] _ {\mathrm {P B}} = [ \psi_ {j}, \psi_ {k} ] _ {\mathrm {P B}} = \delta_ {j k}. $$ 由这些泊松括号容易导出（反）对易关系。正则（反）对易关系为 $$ \left[ x _ {j}, x _ {k} \right] = \left[ p _ {j}, p _ {k} \right] = 0 \quad \left[ x _ {j}, p _ {k} \right] = \left\{\psi_ {j}, \psi_ {k} \right\} = \delta_ {j k}. \tag {12.138} $$ 哈密顿量为 $$ H = \dot {x} _ {j} p _ {j} - \dot {\psi} _ {j} \frac {\mathrm {i}}{2} \psi_ {j} - L = \frac {1}{2} p ^ {2} = - \frac {1}{2} \Delta \tag {12.139} $$ 其中 $\Delta = \sum_{k=1}^{d} \partial_k^2$ 是 $d$ 维的拉普拉斯算符。$H$ 所作用的希尔伯特空间为 $L^2(\mathbb{R}^d) \otimes \mathbb{C}^{2^n}$，其中 $L^2(\mathbb{R}^d)$ 表示 $\mathbb{R}^d$ 上的平方可积函数之集，而 $n \equiv [d/2]$ 是 $d/2$ 的整数部分。 对拉格朗日量作变分，得到 $$ \delta L = \dot {x} _ {j} \frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d} t} \delta x _ {j} + \frac {\mathrm {i}}{2} \delta \psi_ {j} \dot {\psi} _ {j} + \frac {\mathrm {i}}{2} \psi_ {j} \frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d} t} \delta \psi_ {j}. $$ 下面我们来验证拉格朗日量在如下超对称变换下保持不变 $$ \delta x _ {j} = \mathrm {i} \epsilon \psi_ {j} \quad \delta \psi_ {j} = - \epsilon \dot {x} _ {j} \tag {12.140} $$ 其中 $\epsilon$ 是一个“无穷小”的实格拉斯曼常数。事实上， $$ \begin{aligned} \delta L &= \mathrm {i} \dot {x} _ {j} \epsilon \dot {\psi} _ {j} - \frac {\mathrm {i}}{2} \epsilon \dot {x} _ {j} \dot {\psi} _ {j} - \frac {\mathrm {i}}{2} \psi_ {j} \epsilon \ddot {x} _ {j} \\ &= \mathrm {i} \dot {x} _ {j} \epsilon \dot {\psi} _ {j} - \frac {\mathrm {i}}{2} \epsilon \dot {x} _ {j} \dot {\psi} _ {j} - \frac {\mathrm {i}}{2} \frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d} t} (\psi_ {j} \epsilon \dot {x} _ {j}) + \frac {\mathrm {i}}{2} \dot {\psi} _ {j} \epsilon \dot {x} _ {j} \\ &= - \frac {\mathrm {i}}{2} \frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d} t} \left(\psi_ {j} \epsilon \dot {x} _ {j}\right) \end{aligned} \tag {12.141} $$ 于是作用量 $S = \int L\mathrm{d}t$ 保持不变。相应的守恒荷（即生成元）称为超荷(supercharge)，它由Noether定理定义为<sup>4</sup> $$ \epsilon Q \equiv \mathrm {i} \epsilon p _ {j} \psi_ {j} = \mathrm {i} \epsilon \psi_ {j} p _ {j} = \mathrm {i} \epsilon \psi_ {j} \dot {x} _ {j}. \tag {12.142} $$ > [!exercise] 练习 12.8 > > 证明 > > > > > $$ > \delta x _ {j} = \left[ x _ {j}, \epsilon Q \right] \tag {12.143} > $$ > > > > > > $$ > \delta \psi_ {j} = \left\{\psi_ {j}, \epsilon Q \right\}. \tag {12.144} > $$ > > 4 注意粒子的质量已取为单位值，因此有 $p_j = \dot{x}_j$。 这些式子表明，$Q$ 是超对称变换的生成元。 下面设 $d = 2n$ 为偶数，并对系统进行量子化。我们引入矩阵表示 $\psi_{j} = \gamma_{j} / \sqrt{2}$，它是上一小节中引入的二维表示的推广。这里 $\gamma_{j}$ 是 $d$ 维的狄拉克矩阵，它们满足克利福德代数 $$ \left\{\gamma_ {j}, \gamma_ {k} \right\} = 2 \delta_ {i j}. \tag {12.145} $$ 哈密顿量作用在希尔伯特空间 $$ \mathcal {H} = L _ {2} (\mathbb {R} ^ {2 n}) \otimes \mathbb {C} ^ {2 ^ {n}}. $$ 将坐标对角化后，超荷取如下形式： $$ Q = \mathrm {i} \psi_ {j} p _ {j} = \frac {1}{\sqrt {2}} \gamma_ {j} \frac {\partial}{\partial x _ {j}}. \tag {12.146} $$ 算符 $$ \partial / \gamma_ {j} \frac {\partial}{\partial x _ {j}} \tag {12.147} $$ 正是欧几里得空间 $\mathbb{R}^{2n}$ 中的狄拉克算符，它在指标定理的证明中起着重要作用。 在超对称变换 [(12.140)](09-section-12-9.md#equation-12-140) 下，超荷 $Q$ 的变换方式很有意思： $$ \begin{aligned} \delta Q &= \mathrm {i} (\delta \psi_ {j}) \dot {x} _ {j} + i \psi_ {j} \frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d} t} \delta x _ {j} = \mathrm {i} (- \epsilon \dot {x} _ {j}) \dot {x} _ {j} + \mathrm {i} \psi_ {j} (\mathrm {i} \epsilon \dot {\psi} _ {j}) \\ &= - \mathrm {i} \epsilon \dot {x} _ {j} \dot {x} _ {j} + \epsilon \psi_ {j} \dot {\psi} _ {j} = - 2 \mathrm {i} \epsilon \left(\frac {1}{2} \dot {x} _ {j} \dot {x} _ {j} + \frac {\mathrm {i}}{2} \psi_ {j} \dot {\psi} _ {j}\right) \\ &= - 2 \mathrm {i} \epsilon L. \end{aligned} \tag {12.148} $$ 也就是说，超荷在无穷小超对称变换下的变分恰好就是拉格朗日量！ 接下来我们考虑超荷与系统哈密顿量之间的关系。考虑以格拉斯曼参数 $\epsilon_{1}$ 和 $\epsilon_{2}$ 相继进行的两次超对称变换。若先施行参数为 $\epsilon_{1}$ 的变换，再施行参数为 $\epsilon_{2}$ 的变换，则得到 $$ x _ {j} \stackrel {\epsilon_ {1}} {\rightarrow} x _ {j} + \mathrm {i} \epsilon_ {1} \psi_ {j} \stackrel {\epsilon_ {2}} {\rightarrow} x _ {j} + \mathrm {i} (\epsilon_ {1} + \epsilon_ {2}) \psi_ {j} - \mathrm {i} \epsilon_ {1} \epsilon_ {2} \dot {x} _ {j} $$ $$ \psi_ {j} \xrightarrow {\epsilon_ {1}} \psi_ {j} - \epsilon_ {1} \dot {x} _ {j} \xrightarrow {\epsilon_ {2}} \psi_ {j} - (\epsilon_ {1} + \epsilon_ {2}) \dot {x} _ {j} - \mathrm {i} \epsilon_ {1} \epsilon_ {2} \dot {\psi} _ {j} $$ 而若把两次超对称变换的次序颠倒，则得到 $$ \begin{aligned} &x _ {j} \rightarrow x _ {j} + \mathrm {i} (\epsilon_ {1} + \epsilon_ {2}) \psi_ {j} - \mathrm {i} \epsilon_ {2} \epsilon_ {1} \dot {x} _ {j} \\ &\psi_ {j} \rightarrow \psi_ {j} - (\epsilon_ {1} + \epsilon_ {2}) \dot {x} _ {j} - \mathrm {i} \epsilon_ {2} \epsilon_ {1} \dot {\psi} _ {j}. \end{aligned} $$ 由这些结果可得超对称变分的对易关系： $$ \left[ \delta_ {\epsilon_ {2}}, \delta_ {\epsilon_ {1}} \right] = \delta_ {\epsilon_ {2}} \delta_ {\epsilon_ {1}} - \delta_ {\epsilon_ {1}} \delta_ {\epsilon_ {2}} = - 2 \mathrm {i} \epsilon_ {1} \epsilon_ {2} \frac {\partial}{\partial t}. \tag {12.149} $$ 两次超对称变换的对易关系是一个时间导数，即哈密顿量，这一观察提示：作为超对称变换生成元的超荷，其反对易关系也应给出哈密顿量。事实上， $$ \begin{aligned} \{Q, Q \} &= 2 Q ^ {2} = 2 (\mathrm {i} p _ {j} \psi_ {j}) (\mathrm {i} p _ {k} \psi_ {k}) \\ &= - p _ {j} p _ {k} \left(\psi_ {j} \psi_ {k} + \psi_ {k} \psi_ {j}\right) = - p _ {j} p _ {k} \delta_ {j k} \\ &= - 2 H. \end{aligned} $$ 总之，超对称代数归结为 $$ Q ^ {2} = - H. \tag {12.150} $$ 由于 $Q$ 是反厄米的，哈密顿量是一个厄米算符，其谱非负。 总之，我们在 [式 (12.148)](09-section-12-9.md#equation-12-148) 和 [(12.141)](09-section-12-9.md#equation-12-141) 中证明了 $$ \delta Q = - 2 \mathrm {i} \epsilon L \quad \delta L = \frac {1}{2} \epsilon \frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} t}. \tag {12.151} $$ 若把这些式子与坐标 $x_{j}$ 和 $\psi_{j}$ 的超对称变换 [(12.140)](09-section-12-9.md#equation-12-140) 相比较，我们立刻注意到，玻色型量（$(x_{j}$ 和 $L$）与费米型量（$(\psi_{j}$ 和 $Q$）所起的作用互换了。注意，[(12.151)](09-section-12-9.md#equation-12-151) 中超荷 $Q$ 的变分总是拉格朗日量 $L$ 的时间导数。这一观察对于由超荷 $Q$ 构造超对称不变的拉格朗日量至关重要。 ## 命中概念（P1 卡片全文） ### 希尔伯特空间(Hilbert space) # 希尔伯特空间(Hilbert space) ## 各书的首次出现与定义 ### szekeres · source-snapshot-bc3404156f6e 首次出现（当前为最早已登记位置）： - en · §13.1 · `en/chapter-13/01-definitions-and-examples#concept-13-hilbert-space` [所引书籍文本](https://limbo137.top/en/chapter-13/01-definitions-and-examples)（行 160） · [书本英文原文 · §13.1](https://limbo137.top/en/chapter-13/01-definitions-and-examples) · 原书 PDF（具体页未登记）（PDF 本体不随包分发） [定位与哈希](../evidence/e-091b4f6b8a0cca3b8c6a2c37.json) > The triangle inequality (Norm3) is a consequence of Theorem 5.6. These properties hold equally in finite or infinite dimensional vector spaces. A Hilbert space $(\mathcal H,\langle\cdot\mid\cdot\rangle)$ is an inner product space that is complete in the induced norm; that is, $(\mathcal H,\|\cdot\|)$ is a Banach space. An introduction to Hilbert spaces at the level of this chapter may be found in [1–6], while more advanced topics are dealt with in [7–11]. - zh-CN · §5.2 · `zh/chapter-05/02-complex-inner-product-spaces#concept-5-hilbert-space` [所引书籍文本](https://limbo137.top/zh/chapter-05/02-complex-inner-product-spaces)（行 252） · [书本英文原文 · §5.2（节级定位）](https://limbo137.top/en/chapter-05/02-complex-inner-product-spaces) · 原书 PDF（具体页未登记）（PDF 本体不随包分发） [定位与哈希](../evidence/e-1ad8b7590c8bd3e995f9b965.json) > 带有内积的复向量空间将简称为 内积空间(inner product space)。如果 $V$ 是有限维的，则常称为有限维 希尔伯特空间(Hilbert space)，但对于无限维空间，希尔伯特空间这一术语仅适用于该空间是完备的情形（见第 13 章）。 全部已登记位置（含后续出现，不限于首次）： - §13.1 · zh-CN · `zh/chapter-13/01-definitions-and-examples` [所引书籍文本](https://limbo137.top/zh/chapter-13/01-definitions-and-examples)（行 171） · [书本英文原文 · §13.1（节级定位）](https://limbo137.top/en/chapter-13/01-definitions-and-examples) · 原书 PDF（具体页未登记）（PDF 本体不随包分发） - §13.1 · en · `en/chapter-13/01-definitions-and-examples` [所引书籍文本](https://limbo137.top/en/chapter-13/01-definitions-and-examples)（行 160） · [书本英文原文 · §13.1](https://limbo137.top/en/chapter-13/01-definitions-and-examples) · 原书 PDF（具体页未登记）（PDF 本体不随包分发） - §5.2 · zh-CN · `zh/chapter-05/02-complex-inner-product-spaces` [所引书籍文本](https://limbo137.top/zh/chapter-05/02-complex-inner-product-spaces)（行 252） · [书本英文原文 · §5.2（节级定位）](https://limbo137.top/en/chapter-05/02-complex-inner-product-spaces) · 原书 PDF（具体页未登记）（PDF 本体不随包分发） 定义： **缺失定义记录**：当前已登记来源未提供定义记录；未断言原书没有定义。 ### woit-qtgr · 2025-10-20 首次出现（当前为最早已登记位置）： - zh-CN · §1.2 · `books/woit-qtgr/2025-10-20/zh/chapter-01/02-basic-principles-of-quantum-mechanics#first-5efc7defe0f023f15efe-zh` [所引书籍文本](https://limbo137.top/books/woit-qtgr/2025-10-20/zh/chapter-01/02-basic-principles-of-quantum-mechanics)（行 323） · [书本英文原文 · §1.2（节级定位）](https://limbo137.top/books/woit-qtgr/2025-10-20/en/chapter-01/02-basic-principles-of-quantum-mechanics) · 原书 PDF（具体页未登记）（PDF 本体不随包分发） [定位与哈希](../evidence/e-7ef913f0bf10cc31baaa8262.json) > 我们将在[第4章](/chapter-04/)回顾一些线性代数内容，包括复向量空间上内积的性质。$\mathcal{H}$ 可以是有限维或无限维的；在无限维情形下，还需要施加额外限制（例如，我们可能要求 $\mathcal{H}$ 是一个[希尔伯特空间(Hilbert space)](/zh/chapter-13/01-definitions-and-examples#concept-13-hilbert-space)）。请注意，量子态与经典力学中的状态有两个非常重要的区别： 全部已登记位置（含后续出现，不限于首次）： - §1.2 · zh-CN · `books/woit-qtgr/2025-10-20/zh/chapter-01/02-basic-principles-of-quantum-mechanics` [所引书籍文本](https://limbo137.top/books/woit-qtgr/2025-10-20/zh/chapter-01/02-basic-principles-of-quantum-mechanics)（行 323） · [书本英文原文 · §1.2（节级定位）](https://limbo137.top/books/woit-qtgr/2025-10-20/en/chapter-01/02-basic-principles-of-quantum-mechanics) · 原书 PDF（具体页未登记）（PDF 本体不随包分发） 定义： **缺失定义记录**：当前已登记来源未提供定义记录；未断言原书没有定义。 ## 按书与路径记录的依赖组 未登记依赖组；不代表该概念没有前置知识。 ## 名称与维护 UUID：`urn:uuid:34c6c0e8-a933-4a51-bbf6-7721075b239c`。状态：`active`。 本页由脚本生成；YAML 为结构化第二入口，JSON 索引指向本页。原书和冻结证据保留各自版本。 ### 希尔伯特拉格朗日量(Hilbert Lagrangian) # 希尔伯特拉格朗日量(Hilbert Lagrangian) ## 各书的首次出现与定义 ### szekeres · source-snapshot-bc3404156f6e 首次出现（当前为最早已登记位置）： - zh-CN · §18.10 · `zh/chapter-18/10-variation-principles-in-space-time#first-585ec3f84b40b0c0f6c5-zh` [所引书籍文本](https://limbo137.top/zh/chapter-18/10-variation-principles-in-space-time)（行 266） · [书本英文原文 · §18.10（节级定位）](https://limbo137.top/en/chapter-18/10-variation-principles-in-space-time) · 原书 PDF（具体页未登记）（PDF 本体不随包分发） [定位与哈希](../evidence/e-db9da257091ee52978d8a4e3.json) > 爱因斯坦场方程可由变分原理导出，只需将拉格朗日量取为里奇标量，$L = R$。这被称为希尔伯特拉格朗日量(Hilbert Lagrangian)。对于独立变量，既可以取度规张量分量$g _ { \mu \nu }$，也可以取其逆张量的分量$g ^ { \mu \nu }$。我们将采用后者，因为它稍微更为方便（读者可以尝试针对变量$\Phi _ { A } = g _ { \mu \nu }$ 调整随后的分析。我们不能直接使用欧拉–拉格朗日方程 式 (18.113)，因为$R$ 依赖于$g ^ { \mu \nu }$ 及其一阶和二阶导数。虽然欧拉–拉格朗日分析可以推广到包含依赖于场二阶导数的拉格朗日量（见问题18.32），但这将是一项极其复杂的计算。直接进行，我们有 - en · §18.10 · `en/chapter-18/10-variation-principles-in-space-time#first-585ec3f84b40b0c0f6c5-en` [所引书籍文本](https://limbo137.top/en/chapter-18/10-variation-principles-in-space-time)（行 256） · [书本英文原文 · §18.10](https://limbo137.top/en/chapter-18/10-variation-principles-in-space-time) · 原书 PDF（具体页未登记）（PDF 本体不随包分发） [定位与哈希](../evidence/e-666d7991afc8412311c283a3.json) > Einstein’s field equations may be derived from a variation principle, by setting the Lagrangian to be the Ricci scalar, $L = R$ . This is known as the Hilbert Lagrangian. For independent variables it is possible to take either the metric tensor components $g _ { \mu \nu }$ or those of the inverse tensor $g ^ { \mu \nu }$ . We will adopt the latter, as it is slightly more convenient (the reader may try to adapt the analysis that follows for the variables $\Phi _ { A } = g _ { \mu \nu }$ . We cannot use the Euler–Lagrange equations Eq. (18.113) as they stand since $R$ is dependent on $g ^ { \mu \nu }$ and its first and second derivatives. While the Euler–Lagrange analysis can be extended to include Lagrangians that depend on second derivatives of the fields (see Problem 18.32), this would be a prohibitively complicated calculation. Proceeding directly, we have 全部已登记位置（含后续出现，不限于首次）： - §18.10 · zh-CN · `zh/chapter-18/10-variation-principles-in-space-time` [所引书籍文本](https://limbo137.top/zh/chapter-18/10-variation-principles-in-space-time)（行 266） · [书本英文原文 · §18.10（节级定位）](https://limbo137.top/en/chapter-18/10-variation-principles-in-space-time) · 原书 PDF（具体页未登记）（PDF 本体不随包分发） - §18.10 · en · `en/chapter-18/10-variation-principles-in-space-time` [所引书籍文本](https://limbo137.top/en/chapter-18/10-variation-principles-in-space-time)（行 256） · [书本英文原文 · §18.10](https://limbo137.top/en/chapter-18/10-variation-principles-in-space-time) · 原书 PDF（具体页未登记）（PDF 本体不随包分发） 定义： **缺失定义记录**：当前已登记来源未提供定义记录；未断言原书没有定义。 ## 按书与路径记录的依赖组 未登记依赖组；不代表该概念没有前置知识。 ## 名称与维护 UUID：`urn:uuid:5cac9313-3d4f-4510-8bac-b257c148accb`。状态：`active`。 本页由脚本生成；YAML 为结构化第二入口，JSON 索引指向本页。原书和冻结证据保留各自版本。 ### 准希尔伯特空间(pre-Hilbert space) # 准希尔伯特空间(pre-Hilbert space) ## 各书的首次出现与定义 ### szekeres · source-snapshot-bc3404156f6e 首次出现（当前为最早已登记位置）： - zh-CN · §13.1 · `zh/chapter-13/01-definitions-and-examples#concept-13-pre-hilbert-space` [所引书籍文本](https://limbo137.top/zh/chapter-13/01-definitions-and-examples)（行 157） · [书本英文原文 · §13.1（节级定位）](https://limbo137.top/en/chapter-13/01-definitions-and-examples) · 原书 PDF（具体页未登记）（PDF 本体不随包分发） [定位与哈希](../evidence/e-12da3ef78f452e544a8b0eb1.json) > 令$V$是带有内积结构$\langle \cdot\mid \cdot\rangle:V\times V\rightarrow\mathbb{C}$的复向量空间，满足5.2中的(IP1)-(IP3)，这样一个空间常被称为一个准希尔伯特空间(pre-Hilbert space)。5.11可以在其上定义范数 - en · §13.1 · `en/chapter-13/01-definitions-and-examples#first-7823004a613ae5dd9c35-en` [所引书籍文本](https://limbo137.top/en/chapter-13/01-definitions-and-examples)（行 146） · [书本英文原文 · §13.1](https://limbo137.top/en/chapter-13/01-definitions-and-examples) · 原书 PDF（具体页未登记）（PDF 本体不随包分发） [定位与哈希](../evidence/e-fdb66c525530176bf3c45e76.json) > Let $V$ be a complex vector space with an inner product $\langle \cdot | \cdot \rangle : V \times V \to \mathbb { C }$ satisfying (IP1)– (IP3) of Section 5.2. Such a space is sometimes called a pre-Hilbert space. As in Eq. (5.11) define a norm on an inner product space by 全部已登记位置（含后续出现，不限于首次）： - §13.1 · en · `en/chapter-13/01-definitions-and-examples` [所引书籍文本](https://limbo137.top/en/chapter-13/01-definitions-and-examples)（行 146） · [书本英文原文 · §13.1](https://limbo137.top/en/chapter-13/01-definitions-and-examples) · 原书 PDF（具体页未登记）（PDF 本体不随包分发） - §13.1 · zh-CN · `zh/chapter-13/01-definitions-and-examples` [所引书籍文本](https://limbo137.top/zh/chapter-13/01-definitions-and-examples)（行 157） · [书本英文原文 · §13.1（节级定位）](https://limbo137.top/en/chapter-13/01-definitions-and-examples) · 原书 PDF（具体页未登记）（PDF 本体不随包分发） 定义： **缺失定义记录**：当前已登记来源未提供定义记录；未断言原书没有定义。 ## 按书与路径记录的依赖组 未登记依赖组；不代表该概念没有前置知识。 ## 名称与维护 UUID：`urn:uuid:533f0fe5-106d-4d9c-8fbb-d18f91263336`。状态：`active`。 本页由脚本生成；YAML 为结构化第二入口，JSON 索引指向本页。原书和冻结证据保留各自版本。 ## 英文片段（P3 来自已发布小节的英文权威片段） ### 1.2 Canonical quantization 原站：https://limbo137.top/books/nakahara-geometry-topology-physics/second-edition-local/en/chapter-01/02-section-1-2 · 打包文件：https://limbo137.top/okf/books/nakahara-geometry-topology-physics/second-edition-local/chapter-01/02-section-1-2.md ## 英文片段 · English excerpts（只发短片段，不是整节原文） - scope: `fragments`（每个概念一句，≤320 字符） - 人类阅读网页: https://limbo137.top/books/nakahara-geometry-topology-physics/second-edition-local/en/chapter-01/02-section-1-2 - **variable**（变量）：By rescaling the variables as $\xi = \sqrt{m\omega} x, \varepsilon = E / \hbar \omega$ , one arrives at - **commutation relation**（对易关系）：multiplied by $-\mathrm{i} / \hbar$ . The unit in which $\hbar = 1$ will be employed hereafter unless otherwise stated explicitly. The fundamental commutation relations are (cf (1.22)) - **unitary operator**（酉算符）：Therefore, the operators $\hat{A}(t)$ and $\hat{A}(0)$ are related by the unitary operator - **component**（分量）：Let $\{|e_1\rangle, |e_2\rangle, \ldots\}$ be a basis of $\mathcal{H}$ . Any vector $|\psi \rangle \in \mathcal{H}$ is then expanded as $|\psi \rangle = \sum_{k} \psi_k |e_k\rangle$ , where $\psi_k \in \mathbb{C}$ is called the $k$ th component of $|\psi \rangle$ .… - **position operator**（位置算符）：Let us consider a particle moving on the real line $\mathbb{R}$ and let $\hat{x}$ be the position operator with the eigenvalue $y$ and the corresponding eigenvector $|y\rangle$ ; $\hat{x} |y\rangle = y|y\rangle$ . The eigenvectors are normalized as $\langle x|y\rangle = \delta (x - y)$ . - **dual vector space**（对偶向量空间）：We employ a special notation introduced by Dirac and write the linear function as $\langle \alpha |$ and the action as $\langle \alpha |\psi \rangle \in \mathbb{C}$ . The set of linear functions is itself a vector space called the dual vector space of $\mathcal{H}$ , denoted $\mathcal{H}^*$ .… - **normalization condition**（归一化条件）：where $\delta(a)$ is the Dirac $\delta$ -function. The expansion coefficient $\psi(a)$ is obtained from this normalization condition as $\psi(a) = \langle a|\psi\rangle$ . If $|\psi\rangle$ is normalized as $\langle \psi|\psi\rangle = 1$ , one should have - **inner product**（内积）：It is possible to introduce a one-to-one correspondence between elements in $\mathcal{H}$ and $\mathcal{H}^*$ . Let us fix a basis $\{|e_k\rangle\}$ of $\mathcal{H}$ and $\{\langle \varepsilon_k|\}$ of $\mathcal{H}^*$ . Then corresponding to $|\psi\rangle = \sum_{k}\psi_{k}|e_{k}\rangle$ ,… - **annihilation operator**（湮灭算符）：This eigenvalue problem can also be analysed by an algebraic method. Define the annihilation operator $\hat{a}$ and the creation operator $\hat{a}^{\dagger}$ by - **vector**（向量）：An element of $\mathcal{H}$ is called a ket or a ket vector. - **eigenvector**（特征向量）：Let us consider a particle moving on the real line $\mathbb{R}$ and let $\hat{x}$ be the position operator with the eigenvalue $y$ and the corresponding eigenvector $|y\rangle$ ; $\hat{x} |y\rangle = y|y\rangle$ . The eigenvectors are normalized as $\langle x|y\rangle = \delta (x - y)$ . - **commutator**（对易子）：A3. The Poisson bracket in classical mechanics is replaced by the commutator ## 下一跳 - 本站目录与术语索引：https://limbo137.top/llms.txt