凯勒形式

本书暂定概念：尚未进入正式概念库。下面是本书给出的定义原文。

定义 · 8.4 埃尔米特流形与埃尔米特微分几何

注意 $\Omega$ 是反对称的，即 $\Omega (X,Y)=g(JX,Y)=g(J^{2}X,JY)=-g(JY,X)=-\Omega (Y,X)$。因此，$\Omega$ 定义了一个 2-形式，称为埃尔米特度量 $g$ 的凯勒形式(Kähler form)。可以看到，$\Omega$ 在 $J$ 的作用下不变，

$$\Omega (JX,JY)=g\left(J^{2}X,JY\right)=g\left(J^{3}X,J^{2}Y\right)=\Omega (X,Y).\text{\hspace{1em}(8.56)}$$

英文原文

Note that $\Omega$ is anti-symmetric, $\Omega (X,Y)=g(JX,Y)=g(J^{2}X,JY)=-g(JY,X)=-\Omega (Y,X)$ . Hence, $\Omega$ defines a two-form called the Kähler form of a Hermitian metric $g$ . Observe that $\Omega$ is invariant under the action of $J$ ,

$$\Omega (JX,JY)=g\left(J^{2}X,JY\right)=g\left(J^{3}X,J^{2}Y\right)=\Omega (X,Y).\text{\hspace{1em}(8.56)}$$

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