8.4 埃尔米特流形与埃尔米特微分几何

设 $M$ 是复流形，${\dim }_{\mathbb{C}}M=m$，并设 $g$ 是 $M$ 作为可微流形的黎曼度量。取 $Z=X+\mathrm{i}Y$、$W=U+\mathrm{i}V\in T_p{M}^{\mathbb{C}}$，并将 $g$ 延拓，使得

$$g_p(Z,W)=g_p(X,U)-g_p(Y,V)+\mathrm{i}[g_p(X,V)+g_p(Y,U)].\text{\hspace{1em}(8.47)}$$

$g$ 关于基 (8.13) 的分量为

$$g_{\mu \nu }(p)=g_p\left(\partial /\partial z^{\mu },\partial /\partial z^{\nu }\right)\text{\hspace{1em}(8.48a)}$$

$$g_{\mu \bar{v}}(p)=g_p\left(\partial /\partial z^{\mu },\partial /\partial {\bar{z}}^v\right)\text{\hspace{1em}(8.48b)}$$

$$g_{\overline{\mu }\nu }(p)=g_p\left(\partial /\partial {\bar{z}}^{\mu },\partial /\partial z^{\nu }\right)\text{\hspace{1em}(8.48c)}$$

$$g_{\overline{\mu v}}(p)=g_p\left(\partial /\partial {\bar{z}}^{\mu },\partial /\partial {\bar{z}}^v\right).\text{\hspace{1em}(8.48d)}$$

容易验证

$$g_{\mu \nu }=g_{\nu \mu },g_{\overline{\mu }\overline{\nu }}=g_{\overline{\nu }\overline{\mu }},g_{\overline{\mu }\nu }=g_{\nu \overline{\mu }},\overline{g_{\mu \overline{\nu }}}=g_{\overline{\mu }\nu },\overline{g_{\mu \nu }}=g_{\overline{\mu }\nu }.\text{\hspace{1em}(8.49)}$$

8.4.1 埃尔米特度量

若复流形 $M$ 上的一个黎曼度量 $g$ 满足

$$g_p\left(J_{p}X,J_{p}Y\right)=g_p(X,Y)\text{\hspace{1em}(8.50)}$$

在每一点 $p\in M$ 处以及任意 $X,Y\in T_{p}M$ 都成立，则称 $g$ 为一个埃尔米特度量(Hermitian metric)。此时称 $(M,g)$ 为埃尔米特流形(Hermitian manifold)。关于埃尔米特度量，向量 $J_{p}X$ 与 $X$ 正交，

$$g_p\left(J_{p}X,X\right)=g_p\left(J_p^{2}X,J_{p}X\right)=-g_p\left(J_{p}X,X\right)=0.\text{\hspace{1em}(8.51)}$$

定理 8.2

复流形上总存在埃尔米特度量。

证明

设 $g$ 为复流形 $M$ 上的任一黎曼度量。定义一个新度量 $\hat{g}$ 如下：

$${\hat{g}}_p(X,Y)\equiv \frac{1}{2}\left[g_p(X,Y)+g_p\left(J_{p}X,J_{p}Y\right)\right].\text{\hspace{1em}(8.52)}$$

显然有 ${\hat{g}}_p(J_{p}X,J_{p}Y)={\hat{g}}_p(X,Y)$。此外，只要 $g$ 正定，$\hat{g}$ 就正定。因此，$\hat{g}$ 是 $M$ 上的一个埃尔米特度量。

设 $g$ 为复流形 $M$ 上的埃尔米特度量。由(8.50)可知

$$g_{\mu \nu }=g\left(\frac{\partial }{\partial z^{\mu }},\frac{\partial }{\partial z^{\nu }}\right)=g\left(J\frac{\partial }{\partial z^{\mu }},J\frac{\partial }{\partial z^{\nu }}\right)=-g\left(\frac{\partial }{\partial z^{\mu }},\frac{\partial }{\partial z^{\nu }}\right)=-g_{\mu \nu }$$

从而 $g_{\mu \nu }=0$。同样可得 $g_{\overline{\mu }\overline{\nu }}=0$。于是，埃尔米特度量 $g$ 具有如下形式

$$g=g_{\mu \bar{v}}\mathrm{d}{z}^{\mu }\otimes \mathrm{d}{\bar{z}}^{\nu }+g_{\bar{\mu }\nu }\mathrm{d}{\bar{z}}^{\mu }\otimes \mathrm{d}{z}^{\nu }.\text{\hspace{1em}(8.53)}$$

[注：取 $X,Y\in T_p{M}^{+}$。在 $T_p{M}^{+}$ 中定义内积 $h_p$ 为

$$h_p(X,Y)\equiv g_p(X,\bar{Y}).\text{\hspace{1em}(8.54)}$$

容易看出，$h_p$ 是 $T_p{M}^{+}$ 上的正定埃尔米特形式。事实上，

$$\overline{h(X,Y)}=\overline{g(X,\overline{Y})}=g(\overline{X},Y)=h(Y,X)$$

且对 $X=X_1+\mathrm{i}{X}_2$ 有 $h(X,X)=g(X,\overline{X})=g(X_1,X_1)+g(X_2,X_2)\ge 0$。这正是满足(8.50)的度量 $g$ 被称为埃尔米特度量的原因。]

8.4.2 凯勒形式

设 $(M,g)$ 为埃尔米特流形。定义张量场 $\Omega$，它在 $X,Y\in T_{p}M$ 上的作用为

$${\Omega }_p(X,Y)=g_p\left(J_{p}X,Y\right)X,Y\in T_{p}M.\text{\hspace{1em}(8.55)}$$

注意 $\Omega$ 是反对称的，即 $\Omega (X,Y)=g(JX,Y)=g(J^{2}X,JY)=-g(JY,X)=-\Omega (Y,X)$。因此，$\Omega$ 定义了一个 2-形式，称为埃尔米特度量 $g$ 的凯勒形式(Kähler form)。可以看到，$\Omega$ 在 $J$ 的作用下不变，

$$\Omega (JX,JY)=g\left(J^{2}X,JY\right)=g\left(J^{3}X,J^{2}Y\right)=\Omega (X,Y).\text{\hspace{1em}(8.56)}$$

若将定义域从 $T_{p}M$ 扩充到 $T_p{M}^{\mathrm{C}}$，则 $\Omega$ 是一个双次数为 (1, 1) 的 2-形式。事实上，对度量 (8.53)，可以算得

$$\Omega \left(\frac{\partial }{\partial z^{\mu }},\frac{\partial }{\partial z^{\nu }}\right)=g\left(J\frac{\partial }{\partial z^{\mu }},\frac{\partial }{\partial z^{\nu }}\right)=\mathrm{i}{g}_{\mu \nu }=0.$$

此外还有

$$\Omega \left(\frac{\partial }{\partial {\bar{z}}^{\mu }},\frac{\partial }{\partial {\bar{z}}^{\nu }}\right)=0,\Omega \left(\frac{\partial }{\partial z^{\mu }},\frac{\partial }{\partial {\bar{z}}^{\nu }}\right)=\mathrm{i}{g}_{\mu \bar{\nu }}=-\Omega \left(\frac{\partial }{\partial {\bar{z}}^{\nu }},\frac{\partial }{\partial z^{\mu }}\right).$$

于是，$\Omega$ 的分量为

$${\Omega }_{\mu v}={\Omega }_{\overline{\mu v}}=0{\Omega }_{\mu \bar{v}}=-{\Omega }_{\bar{v}\mu }=\mathrm{i}{g}_{\mu }\bar{v}.\text{\hspace{1em}(8.57)}$$

我们可以写出

$$\Omega =\mathrm{i}{g}_{\mu \bar{v}}\mathrm{d}{z}^{\mu }\otimes \mathrm{d}{\bar{z}}^v-\mathrm{i}{g}_{\bar{\nu }\mu }\mathrm{d}{\bar{z}}^v\otimes \mathrm{d}{z}^{\mu }=\mathrm{i}{g}_{\mu \bar{v}}\mathrm{d}{z}^{\mu }\wedge \mathrm{d}{\bar{z}}^v.\text{\hspace{1em}(8.58)}$$

$\Omega$ 也可写作

$$\Omega =-J_{\mu \bar{v}}d{z}^{\mu }\wedge d{\bar{z}}^v\text{\hspace{1em}(8.59)}$$

其中 $J_{\mu \overline{v}}=g_{\mu \overline{\lambda }}{J}_{\overline{v}}^{\overline{\lambda }}=-\mathrm{i}{g}_{\mu \overline{v}}$，而 $\Omega$ 是一个实形式(real form)；

$$\bar{\Omega }=-\mathrm{i}\overline{g_{\mu \bar{\nu }}}\mathrm{d}{\bar{z}}^{\mu }\wedge \mathrm{d}{z}^v=\mathrm{i}{g}_{v\bar{\mu }}\mathrm{d}{z}^v\wedge \mathrm{d}{\bar{z}}^{\mu }=\Omega .\text{\hspace{1em}(8.60)}$$

利用凯勒形式，我们可以证明：任何埃尔米特流形，从而任何复流形，都是可定向的。首先注意到，我们可以选取一个标准正交基 $\{{\hat{e}}_1,J{\hat{e}}_1,\dots ,{\hat{e}}_m,J{\hat{e}}_m\}$。事实上，若 $g({\hat{e}}_1,{\hat{e}}_1)=1$，则可推出 $g(J{\hat{e}}_1,J{\hat{e}}_1)=g({\hat{e}}_1,{\hat{e}}_1)=1$ 以及 $g({\hat{e}}_1,J{\hat{e}}_1)=-g(J{\hat{e}}_1,{\hat{e}}_1)=0$。于是 ${\hat{e}}_1$ 与 $J{\hat{e}}_1$ 构成一个二维子空间的标准正交基。再取 ${\hat{e}}_2$，使它与 ${\hat{e}}_1$、$J{\hat{e}}_1$ 都正交归一，并构成子空间 $\{{\hat{e}}_2,J{\hat{e}}_2\}$。重复这一过程，便得到标准正交基 $\{{\hat{e}}_1,J{\hat{e}}_1,\dots ,{\hat{e}}_m,J{\hat{e}}_m\}$。

引理 8.1

设 $\Omega$ 是维数为 ${\dim }_{\mathbb{C}}M=m$ 的埃尔米特流形的凯勒形式。则

$$\underset{m}{\underbrace{\Omega \wedge \dots \wedge \Omega }}$$

是一个处处非零的 $2m$ 次微分形式。

证明

对于前面所取的标准正交基，有

$$\Omega ({\hat{e}}_i,J{\hat{e}}_j)=g(J{\hat{e}}_i,J{\hat{e}}_j)={\delta }_{ij}\Omega ({\hat{e}}_i,{\hat{e}}_j)=\Omega (J{\hat{e}}_i,J{\hat{e}}_j)=0.$$

于是可得

$$\begin{array}{rl}& \underset{m}{\underbrace{\Omega \wedge \dots \wedge \Omega }}({\hat{e}}_1,J{\hat{e}}_1,\dots ,{\hat{e}}_m,J{\hat{e}}_m)\\ & =\sum _P\Omega \left({\hat{e}}_{P(1)},J{\hat{e}}_{P(1)}\right)\dots \Omega \left({\hat{e}}_{P(m)},J{\hat{e}}_{P(m)}\right)\\ & =m!\Omega \left({\hat{e}}_1,J{\hat{e}}_1\right)\dots \Omega \left({\hat{e}}_m,J{\hat{e}}_m\right)=m!\end{array}$$

其中 $P$ 是 $m$ 个对象的置换群中的一个元素。这表明 $\Omega \wedge \dots \wedge \Omega$ 在任意一点处都不会为零。

由于实 $2m$ 次微分形式 $\Omega \wedge \dots \wedge \Omega$ 处处非零，它可以充当体积元。由此我们得到如下定理。

定理 8.3

复流形是可定向的。

8.4.3 协变导数

设 $(M,g)$ 为埃尔米特流形。我们定义一个与复结构相容的联络。一个自然的假设是：把全纯向量 $V\in T_p{M}^{+}$ 平行移动到另一点 $q$ 后，得到的仍是全纯向量 $\tilde{V}(q)\in T_q{M}^{+}$。稍后我们将证明，在这一要求下近复结构是协变守恒的。设 $\{z^{\mu }\}$ 与 $\{z^{\mu }+\Delta z^{\mu }\}$ 分别为 $p$ 与 $q$ 的坐标，并设 $V=V^{\mu }\partial /\partial z^{\mu }{|}_p$，$\tilde{V}(q)={\tilde{V}}^{\mu }(z+\Delta z)\partial /\partial z^{\mu }{|}_q$。我们假定（参见(7.9)）

$${\tilde{V}}^{\mu }(z+\Delta z)=V^{\mu }(z)-V^{\lambda }(z){\Gamma }_{\nu \lambda }^{\mu }(z)\Delta z^{\nu }.\text{\hspace{1em}(8.61)}$$

于是基向量满足（参见(7.14)）

$${\nabla }_{\mu }\frac{\partial }{\partial z^{\nu }}={\Gamma }_{\mu \nu }^{\lambda }(z)\frac{\partial }{\partial z^{\lambda }}.\text{\hspace{1em}(8.62a)}$$

由于 $\partial /\partial {\overline{z}}^{\mu }$ 是 $\partial /\partial z^{\mu }$ 的共轭向量场，我们有

$${\nabla }_{\overline{\mu }}\frac{\partial }{\partial {\bar{z}}^{\nu }}={\Gamma }_{\overline{\mu }\nu }^{\overline{\lambda }}\frac{\partial }{\partial {\bar{z}}^{\lambda }}\text{\hspace{1em}(8.62b)}$$

其中 ${\Gamma }_{\overline{\mu }\overline{\nu }}^{\overline{\lambda }}=\overline{{\Gamma }_{\mu \nu }^{\lambda }}$。${\Gamma }_{\mu \nu }^{\lambda }$ 与 ${\Gamma }_{\overline{\mu }\overline{\nu }}^{\overline{\lambda }}$ 是仅有的非零联络系数分量。注意 ${\nabla }_{\mu }\partial /\partial {\overline{z}}^{\nu }={\nabla }_{\overline{\mu }}\partial /\partial z^{\nu }=0$。对于对偶基，非零的协变导数为

$${\nabla }_{\mu }\mathrm{d}{z}^{\nu }=-{\Gamma }_{\mu \lambda }^{\nu }\mathrm{d}{z}^{\lambda }{\nabla }_{\overline{\mu }}\mathrm{d}{\bar{z}}^{\nu }=-{\Gamma }_{\overline{\mu }\lambda }^{\overline{\nu }}{\bar{z}}^{\lambda }.\text{\hspace{1em}(8.63)}$$

$X^{+}=X^{\mu }\partial /\partial z^{\mu }\in \mathcal{X}(M{)}^{+}$ 的协变导数为

$${\nabla }_{\mu }{X}^{+}=\left({\partial }_{\mu }{X}^{\lambda }+X^{\nu }{\Gamma }_{\mu \nu }^{\lambda }\right)\frac{\partial }{\partial z^{\lambda }}\text{\hspace{1em}(8.64)}$$

其中 ${\partial }_{\mu }\equiv \partial /\partial z^{\mu }$。对于 $X^{-}=X^{\overline{\mu }}\partial /\partial {\overline{z}}^{\mu }\in \mathfrak{X}(M{)}^{-}$，有

$${\nabla }_{\mu }{X}^{-}={\partial }_{\mu }{X}^{\bar{\lambda }}\frac{\partial }{\partial {\bar{z}}^{\lambda }}\text{\hspace{1em}(8.65)}$$

这是因为 ${\Gamma }_{\mu \nu }^{\overline{\lambda }}={\Gamma }_{\mu \overline{\nu }}^{\overline{\lambda }}=0$。就反全纯向量而言，${\nabla }_{\mu }$ 的作用相当于普通导数 ${\partial }_{\mu }$。类似地，有

$${\nabla }_{\overline{\mu }}{X}^{+}={\partial }_{\overline{\mu }}{X}^{\lambda }\frac{\partial }{\partial z^{\lambda }}\text{\hspace{1em}(8.66)}$$

$${\nabla }_{\overline{\mu }}{X}^{-}=\left({\partial }_{\overline{\mu }}{X}^{\overline{\lambda }}+X^{\overline{\nu }}{\Gamma }_{\overline{\mu }\overline{\nu }}^{\overline{\lambda }}\right)\frac{\partial }{\partial {\bar{z}}^{\lambda }}.\text{\hspace{1em}(8.67)}$$

这一结果很容易推广到任意张量场。例如，若 $t=t_{\mu \nu }^{\overline{\lambda }}\mathrm{d}{z}^{\mu }\otimes \mathrm{d}{x}^{\nu }\otimes \partial /\partial {\overline{z}}^{\lambda }$，则有

$$({\nabla }_{\kappa }t{)}_{\mu \nu }^{\overline{\lambda }}={\partial }_{\kappa }{t}_{\mu \nu }^{\overline{\lambda }}-t_{\xi \nu }^{\overline{\lambda }}{\Gamma }_{\kappa \mu }^{\xi }-t_{\mu \xi }^{\overline{\lambda }}{\Gamma }_{\kappa \nu }^{\xi }$$

$$({\nabla }_{\overline{\kappa }}t{)}_{\mu \nu }^{\overline{\lambda }}={\partial }_{\overline{\kappa }}{t}_{\mu \nu }^{\overline{\lambda }}+t_{\mu \nu }^{\overline{\xi }}{\Gamma }_{\overline{\kappa }\overline{\xi }}.$$

我们要求满足如7.2 节中的度规相容性，即要求 ${\nabla }_{\kappa }{g}_{\mu \overline{v}}={\nabla }_{\overline{\kappa }}{g}_{\mu \overline{v}}=0$。写成分量形式，有

$${\partial }_{\kappa }{g}_{\mu \bar{v}}-g_{\lambda \bar{v}}{\Gamma }_{\kappa \mu }^{\lambda }=0{\partial }_{\overline{\kappa }}{g}_{\mu \bar{v}}-g_{\mu \bar{\lambda }}{\Gamma }_{\overline{\kappa }\bar{\mu }}^{\overline{\lambda }}=0.\text{\hspace{1em}(8.68)}$$

联络系数很容易读出：

$${\Gamma }_{\kappa \mu }^{\lambda }=g^{\overline{v}\lambda }{\partial }_{\kappa }{g}_{\mu \overline{v}}{\Gamma }_{\overline{\kappa }\overline{\nu }}^{\overline{\lambda }}=g^{\overline{\lambda }\mu }{\partial }_{\overline{\kappa }}{g}_{\mu \overline{\nu }}\text{\hspace{1em}(8.69)}$$

其中 $\{g^{\overline{\nu }\lambda }\}$ 是 $g_{\mu }\overline{\nu }$ 的逆矩阵；$g_{\mu \overline{\lambda }}{g}^{\overline{\lambda }\nu }={\delta }_{\mu }{}^{\nu }$，$g^{\overline{\nu }\lambda }{g}_{\lambda \overline{\mu }}={\delta }^{\overline{\nu }}{}_{\overline{\mu }}$。若一个度规相容联络满足 $\Gamma$（混合指标）$=0$，则称之为埃尔米特联络(Hermitian connection)。由构造可知，这样的联络是唯一的，并由(8.69)给出。

定理 8.4

近复结构 $J$ 关于埃尔米特联络是协变常数，

$$({\nabla }_{\kappa }J{)}_v^{\mu }=({\nabla }_{\bar{\kappa }}J{)}_v^{\mu }=({\nabla }_{\kappa }J{)}_{\bar{v}}^{\bar{\mu }}=({\nabla }_{\bar{\kappa }}J{)}_{\bar{v}}^{\bar{\mu }}=0.\text{\hspace{1em}(8.70)}$$

证明

我们证明第一个等式。由(8.22)可得

$$({\nabla }_{\kappa }J{)}_v^{\mu }={\partial }_{\kappa }\mathrm{i}{\delta }_v^{\mu }-\mathrm{i}{\delta }_{\xi }^{\mu }{\Gamma }_{\kappa v}^{\xi }+\mathrm{i}{\delta }_v^{\xi }{\Gamma }_{\kappa \xi }^{\mu }=0.$$

其余等式可由类似的计算得到。

$\square$

8.4.4 挠率与曲率

挠率张量(torsion tensor) $T$ 与黎曼曲率张量(Riemann curvature tensor) $R$ 分别定义为

$$T(X,Y)={\nabla }_{X}Y-{\nabla }_{Y}X-[X,Y]\text{\hspace{1em}(8.71)}$$

$$R(X,Y)Z={\nabla }_X{\nabla }_{Y}Z-{\nabla }_Y{\nabla }_{X}Z-{\nabla }_{[X,Y]}Z.\text{\hspace{1em}(8.72)}$$

我们得到

$$T\left(\frac{\partial }{\partial z^{\mu }},\frac{\partial }{\partial z^v}\right)=\left({\Gamma }_{\mu v}^{\lambda }-{\Gamma }_{v\mu }^{\lambda }\right)\frac{\partial }{\partial z^{\lambda }}$$

$$T\left(\frac{\partial }{\partial z^{\mu }},\frac{\partial }{\partial {\overline{z}}^{\nu }}\right)=T\left(\frac{\partial }{\partial {\overline{z}}^{\mu }},\frac{\partial }{\partial z^{\nu }}\right)=0$$

$$T\left(\frac{\partial }{\partial {\bar{z}}^{\mu }},\frac{\partial }{\partial {\bar{z}}^{\nu }}\right)=({\Gamma }_{\overline{\mu }\nu }^{\overline{\lambda }}-{\Gamma }_{\overline{\nu }\mu }^{\overline{\lambda }})\frac{\partial }{\partial {\bar{z}}^{\lambda }}.$$

非零的分量为

$$T_{\mu \nu }^{\lambda }={\Gamma }_{\mu \nu }^{\lambda }-{\Gamma }_{\nu \mu }^{\lambda }=g^{\overline{\xi }\lambda }\left({\partial }_{\mu }{g}_{\nu }\bar{\xi }-{\partial }_{\nu }{g}_{\mu }\bar{\xi }\right)\text{\hspace{1em}(8.73a)}$$

$$T_{\overline{\mu v}}^{\bar{\lambda }}={\Gamma }_{\overline{\mu v}}^{\bar{\lambda }}-{\Gamma }_{\overline{v\mu }}^{\bar{\lambda }}=g^{\bar{\lambda }\xi }\left({\partial }_{\bar{\mu }}{g}_{\bar{v}\xi }-{\partial }_{\bar{v}}{g}_{\bar{\mu }\xi }\right).\text{\hspace{1em}(8.73b)}$$

与黎曼曲率张量的情形一样，例如我们可以得到

$$R_{\lambda \mu \nu }^{\kappa }={\partial }_{\mu }{\Gamma }_{\nu \lambda }^{\kappa }-{\partial }_{\nu }{\Gamma }_{\mu \lambda }^{\kappa }+{\Gamma }_{\nu \lambda }^{\eta }{\Gamma }_{\mu \eta }^{\kappa }-{\Gamma }_{\mu \lambda }^{\eta }{\Gamma }_{\nu \eta }^{\kappa }.$$

代入(8.69)，可得

$$\begin{array}{rl}& R_{\lambda \mu \nu }^{\kappa }={\partial }_{\mu }{g}^{\overline{\xi }\kappa }{\partial }_{\nu }{g}_{\lambda \overline{\xi }}+g^{\overline{\xi }\kappa }{\partial }_{\mu }{\partial }_{\nu }{g}_{\lambda \overline{\xi }}-{\partial }_{\nu }{g}^{\overline{\xi }\kappa }{\partial }_{\mu }{g}_{\lambda \overline{\xi }}-g^{\overline{\xi }\kappa }{\partial }_{\mu }{\partial }_{\nu }{g}_{\lambda \overline{\xi }}\\ & +g^{\overline{\xi }\eta }{\partial }_{\nu }{g}_{\lambda \overline{\xi }}{g}^{\overline{\zeta }\kappa }{\partial }_{\mu }{g}_{\eta \overline{\zeta }}-g^{\overline{\xi }\eta }{\partial }_{\mu }{g}_{\lambda \overline{\xi }}{g}^{\overline{\zeta }\kappa }{\partial }_{\nu }{g}_{\eta \overline{\zeta }}=0\end{array}$$

这里用到了恒等式 $g^{\overline{\zeta }\kappa }{\partial }_{\mu }{g}_{\eta \overline{\zeta }}=-g_{\eta \overline{\zeta }}{\partial }_{\mu }{g}^{\overline{\zeta }\kappa }$ 等等。一般地，我们得到

$$R_{\bar{\lambda }AB}^{\kappa }=R_{\lambda AB}^{\bar{\kappa }}=R_{B\kappa \lambda }^A=R_{B\bar{\kappa }\bar{\lambda }}^A=0\text{\hspace{1em}(8.74)}$$

其中 $A$ 与 $B$ 是任意的全纯或反全纯指标。于是只剩下分量 $R_{\lambda \overline{\mu }\nu }^{\kappa },R_{\lambda \mu \overline{\nu }}^{\kappa },R_{\overline{\lambda }\overline{\mu }\nu }^{\overline{\kappa }}$ 与 $R_{\overline{\lambda }\mu \overline{\nu }}^{\overline{\kappa }}$。注意存在一个平凡的对称性 $R_{\lambda \overline{\mu }\nu }^{\kappa }=-R_{\lambda \nu \overline{\mu }}^{\kappa }$。因此独立分量减少为 $R_{\lambda \overline{\mu }\nu }^{\kappa }$ 与 $R_{\overline{\lambda }\mu \overline{\nu }}^{\overline{\kappa }}=\overline{R_{\lambda \overline{\mu }\nu }^{\kappa }}$。我们得到

$$R_{\lambda \bar{\mu }\nu }^{\kappa }={\partial }_{\bar{\mu }}{\Gamma }_{\nu \lambda }^{\kappa }={\partial }_{\bar{\mu }}\left(g^{\bar{\xi }\kappa }{\partial }_{\nu }{g}_{\lambda \bar{\xi }}\right)\text{\hspace{1em}(8.75a)}$$

$$R_{\overline{\lambda }\mu \bar{\nu }}^{\overline{\kappa }}={\partial }_{\mu }{\Gamma }_{\bar{\nu }\bar{\lambda }}^{\overline{\kappa }}={\partial }_{\mu }\left(g^{\overline{\kappa }\xi }{\partial }_{\bar{\nu }}{g}_{\xi \bar{\lambda }}\right).\text{\hspace{1em}(8.75b)}$$

练习 8.7

证明

$$R_{\overline{\kappa }\lambda \overline{\mu }v}\equiv g_{\overline{\kappa }\xi }{R}_{\lambda \overline{\mu }v}^{\xi }={\partial }_{\overline{\mu }}{\partial }_v{g}_{\lambda \overline{\kappa }}-g^{\overline{\eta }\xi }{\partial }_{\overline{\mu }}{g}_{\overline{\kappa }\xi }{\partial }_v{g}_{\lambda \overline{\eta }}\text{\hspace{1em}(8.76a)}$$

$$R_{\kappa }{\bar{\lambda }}_{\mu }\bar{v}\equiv g_{\kappa }\bar{\xi }{R}^{\bar{\xi }}{\bar{\lambda }}_{\mu }\bar{v}={\partial }_{\mu }{\partial }_{\bar{v}}{g}_{\bar{\lambda }\kappa }-g^{\eta \bar{\xi }}{\partial }_{\mu }{g}_{\kappa }\bar{\xi }{\partial }_{\bar{v}}{g}_{\bar{\lambda }\eta }\text{\hspace{1em}(8.76b)}$$

$$R_{\overline{\kappa }\lambda \mu \bar{v}}\equiv g_{\overline{\kappa }\xi }{R}_{\lambda \mu \bar{v}}^{\xi }=-R_{\overline{\kappa }\lambda \bar{v}\mu }\text{\hspace{1em}(8.76c)}$$

$$R_{\kappa \bar{\lambda }\bar{\mu }\nu }\equiv g_{\kappa \bar{\xi }}{R}_{\bar{\lambda }\bar{\mu }\nu }^{\xi }=-R_{\kappa \bar{\lambda }\nu \bar{\mu }}.\text{\hspace{1em}(8.76d)}$$

验证下列对称性：

$$R_{\overline{\kappa }\lambda \overline{\mu }v}=-R_{\lambda \overline{\kappa }\overline{\mu }v}{R}_{\kappa \overline{\lambda }\mu \bar{v}}=-R_{\overline{\lambda }\kappa \mu \bar{v}}.\text{\hspace{1em}(8.77)}$$

我们把黎曼曲率张量的指标缩并如下：

$${\Re }_{\mu \bar{v}}\equiv R_{\kappa \mu \bar{v}}^{\kappa }=-{\partial }_{\bar{v}}\left(g^{\kappa \bar{\xi }}{\partial }_{\mu }{g}_{\kappa \bar{\xi }}\right)=-{\partial }_{\bar{v}}{\partial }_{\mu }\log G\text{\hspace{1em}(8.78)}$$

其中 $G\equiv \det (g_{\mu \overline{\nu }})=\sqrt{g}$。为得到最后一个等式，我们用到了恒等式 $\delta G=G{g}^{\mu \overline{\nu }}\delta g_{\mu \overline{\nu }}$；见 (7.204)。我们通过下式定义里奇形式(Ricci form)：

$$\Re \equiv \mathrm{i}{\Re }_{\mu \bar{v}}\mathrm{d}{z}^{\mu }\wedge \mathrm{d}{\bar{z}}^v=\mathrm{i}\partial \bar{\partial }\log G.\text{\hspace{1em}(8.79)}$$

$\Re$ 是实形式，且 $\overline{\Re }=-\mathrm{i}\overline{\partial }\overline{\partial }\log G=-\mathrm{i}\partial \overline{\partial }\log G=\Re$。由恒等式 $\partial \overline{\partial }=-\frac{1}{2}\mathrm{d}(\partial -\overline{\partial })$ 可知 $\Re$ 是闭的，即 $\mathrm{d}\Re \propto {\mathrm{d}}^2(\partial -\overline{\partial })\log G=0$。然而，这并不意味着 $\Re$ 是恰当的。事实上，$G$ 不是标量，而 $(\partial -\overline{\partial })\log G$ 也没有整体定义。$\Re$ 定义了一个非平凡的元素 $c_1(M)\equiv [\Re /2\pi ]\in H^2(M;\mathbb{R})$，称为第一陈类。我们将在 11.2 节 中进一步讨论这一点。

命题 8.2

第一陈类 $c_1(M)$ 在度量的光滑改变 $g\to g+\delta g$ 下不变。

证明

由(7.204)可得 $\delta \log G=g^{\mu \overline{\nu }}\delta g_{\mu \overline{\nu }}$。于是

$$\delta \Re =\delta \mathrm{i}\partial \overline{\partial }\log G=\mathrm{i}\partial \overline{\partial }{g}^{\mu \bar{\nu }}\delta g_{\mu \bar{\nu }}=-\frac{1}{2}\mathrm{d}(\partial -\overline{\partial })\mathrm{i}{g}^{\mu \bar{\nu }}\delta g_{\mu \bar{\nu }}.$$

由于 $g^{\mu \overline{\nu }}\delta g_{\mu \overline{\nu }}$ 是标量，故 $\omega \equiv -\frac{1}{2}(\partial -\overline{\partial })g^{\mu \overline{\nu }}\delta g_{\mu \overline{\nu }}$ 是 $M$ 上定义良好的一次形式。因此，$\delta \Re =\mathrm{d}\omega$ 是恰当二次形式，且 $[\Re ]=[\Re +\delta \Re ]$，即 $c_1(M)$ 在 $g\to g+\delta g$ 下保持不变。

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