黎曼度量

本书暂定概念：尚未进入正式概念库。下面是本书给出的定义原文。

定义 · 定义 7.1

设 $M$ 是一个可微流形。$M$ 上的黎曼度量(Riemannian metric) $g$ 是 $M$ 上的一个 (0, 2) 型张量场，它在每一点 $p\in M$ 处满足下列公理：

(i) $g_p(U,V)=g_p(V,U)$
(ii) $g_p(U,U)\ge 0$，其中等号成立仅当 $U=0$

这里 $U,V\in T_{p}M$，且 $g_p=g{|}_p$。简言之，$g_p$ 是一个对称正定双线性形式。

(0, 2) 型张量场 $g$ 若满足 (i) 以及

(ii’) 若对任意 $U\in T_{p}M$ 都有 $g_p(U,V)=0$，则 $V=0$，

英文原文

Let $M$ be a differentiable manifold. A Riemannian metric $g$ on $M$ is a type (0, 2) tensor field on $M$ which satisfies the following axioms at each point $p\in M$ :

(i) $g_p(U,V)=g_p(V,U)$
(ii) $g_p(U,U)\ge 0$ , where the equality holds only when $U=0$

Here $U,V\in T_{p}M$ and $g_p=g{|}_p$ . In short, $g_p$ is a symmetric positive-definite bilinear form.

A tensor field $g$ of type (0, 2) is a pseudo-Riemannian metric if it satisfies (i) and

(ii’) if $g_p(U,V)=0$ for any $U\in T_{p}M$ , then $V=0$ .

出处：7.1 黎曼流形与伪黎曼流形 · node a-1bc57851018e1a5b595498bf · 源节点 SHA-256 40d2d19450c318fa…