7.1 黎曼流形与伪黎曼流形

7.1.1 度量张量

在初等几何中，两个向量 $\mathbf{U}$ 与 $\mathbf{V}$ 之间的内积(inner product)定义为 $\mathbf{U}\cdot \mathbf{V}={\sum }_{i=1}^m{U}_i{V}_i$，其中 $U_i$ 与 $V_i$ 是这两个向量在 ${\mathbb{R}}^m$ 中的分量。而在流形上，内积是在每个切空间 $T_{p}M$ 上分别定义的。

定义 7.1 黎曼度量

设 $M$ 是一个可微流形。$M$ 上的黎曼度量(Riemannian metric) $g$ 是 $M$ 上的一个 (0, 2) 型张量场，它在每一点 $p\in M$ 处满足下列公理：

(i) $g_p(U,V)=g_p(V,U)$
(ii) $g_p(U,U)\ge 0$，其中等号成立仅当 $U=0$

这里 $U,V\in T_{p}M$，且 $g_p=g{|}_p$。简言之，$g_p$ 是一个对称正定双线性形式。

(0, 2) 型张量场 $g$ 若满足 (i) 以及

(ii’) 若对任意 $U\in T_{p}M$ 都有 $g_p(U,V)=0$，则 $V=0$，

在第 5 章中，我们把向量$V\in T_M$与对偶向量$\omega \in T_p^{\ast }M$之间的内积定义为一个映射$⟨,⟩:T_p^{\ast }M\times T_{p}M\to \mathbb{R}$。若存在度量$g$，则我们通过$g_p(U,V)$来定义两个向量$U,V\in T_{p}M$之间的内积。由于$g_p$是一个映射$T_{p}M\otimes T_{p}M\to \mathbb{R}$，我们可以通过$V\mapsto g_p(U,V)$定义一个线性映射$g_p(U,\cdot ):T_{p}M\to \mathbb{R}$。于是$g_p(U,\cdot )$被等同于一个一次形式${\omega }_U\in T_p^{\ast }M$。类似地，$\omega \in T_p^{\ast }M$通过$⟨\omega ,U⟩=g(V_{\omega },U)$诱导出$V_{\omega }\in T_{p}M$。因此，度量$g_p$给出了$T_{p}M$与$T_p^{\ast }M$之间的一个同构。

设$(U,\phi )$是$M$中的一张坐标卡，$\{x^{\mu }\}$为坐标。由于$g\in {\mathcal{T}}_2^0(M)$，它可按$\mathrm{d}{x}^{\mu }\otimes \mathrm{d}{x}^{\nu }$展开为

$$g_p=g_{\mu v}(p)\mathrm{d}{x}^{\mu }\otimes \mathrm{d}{x}^v.\text{\hspace{1em}(7.1a)}$$

容易验证

$$g_{\mu \nu }(p)=g_p\left(\frac{\partial }{\partial x^{\mu }},\frac{\partial }{\partial x^{\nu }}\right)=g_{\nu \mu }(p)(p\in M).\text{\hspace{1em}(7.1b)}$$

我们通常把 $p$ 在 $g_{\mu \nu }$ 中省略，除非这样做可能引起混淆。通常把 $(g_{\mu \nu })$ 视为一个矩阵，其 $(\mu ,\nu )$ 元为 $g_{\mu \nu }$。由于 $(g_{\mu \nu })$ 具有最大秩，故它有逆，按传统记作 $(g^{\mu \nu })$：$g_{\mu \nu }{g}^{\nu \lambda }=g^{\lambda \nu }{g}_{\nu \mu }={\delta }_{\mu }^{\lambda }$。行列式 $\det (g_{\mu \nu })$ 记作 $g$。显然 $\det (g^{\mu \nu })=g^{-1}$。$T_{p}M$ 与 $T_p^{\ast }M$ 之间的同构现在可表示为

$${\omega }_{\mu }=g_{\mu v}{U}^v,U^{\mu }=g^{\mu v}{\omega }_v.\text{\hspace{1em}(7.2)}$$

由 (7.1a) 和 (7.1b) 可以重新得到度量作为无穷小距离平方的“老式”定义。取一个无穷小位移 ${\mathrm{dx}}^{\mu }\partial /\partial x^{\mu }\in T_{p}M$ 并代入 $g$，可得

$$\begin{array}{rl}\mathrm{d}{s}^2& =g\left(\mathrm{d}{x}^{\mu }\frac{\partial }{\partial x^{\mu }},\mathrm{d}{x}^{\nu }\frac{\partial }{\partial x^{\nu }}\right)=\mathrm{d}{x}^{\mu }\mathrm{d}{x}^{\nu }g\left(\frac{\partial }{\partial x^{\mu }},\frac{\partial }{\partial x^{\nu }}\right)\\ & =g_{\mu \nu }\mathrm{d}{x}^{\mu }\mathrm{d}{x}^{\nu }.\end{array}\text{\hspace{1em}(7.3)}$$

我们也把量 ${\mathrm{ds}}^2=g_{\mu \nu }{\mathrm{dx}}^{\mu }{\mathrm{dx}}^{\nu }$ 称为度量(metric)，尽管严格说来度量是张量 $g=g_{\mu \nu }{\mathrm{dx}}^{\mu }\otimes {\mathrm{dx}}^{\nu }$

由于 $(g^{\mu \nu })$ 是对称矩阵，其特征值都是实数。若 $g$ 是黎曼的，则所有特征值都严格为正；若 $g$ 是伪黎曼的，则其中一些特征值可能为负。若有 $i$ 个正特征值和 $j$ 个负特征值，则称数对 $(i,j)$ 为度量的指标(index of the metric)。若 $j=1$，则称该度量为洛伦兹度量(Lorentz metric)。一旦用适当的正交矩阵把度量对角化，就很容易通过用正数对基向量作适当的伸缩，把所有对角元化为 $\pm 1$。若从黎曼度量出发，最终得到欧几里得度量 $\delta =\mathrm{diag}(1,\dots ,1)$；若从洛伦兹度量出发，则得到闵可夫斯基度量 $\eta =\mathrm{diag}(-1,1,\dots ,1)$。

若 $(M,g)$ 是洛伦兹的，则 $T_{p}M$ 中的元素可按如下方式分为三类：

(i) $g(U,U)>0⟶U$ 为类空的，
(ii) $g(U,U)=0⟶U$ 为类光的（或称零的），(7.4)
(iii) $g(U,U)<0⟶U$ 为类时的。

练习 7.1

将度量对角化

$$(g_{\mu \nu })=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$$

以证明它可化为闵可夫斯基度量。使度量取这种形式的标架称为光锥标架(light cone frame)。设 $\{e_0,e_1,e_2,e_3\}$ 为闵可夫斯基标架中的基，在该标架中度量为 $g_{\mu \nu }={\eta }_{\mu \nu }$。证明 $\{e_{+},e_{-},e_2,e_3\}$ 是光锥标架中的基向量，其中 $e_{\pm }\equiv (e_1\pm e_0)/\sqrt{2}$。设 $V=(V^{+},V^{-},V^2,V^3)$ 为向量 $V$ 的分量。求相应一次形式的分量。

若可微流形 $M$ 上容许一个黎曼度量 $g$，则称数对 $(M,g)$ 为黎曼流形。若 $g$ 是伪黎曼度量，则称 $(M,g)$ 为伪黎曼流形(pseudo-Riemannian manifold)。若 $g$ 是洛伦兹的，则称 $(M,g)$ 为洛伦兹流形(Lorentz manifold)。洛伦兹流形在相对论理论中具有特殊的重要性。例如，$m$ 维欧几里得空间 $({\mathbb{R}}^m,\delta )$ 是黎曼流形，而 $m$ 维闵可夫斯基空间 $({\mathbb{R}}^m,\eta )$ 是洛伦兹流形。

7.1.2 诱导度量

设 $M$ 是 $n$ 维黎曼流形 $N$ 的 $m$ 维子流形，$N$ 上的度量为 $g_N$。若 $f:M\to N$ 是诱导出 $M$ 的子流形结构的嵌入（见5.2 节），则拉回映射 $f^{\ast }$ 在 $M$ 上诱导出自然的度量 $g_M=f^{\ast }{g}_N$。$g_M$ 的分量由下式给出

$$g_{M\mu \nu }(x)=g_{N\alpha \beta }(f(x))\frac{\partial f^{\alpha }}{\partial x^{\mu }}\frac{\partial f^{\beta }}{\partial x^{\nu }}\text{\hspace{1em}(7.5)}$$

其中 $f^{\alpha }$ 表示 $f(x)$ 的坐标。例如，考虑嵌入 $({\mathbb{R}}^3,\delta )$ 中的单位球面的度量。设 $(\theta ,\varphi )$ 为 $S^2$ 的极坐标，并用通常的包含映射定义 $f$

$$f:(\theta ,\varphi )\mapsto (\sin \theta \cos \varphi ,\sin \theta \sin \varphi ,\cos \theta )$$

由此得到诱导度量

$$\begin{array}{rl}{g}_{\mu \nu }\mathrm{d}{x}^{\mu }\otimes \mathrm{d}{x}^{\nu }& ={\delta }_{\alpha \beta }\frac{\partial f^{\alpha }}{\partial x^{\mu }}\frac{\partial f^{\beta }}{\partial x^{\nu }}\mathrm{d}{x}^{\mu }\otimes \mathrm{d}{x}^{\nu }\\ & =\mathrm{d}\theta \otimes \mathrm{d}\theta +{\sin }^2\theta \mathrm{d}\varphi \otimes \mathrm{d}\varphi .\end{array}\text{\hspace{1em}(7.6)}$$

练习 7.2

习题 7.2. 设 $f:T^2\to {\mathbb{R}}^3$ 是由下式定义的、把环面映入 $({\mathbb{R}}^3,\delta )$ 的嵌入：

$$f:(\theta ,\varphi )\mapsto ((R+r\cos \theta )\cos \varphi ,(R+r\cos \theta )\sin \varphi ,r\sin \theta )$$

其中 $R>r$。证明 $T^2$ 上的诱导度量为

$$g=r^2\mathrm{d}\theta \otimes \mathrm{d}\theta +(R+r\cos \theta {)}^2\mathrm{d}\varphi \otimes \mathrm{d}\varphi .\text{\hspace{1em}(7.7)}$$

当流形 $N$ 是伪黎曼的时，它的子流形 $f:M\to N$ 未必具有度量 $f^{\ast }{g}_N$。只有当张量 $f^{\ast }{g}_N$ 在 $M$ 上具有固定的指标时，它才是度量。

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