水平提升

本书暂定概念：尚未进入正式概念库。下面是本书给出的定义原文。

定义 · 定义 10.3

设 $P(M,G)$ 是一个 $G$ 丛，$\gamma :[0,1]\to M$ 是 $M$ 中的一条曲线。若 $\pi \circ \tilde{\gamma }=\gamma$，且 $\tilde{\gamma }(t)$ 处的切向量总属于 $H_{\tilde{\gamma }(t)}P$，则称曲线 $\tilde{\gamma }:[0,1]\to P$ 是 $\gamma$ 的水平提升(horizontal lift)。

设 $\tilde{X}$ 是 $\tilde{\gamma }$ 的切向量，则按定义它满足 $\omega (\tilde{X})=0$。这一条件是一个常微分方程（ODE），而常微分方程的基本定理保证了水平提升的局部存在性与唯一性。

英文原文

Let $P(M,G)$ be a $G$ bundle and let $\gamma :[0,1]\to M$ be a curve in $M$ . A curve $\tilde{\gamma }:[0,1]\to P$ is said to be a horizontal lift of $\gamma$ if $\pi \circ \tilde{\gamma }=\gamma$ and the tangent vector to $\tilde{\gamma }(t)$ always belongs to $H_{\tilde{\gamma }(t)}P$ .

Let $\tilde{X}$ be a tangent vector to $\tilde{\gamma }$ . Then it satisfies $\omega (\tilde{X})=0$ by definition. This condition is an ordinary differential equation (ODE) and the fundamental theorem of ODEs guarantees the local existence and uniqueness of the horizontal lift.

出处：10.1 主丛上的联络 · node a-496cb55bea7deaa1f3e3587b · 源节点 SHA-256 80866710b589c4a6…