10.1 主丛上的联络

主丛上的联络有若干种彼此等价的定义。我们的做法是把切空间 $T_{u}P$ 分解为“垂直”子空间与“水平”子空间。这种做法看似抽象，但与其他做法相比有其优点：它把所涉及的几何图像讲得更清楚，而且其定义不依赖于特殊的局部平凡化。联络也可以定义为满足某些公理的取值于 $\mathfrak{g}$ 的1-形式。我们将说明这些定义彼此等价。

由于后面要大量用到李群与李代数的基本事实，这里先作简要总结（详见5.6 节）。设 $G$ 为一个李群。左作用 $L_g$ 与右作用 $R_g$ 分别由 $L_{g}h=gh$ 和 $R_{g}h=hg$ 定义，其中 $g,h\in G$。$L_g$ 诱导出映射 $L_{g\ast }:T_h(G)\to T_{gh}(G)$。左不变向量场 $X$ 满足 $L_{g\ast }X{|}_h=X{|}_{gh}$。全体左不变向量场构成 $G$ 的一个李代数，记作 $\mathfrak{g}$。由于 $X\in \mathfrak{g}$ 由它在单位元 $e$ 处的值完全确定，反之亦然，故存在向量空间同构 $\mathfrak{g}\cong T_{e}G$。李代数 $\mathfrak{g}$ 对李括号封闭，即 $[T_{\alpha },T_{\beta }]=f_{\alpha \beta }^{\gamma }{T}_{\gamma }$，其中 $\{T_{\alpha }\}$ 是 $\mathfrak{g}$ 的一组生成元，$f_{\alpha \beta }^{\gamma }$ 称为结构常数。伴随作用 $\mathrm{ad}:G\to G$ 由 ${\mathrm{ad}}_{g}h\equiv gh{g}^{-1}$ 定义。${\mathrm{ad}}_g$ 的切映射

称为伴随映射，记作 ${\mathrm{Ad}}_g:T_h(G)\to T_{gh{g}^{-1}}(G)$。若把它限制在 $T_e(G)\simeq \mathfrak{g}$ 上，则 ${\mathrm{Ad}}_g$ 把 $\mathfrak{g}$ 映到自身：${\mathrm{Ad}}_g:\mathfrak{g}\to \mathfrak{g}$，$A\mapsto gA{g}^{-1}$，$A\in \mathfrak{g}$。

10.1.1 定义

设 $u$ 为主丛 $P(M,G)$ 中的一个元素，$G_p$ 为 $p=\pi (u)$ 处的纤维。垂直子空间 $V_{u}P$ 是 $T_{u}P$ 的一个子空间，它在 $u$ 处与 $G_p$ 相切。[注意：$T_{u}P$ 是 $P$ 的切空间，不要把它与 $M$ 的切空间 $T_{p}M$ 混淆。] 下面来看 $V_{u}P$ 是如何构造的。取 $\mathfrak{g}$ 中的一个元素 $A$ 。由右作用

$$R_{\exp (tA)}u=u\exp (tA)$$

便在 $P$ 中定义了一条过 $u$ 的曲线。由于 $\pi (u)=\pi (u\exp (tA))=p$，这条曲线位于 $G_p$ 之内。定义向量 $A^{\#}\in T_{u}P$ 为

$$A^{\#}f(u)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}f(u\exp (tA)){|}_{t=0}\text{\hspace{1em}(10.1)}$$

其中 $f:P\to \mathbb{R}$ 是任意可微映射。向量 $A^{\#}$ 在 $u$ 处与 $P$ 相切，因此 $A^{\#}\in V_{u}P$。这样，我们在 $P$ 的每一点处都定义了一个向量 $A^{\#}$，从而构造出一个向量场 $A^{\#}$，称为由 $A$ 生成的基本向量场(fundamental vector field)。存在一个向量空间同构 $♯:\mathfrak{g}\to V_{u}P$，由 $A\mapsto A^{\#}$ 给出。水平子空间 $H_{u}P$ 是 $V_{u}P$ 在 $T_{u}P$ 中的补空间，一旦在 $P$ 中定义了联络，它就唯一确定。

练习 10.1

习题 10.1。

(a) 证明：对 $X\in V_{\mu }P$，有 ${\pi }_{\ast }X=0$。
(b) 证明 $♯$ 保持李代数结构：

$$[A^{\#},B^{\#}]=[A,B{]}^{\#}.\text{\hspace{1em}(10.2)}$$

定义 10.1 联络

设 $P(M,G)$ 为主丛。$P$ 上的一个联络(connection)，就是把切空间 $T_{u}P$ 唯一地分解为垂直子空间 $V_{u}P$ 与水平子空间 $H_{u}P$ 的一种方式，使得

(i) $T_{u}P=H_{u}P\oplus V_{u}P$；
(ii) $P$ 上的光滑向量场 $X$ 可分解为光滑向量场 $X^H\in H_{\mu }P$ 与 $X^V\in V_{\mu }P$，即 $X=X^H+X^V$；
(iii) 对任意的 $u\in P$ 与 $g\in G$，有 $H_{u\varrho }P=R_{\varrho \ast }{H}_{u}P$；见图 10.1。

图 10.1. 水平子空间 $H_{ug}P$ 由 $H_{u}P$ 经右作用得到。

条件 (iii) 表明，同一纤维上的水平子空间 $H_{u}P$ 与 $H_{ug}P$ 由右作用诱导的线性映射 $R_{g\ast }$ 相联系。因此，$u$ 处的一个子空间 $H_{u}P$ 生成了同一纤维上的全部水平子空间。这一条件保证：若点 $u$ 被平行移动，则它的常数倍 $ug$（$g\in G$）也被平行移动；这一点后文将会看到。至此，读者也许会对

我们关于联络的定义感到相当不安。乍看之下，这个定义似乎与规范势或场强毫无关系。在引入 $P$ 上的联络1-形式之后，我们将澄清这些要点。我们再次强调，我们的定义以分解 $T_{u}P=V_{u}P\oplus H_{u}P$ 为基础，是纯几何的，其定义不依赖于任何额外的信息。尽管联络在下面会变得更易于处理，但它的几何图景及其内蕴性质通常会被掩盖。

10.1.2 联络1-形式

在实际计算中，我们需要以系统的方式把 $T_{u}P$ 分解为 $V_{u}P$ 与 $H_{u}P$。为此，可以引入一个取值于李代数的1-形式 $\omega \in \mathfrak{g}\otimes T^{\ast }P$，称为联络1-形式。

定义 10.2 联络1-形式

联络1-形式(connection one-form) $\omega \in \mathfrak{g}\otimes T^{\ast }P$ 是 $T_{u}P$ 到垂直分量 $V_{u}P\simeq \mathfrak{g}$ 上的投影映射。这一投影性质由以下要求概括：

(i) $\omega (A^{\#})=AA\in \mathfrak{g}$ (10.3a)
(ii) $R_g^{\ast }\omega ={\mathrm{Ad}}_{g^{-1}}\omega$ (10.3b)

即，对 $X\in T_{u}P$，有

$$R_g^{\ast }{\omega }_{ug}(X)={\omega }_{ug}\left(R_{g\ast }X\right)=g^{-1}{\omega }_u(X)g.\text{\hspace{1em}(10.3b’)}$$

用 $\omega$ 的核来定义水平子空间(horizontal subspace) $H_{u}P$：

$$H_{u}P\equiv \{X\in T_{u}P|\omega (X)=0\}.\text{\hspace{1em}(10.4)}$$

为说明这一与定义 10.1相容，我们证明下述命题。

命题 10.1

水平子空间 (10.4) 满足

$$R_{g\ast }{H}_{u}P=H_{ug}P.\text{\hspace{1em}(10.5)}$$

证明

固定一点 $u\in P$，并按(10.4)定义 $H_{u}P$。取 $X\in H_{u}P$，并构造 $R_{g\ast }X\in T_{ug}P$。我们得到

$$\omega \left(R_{g^{\ast }}X\right)=R_g^{\ast }\omega (X)=g^{-1}\omega (X)g=0$$

这是因为 $\omega (X)=0$。因此，$R_{g\ast }X\in H_{ug}P$。我们注意到 $R_{g\ast }$ 是可逆线性映射。于是，任一向量 $Y\in H_{ug}P$ 都可表示为 $Y=R_{g\ast }X$，其中 $X\in H_{u}P$。这就证明了(10.5)。

我们已经说明，联络1-形式 $\omega$ 的定义与联络的定义是等价的，因为 $\omega$ 把 $T_{u}P$ 分解为 $H_{u}P\oplus V_{u}P$，这与定义 10.1的各条公理相容。这里定义的联络1-形式 $\omega$ 在文献中称为埃雷斯曼联络(Ehresmann connection)。

10.1.3 局部联络形式与规范势

设 $\{U_i\}$ 是 $M$ 的一个开覆盖，并在每个 $U_i$ 上给定一个局部截面 ${\sigma }_i$。为方便起见，在 $U_i$ 上引入一个李代数值1-形式 ${\mathcal{A}}_i$，其定义为

$${\mathcal{A}}_i\equiv {\sigma }_i^{\ast }\omega \in \mathfrak{g}\otimes {\Omega }^1\left(U_i\right).\text{\hspace{1em}(10.6)}$$

反之，给定 $U_i$ 上的一个李代数值1-形式 ${\mathcal{A}}_i$，我们就能构造出一个联络1-形式 $\omega$，使得它被 ${\sigma }_i^{\ast }$ 拉回后恰为 ${\mathcal{A}}_i$。

定理 10.1

设 $U_i$ 上给定一个 $\mathfrak{g}$ 值1-形式 ${\mathcal{A}}_i$，并给定一个局部截面 ${\sigma }_i:U_i\to {\pi }^{-1}(U_i)$，则存在一个联络1-形式 $\omega$，使得 ${\mathcal{A}}_i={\sigma }_i^{\ast }\omega$。

证明

我们在 $P$ 上定义一个 $\mathfrak{g}$ 值1-形式 $\omega$，其定义为

$${\omega }_i\equiv g_i^{-1}{\pi }^{\ast }{\mathcal{A}}_i{g}_i+g_i^{-1}{\mathrm{d}}_P{g}_i\text{\hspace{1em}(10.7)}$$

其中 ${\mathrm{d}}_P$ 是 $P$ 上的外微分，$g_i$ 是由 ${\varphi }_i^{-1}(u)=(p,g_i)$（$u={\sigma }_i(p)g_i$）所定义的典范局部平凡化。我们先证明 ${\sigma }_i^{\ast }{\omega }_i={\mathcal{A}}_i$。对 $X\in T_{p}M$，有

$$\begin{array}{rl}{\sigma }_i^{\ast }{\omega }_i(X)& ={\omega }_i\left({\sigma }_{i\ast }X\right)={\pi }^{\ast }{\mathcal{A}}_i\left({\sigma }_{i\ast }X\right)+d_P{g}_i\left({\sigma }_{i\ast }X\right)\\ & ={\mathcal{A}}_i\left({\pi }_{\ast }{\sigma }_{i\ast }X\right)+d_P{g}_i\left({\sigma }_{i\ast }X\right)\end{array}$$

这里我们注意到在 ${\sigma }_i$ 处 ${\sigma }_{i\ast }X\in T_{{\sigma }_i}P$ 且 $g_i=e$，见图 10.2。我们进一步注意到 ${\pi }_{\ast }{\sigma }_{i\ast }={\mathrm{id}}_{T_p(M)}$ 且 ${\mathrm{d}}_P{g}_i({\sigma }_{i\ast }X)=0$，因为沿 ${\sigma }_{i\ast }X$ 有 $g\equiv e$。于是我们得到 ${\sigma }_i^{\ast }{\omega }_i(X)={\mathcal{A}}_i(X)$。

图 10.2. 由 $U_i$ 上的局部截面 ${\sigma }_i$ 所定义的典范局部平凡化。

下面我们证明 ${\omega }_i$ 满足定义 10.2中给出的联络1-形式的公理。

(i) 设 $X=A^{\#}\in V_{u}P,A\in \mathfrak{g}$。由练习 10.1(a) 可得 ${\pi }_{\ast }X=0$。现在有

$$\begin{array}{rl}{\omega }_i(A^{\#})& =g_i^{-1}{\mathrm{d}}_P{g}_i(A^{\#})=g_i(u{)}^{-1}{\frac{\mathrm{d}g(u\exp (tA))}{\mathrm{d}t}|}_{t=0}\\ & =g_i(u{)}^{-1}{g}_i(u){\frac{\mathrm{d}\exp (tA)}{\mathrm{d}t}|}_{t=0}=A.\end{array}$$

(ii) 取 $X\in T_{u}P$ 与 $h\in G$。我们有

$$R_h^{\ast }{\omega }_i(X)={\omega }_i\left(R_{h\ast }X\right)=g_{iuh}^{-1}{\mathcal{A}}_i\left({\pi }_{\ast }{R}_{h\ast }X\right)g_{iuh}+g_{iuh}^{-1}{\mathrm{d}}_P{g}_{iuh}\left(R_{h\ast }X\right).$$

由于 $g_{iuh}=g_{iu}h$ 且 ${\pi }_{\ast }{R}_{h\ast }X={\pi }_{\ast }X$（注意 $\pi R_h=\pi$），我们有

$$\begin{array}{rl}{R}_h^{\ast }{\omega }_i(X)& =h^{-1}{g}_{iu}^{-1}{\mathcal{A}}_i({\pi }_{\ast }X)g_{iu}h+h^{-1}{g}_{iu}^{-1}{d}_P{g}_{iu}(X)h\\ & =h^{-1}{\omega }_i(X)h\end{array}$$

这里我们注意到

$$\begin{array}{rl}{g}_{iuh}^{-1}{\mathrm{d}}_P{g}_{iuh}(R_{h\ast }X)& =g_{iuh}^{-1}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{g}_{i\gamma (t)h}|}_{t=0}\\ & =h^{-1}{g}_{iu}^{-1}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{g}_{i\gamma (t)}|}_{t=0}h=h^{-1}{g}_{iu}^{-1}{\mathrm{d}}_P{g}_{iu}(X)h.\end{array}$$

其中 $\gamma (t)$ 是过 $u=\gamma (0)$ 的一条曲线，它在 $u$ 处的切向量为 $X$。

因此，由(10.7)定义的 $\mathfrak{g}$ 值1-形式 ${\omega }_i$ 确实满足 ${\mathcal{A}}_i={\sigma }_i^{\ast }{\omega }_i$ 以及联络1-形式的公理。

要使 $\omega$ 在 $P$ 上被唯一地定义，即分解 $T_{u}P=H_{u}P\oplus V_{u}P$ 是唯一的，就必须在 $U_i\cap U_j$ 上有 ${\omega }_i={\omega }_j$。于是整个 $P$ 上就由 $\omega {|}_{U_i}={\omega }_i$ 唯一地定义了一个1-形式 $\omega$。为满足这一条件，局部形式 ${\mathcal{A}}_i$ 必须满足一个与克里斯托费尔符号相类似的特殊变换性质。我们先证明一个技术性引理。

引理 10.1

设 $P(M,G)$ 为主丛，${\sigma }_i({\sigma }_j)$ 为 $U_i(U_j)$ 上的局部截面，且 $U_i\cap U_j\ne \varnothing$。对 $X\in T_{p}M$（$p\in U_i\cap U_j$），${\sigma }_{i\ast }X$ 与 ${\sigma }_{j\ast }X$ 满足

$${\sigma }_{j\ast }X=R_{tij\ast }\left({\sigma }_{i\ast }X\right)+{\left(t_{ij}^{-1}{\mathrm{dt}}_{ij}(X)\right)}^{\#}\text{\hspace{1em}(10.8)}$$

其中 $t_{ij}:U_i\cap U_j\to G$ 为过渡函数。

证明

取一条曲线 $\gamma :[0,1]\to M$，使得 $\gamma (0)=p$ 且 $\dot{\gamma }(0)=X$。由于 ${\sigma }_i(p)$ 与 ${\sigma }_j(p)$ 通过过渡函数相联系，即 ${\sigma }_j(p)={\sigma }_i(p)t_{ij}(p)$（见 (9.43)），故有

$$\begin{array}{rl}{\sigma }_{j\ast }X& ={\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\sigma }_j(\gamma (t))|}_{t=0}={\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\{{\sigma }_i(t)t_{ij}(t)\}|}_{t=0}\\ & ={\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\sigma }_i(t)\cdot t_{ij}(p)+{\sigma }_i(p)\cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{t}_{ij}(t)|}_{t=0}\\ & =R_{t_{ij}\ast }({\sigma }_{i\ast }X)+{\sigma }_j(p)t_{ij}(p{)}^{-1}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{t}_{ij}(t){|}_{t=0}\end{array}$$

其中 ${\sigma }_i(t)$ 表示 ${\sigma }_i(\gamma (t))$，并且我们已假定 $G$ 是矩阵群，满足 $R_{g\ast }X=Xg$。我们注意到

$$\begin{array}{rl}{t}_{ij}(p{)}^{-1}\mathrm{d}{t}_{ij}(X)& =t_{ij}(p{)}^{-1}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{t}_{ij}(t)|}_{t=0}\\ & ={\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}[t_{ij}(p{)}^{-1}{t}_{ij}(t)]|}_{t=0}\in T_e(G)\cong \mathfrak{g}.\end{array}$$

[注意在 $t=0$ 处 $t_{ij}(p{)}^{-1}{t}_{ij}(\gamma (t))=e$。] 这表明 ${\sigma }_{j\ast }X$ 的第二项表示 ${\sigma }_j(p)$ 处的向量场 $(t_{ij}^{-1}\mathrm{d}{t}_{ij}(X){)}^{\#}$。

将联络1-形式 $\omega$ 作用于 (10.8)，便可容易地得到相容性条件。我们得到

$$\begin{array}{rl}{\sigma }_j^{\ast }\omega (X)& =R_{lij}^{\ast }\omega ({\sigma }_{i\ast }X)+t_{ij}^{-1}\mathrm{d}{t}_{ij}(X)\\ & =t_{ij}^{-1}\omega \left({\sigma }_{i\ast }X\right)t_{ij}+t_{ij}^{-1}d{t}_{ij}(X)\end{array}$$

这里用到了 定义 10.2 中的公理。由于这对任意 $X\in T_{p}M$ 都成立，该方程化为

$${\mathcal{A}}_j=t_{ij}^{-1}{\mathcal{A}}_i{t}_{ij}+t_{ij}^{-1}\mathrm{d}{t}_{ij}.\text{\hspace{1em}(10.9)}$$

这就是我们一直在寻找的相容性条件。

反之，给定开覆盖 $\{U_i\}$、局部截面 $\{{\sigma }_i\}$ 以及满足 (10.9) 的局部形式 $\{{\mathcal{A}}_i\}$，我们便可构造 $P$ 上的 $\mathfrak{g}$ 值1-形式 $\omega$。由于非平凡的主丛不允许存在整体截面，拉回 ${\mathcal{A}}_i={\sigma }_i^{\ast }\omega$ 只在局部存在，未必整体存在。在规范场论中，${\mathcal{A}}_i$ 被等同于规范势（杨–米尔斯势）。正如我们在单极子情形中所见，单极子场 $B=gr/r^3$ 不允许存在单一的规范势，我们至少需要两个 ${\mathcal{A}}_i$ 才能描述 $S^2$ 上的这个 U(1) 丛。

练习 10.2

设 $P(M,G)$ 是 $M$ 上的主丛，$U$ 是 $M$ 的坐标卡。取 $U$ 上的局部截面 ${\sigma }_1$ 与 ${\sigma }_2$，使得 ${\sigma }_2(p)={\sigma }_1(p)g(p)$。证明相应的局部形式 ${\mathcal{A}}_1$ 与 ${\mathcal{A}}_2$ 满足关系

$${\mathcal{A}}_2=g^{-1}{\mathcal{A}}_{1}g+g^{-1}\mathrm{d}g.\text{\hspace{1em}(10.10a)}$$

写成其分量形式，即为

$${\mathcal{A}}_{2\mu }=g^{-1}(p){\mathcal{A}}_{1\mu }(p)g(p)+g^{-1}(p){\partial }_{\mu }g(p)\text{\hspace{1em}(10.10b)}$$

而这正是1.8 节中所定义的规范变换。

例 10.1

设 $P$ 是 $M$ 上的 U(1) 丛。取相互重叠的坐标卡 $U_i$ 与 $U_j$。设 ${\mathcal{A}}_i({\mathcal{A}}_j)$ 是 $U_i(U_j)$ 上的局部联络形式。则过渡函数 $t_{ij}:U_i\cap U_j\to \mathrm{U}(1)$ 由下式给出：

$$t_{ij}(p)=\exp [\mathrm{i}\Lambda (p)]\Lambda (p)\in \mathbb{R}.\text{\hspace{1em}(10.11)}$$

${\mathcal{A}}_i$ 与 ${\mathcal{A}}_j$ 之间的关系为

$$\begin{array}{rl}{\mathcal{A}}_j(p)& =t_{ij}(p{)}^{-1}{\mathcal{A}}_i(p)t_{ij}(p)+t_{ij}(p{)}^{-1}\mathrm{d}{t}_{ij}(p)\\ & ={\mathcal{A}}_i(p)+\mathrm{id}\Lambda (p).\end{array}\text{\hspace{1em}(10.12a)}$$

写成其分量形式，即得熟悉的表达式

$${\mathcal{A}}_{j\mu }={\mathcal{A}}_{i\mu }+\mathrm{i}{\partial }_{\mu }\Lambda .\text{\hspace{1em}(10.12b)}$$

我们的联络 ${\mathcal{A}}_{\mu }$ 与标准的矢势 $A_{\mu }$ 相差一个李代数因子：${\mathcal{A}}_{\mu }=\mathrm{i}{A}_{\mu }$。

这里我们再次指出，$\omega$ 是在丛 $P(M,G)$ 上整体定义的。尽管 $P(M,G)$ 上有许多联络1-形式，它们却承载着关于该丛的相同的整体信息。与此相反，单个局部部分（规范势）${\mathcal{A}}_i$ 只与平凡丛 ${\pi }^{-1}(U_i)$ 相联系，不可能含有关于 $P$ 的任何整体信息。承载关于该丛的整体信息的，是 $\omega$，或者等价地说，是满足相容性条件(10.9)的全部 $\{{\mathcal{A}}_i\}$。

10.1.4 水平提升与平行移动

向量的平行移动已在第 7 章中定义为不改变的移动。主丛中元素沿 $M$ 中一条曲线的平行移动，则由该曲线的“水平提升”给出。

定义 10.3 水平提升

设 $P(M,G)$ 是一个 $G$ 丛，$\gamma :[0,1]\to M$ 是 $M$ 中的一条曲线。若 $\pi \circ \tilde{\gamma }=\gamma$，且 $\tilde{\gamma }(t)$ 处的切向量总属于 $H_{\tilde{\gamma }(t)}P$，则称曲线 $\tilde{\gamma }:[0,1]\to P$ 是 $\gamma$ 的水平提升(horizontal lift)。

设 $\tilde{X}$ 是 $\tilde{\gamma }$ 的切向量，则按定义它满足 $\omega (\tilde{X})=0$。这一条件是一个常微分方程（ODE），而常微分方程的基本定理保证了水平提升的局部存在性与唯一性。

定理 10.2

设 $\gamma :[0,1]\to M$ 是 $M$ 中的一条曲线，且 $u_0\in {\pi }^{-1}(\gamma (0))$。则存在唯一的水平提升 $\tilde{\gamma }(t)$（位于 $P$ 中），使得 $\tilde{\gamma }(0)=u_0$。

我们来构造这样一条曲线 $\tilde{\gamma }$。设 $U_i$ 是包含 $\gamma$ 的一个坐标卡，并在 $U_i$ 上取一个截面 ${\sigma }_i$。若存在水平提升 $\tilde{\gamma }$，则可将其表示为 $\tilde{\gamma }(t)={\sigma }_i(\gamma (t))g_i(t)$，其中 $g_i(t)$ 表示 $g_i(\gamma (t))\in G$。不失一般性，可以取这样的截面，使得 ${\sigma }_i(\gamma (0))=\tilde{\gamma }(0)$，即 $g_i(0)=e$。设 $X$ 是 $\gamma (t)$ 在 $\gamma (0)$ 处的切向量，则 $\tilde{X}={\tilde{\gamma }}_{\ast }X$ 是 $\tilde{\gamma }$ 在 $u_0=\tilde{\gamma }(0)$ 处的切向量。由于切向量 $\tilde{X}$ 是水平的，它满足 $\omega (\tilde{X})=0$。对引理 10.1稍作修改可得

$$\tilde{X}=g_i(t{)}^{-1}{\sigma }_{i\ast }X{g}_i(t)+[g_i(t{)}^{-1}\mathrm{d}{g}_i(X){]}^{\#}.$$

对此式作用 $\omega$，可得

$$0=\omega (\tilde{X})=g_i(t{)}^{-1}\omega ({\sigma }_{i\ast }X)g_i(t)+g_i(t{)}^{-1}\frac{\mathrm{d}{g}_i(t)}{\mathrm{d}t}.$$

在左边乘以 $g_i(t)$，得到

$$\frac{\mathrm{d}{g}_i(t)}{\mathrm{d}t}=-\omega \left({\sigma }_{i\ast }X\right)g_i(t).\text{\hspace{1em}(10.13a)}$$

常微分方程的基本定理保证了 (10.13a) 的解的存在性与唯一性。

由于 $\omega ({\sigma }_{i\ast }X)={\sigma }_i^{\ast }\omega (X)={\mathcal{A}}_i(X)$，可将 (10.13a) 写成局部形式

$$\frac{\mathrm{d}{g}_i(t)}{\mathrm{d}t}=-{\mathcal{A}}_i(X)g_i(t)\text{\hspace{1em}(10.13b)}$$

其满足 $g_i(0)=e$ 的形式解为

$$\begin{array}{rl}{g}_i(\gamma (t))& =\mathcal{P}\exp \left(-{\int }_0^t{\mathcal{A}}_{i\mu }\frac{\mathrm{d}{x}^{\mu }}{\mathrm{d}t}\mathrm{d}t\right)\\ & =\mathcal{P}\exp \left(-{\int }_{\gamma (0)}^{\gamma (t)}{\mathcal{A}}_{i\mu }(\gamma (t))\mathrm{d}{x}^{\mu }\right)\end{array}\text{\hspace{1em}(10.14)}$$

其中 $\mathcal{P}$ 是沿 $\gamma (t)$ 的路径排序算子。水平提升可表示为 $\tilde{\gamma }(t)={\sigma }_i(\gamma (t))g_i(\gamma (t))$。

推论 10.1

设 ${\tilde{\gamma }}^{\prime }$ 是 $\gamma$ 的另一条水平提升，且满足 ${\tilde{\gamma }}^{\prime }(0)=\gamma (0)g$。则对一切 $t\in [0,1]$ 都有 ${\tilde{\gamma }}^{\prime }(t)=\tilde{\gamma }(t)g$。

证明

首先注意到水平子空间是右不变的，即 $R_{g\ast }{H}_{u}P=H_{ug}P$。设 $\tilde{\gamma }$ 是 $\gamma$ 的一条水平提升。由于 ${\tilde{\gamma }}_g:t\mapsto \tilde{\gamma }(t)g$ 的切向量属于 $H_{\tilde{\gamma }g}P$，所以 ${\tilde{\gamma }}_g:t\mapsto \tilde{\gamma }(t)g$ 也是 $\gamma (t)$ 的一条水平提升。由定理 10.2可知，${\tilde{\gamma }}^{\prime }$ 是从 $\tilde{\gamma }(0)g$ 出发的唯一水平提升。

例 10.2

考虑丛 $P(M,\mathbb{R})\cong M\times \mathbb{R}$，其中 $M={\mathbb{R}}^2-\{0\}$。设 $\varphi :((x,y),f)\mapsto u\in P$ 为一个局部平凡化，其中 $(x,y)$ 是 $M$ 的坐标，而 $f$ 是加法群 $\mathbb{R}$ 的坐标。令

$$\omega =\frac{y\mathrm{d}x-x\mathrm{d}y}{x^2+y^2}+\mathrm{d}f$$

为一个联络一形式。容易验证 $\omega$ 满足联络一形式的公理。事实上，对 $A^{\#}=A\partial /\partial f$，其中 $A\in \mathbb{R}$ 是加法群李代数的元素，有 $\omega (A^{\#})=A$。此外，由于 $\mathbb{R}$ 是阿贝尔的，故 $R_{g\ast }\omega =\omega =g^{-1}\omega g$。设 $\gamma :[0,1]\to M$ 为曲线 $t\mapsto (\cos 2\pi t,\sin 2\pi t)$。我们来求出一条从 $((1,0),0)$ 出发的水平提升。令

$$X=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\equiv \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\frac{\partial }{\partial x}+\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\frac{\partial }{\partial y}+\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}\frac{\partial }{\partial f}$$

与 $\tilde{\gamma }(t)$ 相切。要使 $X$ 是水平的，它必须满足

$$0=\omega (X)=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\frac{y}{r^2}-\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\frac{x}{r^2}+\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}=-2\pi +\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}.$$

容易求得其解为 $f=2\pi t+\text{constant}$。最后得到过 $((1,0),0)$ 的水平提升 $\tilde{\gamma }$：

$$\tilde{\gamma }(t)=\left(\left(\cos 2\pi t,\sin 2\pi t\right),2\pi t\right)\text{\hspace{1em}(10.15)}$$

它是单位圆上方的一条螺旋线。

在群作用下（右作用或左作用都一样），$f$ 平移为 $f+g$，其中 $g\in \mathbb{R}$。平移后的水平提升为

$${\tilde{\gamma }}_g(t)=((\cos 2\pi t,\sin 2\pi t),2\pi t+g).\text{\hspace{1em}(10.16)}$$

${}^1{\mathcal{A}}_{i\mu }(\gamma (t))$ 与 ${\mathcal{A}}_{i\nu }(\gamma (s))$ 一般并不交换，因此如(10.14)那样定义的指数并不恰当。设 $A(t)$ 与 $B(t)$ 是依赖于 $t$ 的矩阵。则 $\mathcal{P}$ 的作用为

$$\mathcal{P}[A(t)B(s)]=\{\begin{array}{ll}A(t)B(s)& (t>s)\\ B(s)A(t)& (s>t).\end{array}$$

推广到更多矩阵的乘积是显然的。

设 $\gamma :[0,1]\to M$ 为一条曲线。取一点 $u_0\in {\pi }^{-1}(\gamma (0))$。存在唯一的过 $u_0$ 的 $\gamma (t)$ 的水平提升 $\tilde{\gamma }(t)$，从而有唯一的点 $u_1=\tilde{\gamma }(1)\in {\pi }^{-1}(\gamma (1))$，见图 10.3。点 $u_1$ 称为 $u_0$ 沿曲线 $\gamma$ 的平行移动。这定义了一个映射 $\Gamma (\tilde{\gamma }):{\pi }^{-1}(\gamma (0))\to {\pi }^{-1}(\gamma (1))$，使得 $u_0\mapsto u_1$。若采用局部形式(10.14)，则有

图 10.3. $M$ 中的曲线 $\gamma (t)$ 及其水平提升 $\tilde{\gamma }(t)$ 与 $\tilde{\gamma }(t)g$。

$$u_1={\sigma }_i(1)\mathcal{P}\exp \left(-{\int }_0^1{\mathcal{A}}_{i\mu }\frac{\mathrm{d}{x}^{\mu }(\gamma (t))}{\mathrm{d}t}\mathrm{d}t\right).\text{\hspace{1em}(10.17)}$$

由推论 10.1可知，$\Gamma (\tilde{\gamma })$ 与右作用 $R_g$ 交换。首先注意 $R_g\Gamma (\tilde{\gamma })(u_0)=u_{1}g$ 与 $\Gamma (\tilde{\gamma })R_g(u_0)=\Gamma (\tilde{\gamma })(u_{0}g)$。观察到 $\tilde{\gamma }(t)g$ 是过 $u_{0}g$ 与 $u_{1}g$ 的水平提升。由过 $u_{0}g$ 的水平提升的唯一性，得 $u_{1}g=\Gamma (\tilde{\gamma })(u_{0}g)$，即 $R_g\Gamma (\tilde{\gamma })(u_0)=\Gamma (\tilde{\gamma })R_g(u_0)$。由于这对任意 $u_0\in {\pi }^{-1}(\gamma (0))$ 都成立，故有

$$R_g\Gamma (\tilde{\gamma })=\Gamma (\tilde{\gamma })R_g.\text{\hspace{1em}(10.18)}$$

练习 10.3

习题 10.3. 设 $\tilde{\gamma }$ 是 $\gamma :[0,1]\to M$ 的水平提升。考虑映射 $\Gamma ({\tilde{\gamma }}^{-1}):{\pi }^{-1}(\gamma (1))\to {\pi }^{-1}(\gamma (0))$，其中 ${\tilde{\gamma }}^{-1}(t)=\tilde{\gamma }(1-t)$。证明

$$\Gamma ({\tilde{\gamma }}^{-1})=\Gamma (\tilde{\gamma }{)}^{-1}.\text{\hspace{1em}(10.19)}$$

考虑两条曲线 $\alpha :[0,1]\to M$ 与 $\beta :[0,1]\to M$，满足 $\alpha (1)=\beta (0)$。定义乘积 $\alpha \ast \beta$ 为

$$\alpha \ast \beta =\{\begin{array}{ll}\alpha (2t)& 0\le t\le \frac{1}{2}\\ \beta (2t-1)& \frac{1}{2}\le t\le 1.\end{array}$$

设 $\Gamma (\tilde{\alpha }):{\pi }^{-1}(\alpha (0))\to {\pi }^{-1}(\alpha (1))$ 与 $\Gamma (\tilde{\beta }):{\pi }^{-1}(\beta (0))\to {\pi }^{-1}(\beta (1))$。证明

$$\widetilde{\Gamma (\alpha \ast \beta )}=\Gamma (\tilde{\beta })\circ \Gamma (\tilde{\alpha }).\text{\hspace{1em}(10.20)}$$

练习 10.4

习题 10.4. 若 $u,v\in P$ 位于同一条水平提升上，我们就记作 $u\sim v$。证明 $\sim$ 是一个等价关系。

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