施蒂费尔流形

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定义 · 5.7 李群在流形上的作用

5.1 施蒂费尔流形(Stiefel manifold) $V(m,r)$ 是 ${\mathbb{R}}^m$（$r\le m$）中一组正交归一向量 $\{e_i\}$（$1\le i\le r$）构成的集合。我们可以用 $m\times r$ 矩阵 $(e_1,\dots ,e_r)$ 来表示 $V(m,r)$ 中的元素 $A$。证明 $\mathrm{SO}(m)$ 在 $V(m,r)$ 上的作用是传递的。令

$$A_0\equiv \left(\begin{array}{cccc}1& 0& \dots & 0\\ 0& 1& \dots & 0\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0& 0& \dots & 1\\ 0& 0& \dots & 0\\ 0& 0& \dots & 0\end{array}\right)$$

英文原文

5.1 The Stiefel manifold $V(m,r)$ is the set of orthonormal vectors $\{e_i\}$ ( $1\le i\le r$ ) in ${\mathbb{R}}^m$ ( $r\le m$ ). We may express an element $A$ of $V(m,r)$ by an $m\times r$ matrix $(e_1,\dots ,e_r)$ . Show that $\mathrm{SO}(m)$ acts transitively on $V(m,r)$ . Let

$$A_0\equiv \left(\begin{array}{cccc}1& 0& \dots & 0\\ 0& 1& \dots & 0\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0& 0& \dots & 1\\ 0& 0& \dots & 0\\ 0& 0& \dots & 0\end{array}\right)$$

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