5.7 李群在流形上的作用

在物理学中，李群常常表现为作用在流形上的一组变换。例如，SO(3) 是 ${\mathbb{R}}^3$ 中的旋转群，而庞加莱群则是作用在闵可夫斯基时空上的一组变换。为了研究更一般的情形，我们抽象出李群 $G$ 在流形 $M$ 上的作用。我们此前已经遇到过群与几何之间的这种相互作用：在5.3 节中，我们把流形 $M$ 上的流定义为映射 $\sigma :\mathbb{R}\times M\to M$，其中 $\mathbb{R}$ 作为加法群起作用。下面我们把这个想法抽象化。

5.7.1 定义

定义 5.14 作用(action)

设 $G$ 为李群，$M$ 为流形。$G$ 在 $M$ 上的作用(action)是一个可微映射 $\sigma :G\times M\to M$，它满足以下条件

(i) 对任意 $p\in M$，$\sigma (e,p)=p$ (5.141a)
(ii) $\sigma (g_1,\sigma (g_2,p))=\sigma (g_1{g}_2,p).$ (5.141b)

[注：我们常用记号 $gp$ 代替 $\sigma (g,p)$。在这一记号下，第二个条件为 $g_1(g_{2}p)=(g_1{g}_2)p$。]

例 5.16

(a) 流是 $\mathbb{R}$ 在流形 $M$ 上的一个作用。若一个流是周期的，周期为 $T$，则它可以看作 $\mathrm{U}(1)$ 或 $\mathrm{SO}(2)$ 在 $M$ 上的作用。给定周期为 $T$ 的周期流 $\sigma (t,x)$，我们构造一个新的作用 $\bar{\sigma }(\exp (2\pi \mathrm{i}t/T),x)\equiv \sigma (t,x)$，其群 $G$ 为 $\mathrm{U}(1)$。

(b) 设 $M\in \mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$，$x\in {\mathbb{R}}^n$。$\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$ 在 ${\mathbb{R}}^n$ 上的作用由通常的矩阵对向量的作用定义：

$$\sigma (M,x)=M\cdot x.\text{\hspace{1em}(5.142)}$$

$\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$ 的各子群的作用也类似地定义。它们还可以作用在更小的空间上。例如，$\mathrm{O}(n)$ 作用在 $S^{n-1}(r)$ 上，即半径为 $r$ 的 $(n-1)$ 维球面，

$$\sigma :\mathrm{O}(n)\times S^{n-1}(r)\to S^{n-1}(r).\text{\hspace{1em}(5.143)}$$

(c) 众所周知，$\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$ 以一种特殊的方式作用在四维闵可夫斯基向量空间 $M_4$ 上。对 $x=(x^0,x^1,x^2,x^3)\in M_4$，定义一个厄米矩阵，

$$X(x)\equiv x^{\mu }{\sigma }_{\mu }=\left(\begin{array}{cc}{x}^0+x^3& x^1-\mathrm{i}{x}^2\\ x^1+\mathrm{i}{x}^2& x^0-x^3\end{array}\right)\text{\hspace{1em}(5.144)}$$

其中 ${\sigma }_{\mu }=(I_2,{\sigma }_1,{\sigma }_2,{\sigma }_3)$，${\sigma }_i$（$i=1,2,3$）为泡利矩阵。反之，给定一个厄米矩阵 $X$，就唯一地确定一个向量 $(x^{\mu })\in M_4$，即

$$x^{\mu }=\frac{1}{2}\mathrm{tr}\left({\sigma }_{\mu }X\right)\text{\hspace{1em}(5.130)}$$

其中 $\mathrm{tr}$ 是对 $2\times 2$ 矩阵指标求迹。于是，$M_4$ 与 $2\times 2$ 厄米矩阵的集合之间存在同构。值得注意的是 $\det X(x)=(x^0{)}^2-(x^1{)}^2-(x^2{)}^2-(x^3{)}^2=-X^{\mathsf{t}}\eta X=-(\mathrm{Minkowski}\mathrm{norm}{)}^2$。因此

$$\begin{array}{rl}& \det X(x)>0\text{i f}x\text{是类时向量}\\ & =0\text{i f}x\text{在光锥上}\\ & <0\text{i f}x\text{是类空向量}.\end{array}$$

取 $A\in \mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$，并由下式定义 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$ 在 $M_4$ 上的作用：

$$\sigma (A,x)\equiv AX(x)A^{†}.\text{\hspace{1em}(5.145)}$$

读者应验证这一作用确实满足定义 5.14的公理。$\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$ 在 $M_4$ 上的作用表示洛伦兹变换 $\mathrm{O}(1,3)$。首先注意到，该作用保持闵可夫斯基范数不变，

$$\det \sigma (A,x)=\det [AX(x)A^{†}]=\det X(x)$$

因为 $\det A=\det A^{†}=1$。此外，存在同态 $\phi :\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})\to \mathrm{O}(1,3)$，因为

$$A(BX{B}^{†})A^{†}=(AB)X(AB{)}^{†}.$$

然而，这个同态不可能是单射，因为 $A\in \mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$ 与 $-A$ 给出 $\mathrm{O}(1,3)$ 的同一个元素；见(5.145)。我们验证（练习 5.24）下面的矩阵是绕单位向量 $\hat{n}$ 旋转角度 $\theta$ 的旋转的显式形式，

$$A=\exp \left[-\mathrm{i}\frac{\theta }{2}(\hat{\mathbf{n}}\cdot \mathbf{\sigma })\right]=\cos \frac{\theta }{2}{I}_2-\mathrm{i}(\hat{\mathbf{n}}\cdot \mathbf{\sigma })\sin \frac{\theta }{2}.\text{\hspace{1em}(5.146a)}$$

$\theta /2$ 的出现保证了 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$ 与 $\mathrm{O}(1,3)$ 的 O(3) 子群之间的同态确实是二对一的。事实上，绕 $\hat{n}$ 旋转 $\theta$ 与旋转 $2\pi +\theta$ 应当是同一个 O(3) 旋转，但在 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$ 中 $A(2\pi +\theta )=-A(\theta )$。这导致了旋量的存在。[参见 Misner 等 (1973) 与 Wald (1984)。] 沿 $\hat{n}$ 方向、速度为 $v=\tanh \alpha$ 的推动变换由下式给出：

$$A=\exp \left[\frac{\alpha }{2}(\hat{\mathbf{n}}\cdot \mathbf{\sigma })\right]=\cosh \frac{\alpha }{2}{I}_2+(\hat{\mathbf{n}}\cdot \mathbf{\sigma })\sinh \frac{\alpha }{2}.\text{\hspace{1em}(5.146b)}$$

我们证明 $\phi$ 把 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$ 映满固有正交洛伦兹群 ${\mathrm{O}}_{+}^{\uparrow }(1,3)=\{\Lambda \in \mathrm{O}(1,3)|\det \Lambda =+1,{\Lambda }_{00}>0\}$。任取

$$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in \mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$$

并设 $x^{\mu }=(1,0,0,0)$ 被映为 $x^{\prime \mu }$。若记 $\phi (A)=\Lambda$，则有

$$\begin{array}{rl}{x}^{\prime 0}& =\frac{1}{2}\mathrm{tr}(AX{A}^{†})=\frac{1}{2}\mathrm{tr}\left[\left(\begin{array}{ll}a& b\\ c& d\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}\bar{a}& \overline{cc}\\ \bar{b}& \bar{d}\end{array}\right)\right]\\ & =\frac{1}{2}(|a{|}^2+|b{|}^2+|c{|}^2+|d{|}^2)>0\end{array}$$

从而 ${\Lambda }_{00}>0$。为证明 $\det A=+1$，我们注意到 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$ 的任一元素都可写成

$$\begin{array}{rl}A& =\left(\begin{array}{cc}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\alpha }& 0\\ 0& {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\alpha }\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\cos \beta & \sin \beta {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\gamma }\\ -\sin \beta {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\gamma }& \cos \beta \end{array}\right)B\\ & ={\left(\begin{array}{cc}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\alpha /2}& 0\\ 0& {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\alpha /2}\end{array}\right)}^2{\left(\begin{array}{cc}\cos (\beta /2)& \sin (\beta /2){\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\gamma }\\ -\sin (\beta /2){\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\gamma }& \cos (\beta /2)\end{array}\right)}^{2}B\\ & \equiv M^2{N}^2{B}_0^2\end{array}$$

其中 $B\equiv B_0^2$ 是正定矩阵。这表明 $\phi (A)$ 是正定的：

$$\det \phi (A)=(\det \phi (M){)}^2(\det \phi (N){)}^2(\det \phi (B_0){)}^2>0.$$

至此我们已经证明 $\phi (\mathrm{SL}(2,\mathbb{C}))\subset {\mathrm{O}}_{+}^{\uparrow }(1,3)$。式（5.146a）与（5.146b）表明，对 ${\mathrm{O}}_{+}^{\uparrow }(1,3)$ 中的任一元素，都存在相应的矩阵 $A\in \mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$，因此 $\phi$ 是满射。于是我们证明了

$$\phi (\mathrm{SL}(2,\mathbb{C}))={\mathrm{O}}_{+}^{\uparrow }(1,3).\text{\hspace{1em}(5.147)}$$

可以证明，$\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$ 是单连通的，并且是 ${\mathrm{O}}_{+}^{\uparrow }(1,3)$ 的万有覆盖群 $\mathrm{Spin}(1,3)$，见section 4.6。

练习 5.24

通过显式计算验证：

(a)

$$A=\left(\begin{array}{cc}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\theta /2}& 0\\ 0& {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta /2}\end{array}\right)$$

表示绕 $z$ 轴旋转 $\theta$

(b)

$$A=\left(\begin{array}{cc}\cosh (\alpha /2)+\sinh (\alpha /2)& 0\\ 0& \cosh (\alpha /2)-\sinh (\alpha /2)\end{array}\right)$$

表示沿 $z$ 轴、速度为 $v=\tanh \alpha$ 的推动变换。

定义 5.15 传递的(transitive)、自由的(free)、有效的(effective)

设 $G$ 是一个李群，它通过 $\sigma :G\times M\to M$ 作用在流形 $M$ 上。若作用 $\sigma$ 满足以下条件，则称其为

(a) 传递的：若对任意 $p_1,p_2\in M$，都存在元素 $g\in G$ 使得 $\sigma (g,p_1)=p_2$；
(b) 自由的：若 $G$ 中每个非平凡元素 $g\ne e$ 在 $M$ 中都没有不动点，即若存在元素 $p\in M$ 使得 $\sigma (g,p)=p$，则 $g$ 必为单位元 $e$；以及
(c) 有效的：若单位元 $e\in G$ 是唯一在 $M$ 上定义平凡作用的元素，即若对一切 $p\in M$ 都有 $\sigma (g,p)=p$，则 $g$ 必为单位元 $e$。

练习 5.25

习题 5.25. 证明李群的右平移 $R:(a,g)\mapsto R_{a}g$ 与左平移 $L:(a,g)\mapsto L_{a}g$ 都是自由且传递的。

5.7.2 轨道与各向同性群

给定一点 $p\in M$，$G$ 在 $p$ 上的作用把 $p$ 映为 $M$ 中的各个点。$p$ 在作用 $\sigma$ 下的轨道(orbit)，就是 $M$ 中由下式定义的子集

$$Gp=\{\sigma (g,p)|g\in G\}.\text{\hspace{1em}(5.148)}$$

若 $G$ 在 $M$ 上的作用是传递的，则任一 $p\in M$ 的轨道都是 $M$ 本身。显然，$G$ 在任一轨道 $Gp$ 上的作用是传递的。

例 5.17

(a) 由向量场 $X=-y\partial /\partial x+x\partial /\partial y$ 生成的流 $\sigma$ 是周期的，周期为 $2\pi$，见例 5.9。由 $(t,(x,y))\to \sigma (t,(x,y))$ 定义的作用 $\sigma :\mathbb{R}\times {\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$ 不是有效作用，因为对一切 $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$ 都有 $\sigma (2\pi n,(x,y))=(x,y)$。出于同样的理由，这个流也不是自由作用。过 $(x,y)\ne (0,0)$ 的轨道是以原点为圆心的圆周 $S^1$。

(b) $\mathrm{O}(n)$ 在 ${\mathbb{R}}^n$ 上的作用不是传递的，因为若 $|x|\ne |x^{\prime }|$，则 $\mathrm{O}(n)$ 中没有任何元素把 $x$ 映为 $x^{\prime }$。然而，$\mathrm{O}(n)$ 在 $S^{n-1}$ 上的作用显然是传递的。过 $x$ 的轨道是半径为 $|x|$ 的球面 $S^{n-1}$。因此，给定一个作用 $\sigma :\mathrm{O}(n)\times {\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n$，轨道把 ${\mathbb{R}}^n$ 分成互不相交的、半径各不相同的球面。引入关系：若存在 $g\in G$ 使得 $y=\sigma (g,x)$，则记 $x\sim y$。容易验证 $\sim$ 是等价关系。等价类 $[x]$ 就是过 $x$ 的轨道。陪集空间 ${\mathbb{R}}^n/\mathrm{O}(n)$ 就是 $[0,\infty )$，因为每个等价类都由半径参数化。

定义 5.16 各向同性群(isotropy group)

设 $G$ 是作用在流形 $M$ 上的李群。点 $p\in M$ 的各向同性群(isotropy group)是 $G$ 的一个子群，定义为

$$H(p)=\{g\in G|\sigma (g,p)=p\}.\text{\hspace{1em}(5.149)}$$

$H(p)$ 也称为 $p$ 的小群(little group)或稳定化子(stabilizer)。

容易看出 $H(p)$ 确实是一个子群。设 $g_1,g_2\in H(p)$，则由于 $\sigma (g_1{g}_2,p)=\sigma (g_1,\sigma (g_2,p))=\sigma (g_1,p)=p$，有 $g_1{g}_2\in H(p)$。显然 $e\in H(p)$，因为按定义 $\sigma (e,p)=p$。若 $g\in H(p)$，则由于 $p=\sigma (e,p)=\sigma (g^{-1}g,p)=\sigma (g^{-1},\sigma (g,p))=\sigma (g^{-1},p)$，有 $g^{-1}\in H(p)$。

练习 5.26

习题 5.26. 设李群 $G$ 自由地作用在流形 $M$ 上。证明：对任意 $p\in M$，都有 $H(p)=\{e\}$。

定理 5.4

设李群 $G$ 作用在流形 $M$ 上，则对任意 $p\in M$，各向同性群 $H(p)$ 都是李子群。

证明

固定 $p\in M$，定义映射 ${\phi }_p:G\to M$ 为 ${\phi }_p(g)\equiv gp$。于是 $H(p)$ 是点 $p$ 的原像 ${\phi }_p^{-1}(p)$，因而是一个闭集。群的性质此前已经证明。由定理 5.2可知，$H(p)$ 是李子群。

例如，取 $M={\mathbb{R}}^3$、$G=\mathrm{SO}(3)$，并取一点 $p=(0,0,1)\in {\mathbb{R}}^3$。各向同性群 $H(p)$ 就是绕 $z$ 轴的旋转构成的集合，它同构于 SO(2)。

设 $G$ 为李群，$H$ 为 $G$ 的任一子群。陪集空间 $G/H$ 具有可微结构，从而 $G/H$ 成为一个流形，称为齐性空间(homogeneous space)。注意 $\dim G/H=\dim G-\dim H$。设李群 $G$ 传递地作用在流形 $M$ 上，$H(p)$ 为 $p\in M$ 的各向同性群。则 $H(p)$ 是李子群，陪集空间 $G/H(p)$ 是齐性空间。

事实上，若 $G,H(p)$ 与 $M$ 满足某些技术性要求（例如 $G/H(p)$ 紧致），则可以证明 $G/H(p)$ 与 $M$ 同胚，见例 5.18。

例 5.18

(a) 设 $G=\mathrm{SO}(3)$ 是作用在 ${\mathbb{R}}^3$ 上的群，$H=\mathrm{SO}(2)$ 是 $x\in {\mathbb{R}}^3$ 的各向同性群。群 $\mathrm{SO}(3)$ 传递地作用在 $S^2$ 上，并且有 $\mathrm{SO}(3)/\mathrm{SO}(2)\cong S^2$。这有什么几何图像呢？设 $g^{\prime }=gh$，其中 $g,g^{\prime }\in G$，$h\in H$。由于 $H$ 是平面内的旋转构成的集合，所以 $g$ 与 $g^{\prime }$ 必定是绕公共轴的旋转。于是等价类 $[g]$ 由极角 $(\theta ,\varphi )$ 确定。这样我们又一次得到 $G/H=S^2$。由于 $\mathrm{SO}(2)$ 不是 $\mathrm{SO}(3)$ 的正规子群，$S^2$ 不具有群结构。

这一结果很容易推广到高维旋转群，于是我们得到如下有用的结果

$$\mathrm{SO}(n+1)/\mathrm{SO}(n)=S^n.\text{\hspace{1em}(5.150)}$$

$\mathrm{O}(n+1)$ 也传递地作用在 $S^n$ 上，并且有

$$\mathrm{O}(n+1)/\mathrm{O}(n)=S^n.\text{\hspace{1em}(5.151)}$$

对 $\mathrm{U}(n)$ 与 $\mathrm{SU}(n)$ 也有类似的关系：

$$\mathrm{U}(n+1)/\mathrm{U}(n)=\mathrm{SU}(n+1)/\mathrm{SU}(n)=S^{2n+1}.\text{\hspace{1em}(5.152)}$$

(b) 群 $\mathrm{O}(n+1)$ 从左侧传递地作用在 $\mathbb{R}{P}^n$ 上。首先注意，$\mathrm{O}(n+1)$ 以通常的方式作用在 ${\mathbb{R}}^{n+1}$ 上，并保持用来定义 $\mathbb{R}{P}^n$ 的等价关系（见例 5.12）。事实上，取 $x,x^{\prime }\in {\mathbb{R}}^{n+1}$ 与 $g\in \mathrm{O}(n+1)$。若 $x\sim x^{\prime }$（即对某个 $a\in \mathbb{R}-\{0\}$ 有 $x^{\prime }=ax$），则可推出 $gx\sim g{x}^{\prime }$（$g{x}^{\prime }=agx$）。因此，$\mathrm{O}(n+1)$ 在 ${\mathbb{R}}^{n+1}$ 上的这一作用诱导出 $\mathrm{O}(n+1)$ 在 $\mathbb{R}{P}^n$ 上的自然作用。显然这一作用在 $\mathbb{R}{P}^n$ 上是传递的。（只需考察两个范数相同的代表元。）若在 $\mathbb{R}{P}^n$ 中取一点 $p$，它对应于 $(1,0,\dots ,0)\in {\mathbb{R}}^{n+1}$ 中的一点，则各向同性群 $H(p)$ 为

$$H(p)=\left(\begin{array}{ccccc}\pm 1& 0& 0& \dots & 0\\ 0& & & & \\ 0& & & & \\ ⋮& & \mathrm{O}(n)& & \\ 0& & & & \end{array}\right)=\mathrm{O}(1)\times \mathrm{O}(n)\text{\hspace{1em}(5.153)}$$

其中 $\mathrm{O}(1)$ 是集合 $\{-1,+1\}={\mathbb{Z}}_2$。于是我们得到

$$\mathrm{O}(n+1)/[\mathrm{O}(1)\times \mathrm{O}(n)]\cong S^n/{\mathbb{Z}}_2\cong \mathbb{R}{P}^n.\text{\hspace{1em}(5.154)}$$

(c) 这一结果容易推广到格拉斯曼流形：$G_{k,n}(\mathbb{R})=\mathrm{O}(n)/[\mathrm{O}(k)\times \mathrm{O}(n-k)]$。我们先证明 $\mathrm{O}(n)$ 传递地作用在 $G_{k,n}(\mathbb{R})$ 上。

设 $A$ 是 $G_{k,n}(\mathbb{R})$ 中的一个元素，则 $A$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 中的一个 $k$ 维平面。定义一个 $n\times n$ 矩阵 $P_A$，它把向量 $v\in {\mathbb{R}}^n$ 投影到平面 $A$ 上。我们在 ${\mathbb{R}}^n$ 中引入一个标准正交基 $\{e_1,\dots ,e_n\}$，并在平面 $A$ 中引入另一个标准正交基 $\{f_1,\dots ,f_k\}$，这里的正交归一性是相对于 ${\mathbb{R}}^n$ 中的欧几里得度规而言的。按 $\{e_i\}$ 展开，$f_a$ 可写成 $f_a={\sum }_i{f}_{ai}{e}_i$，而投影后的向量为

$$\begin{array}{rl}{P}_{A}v& =\left(v{f}_1\right)f_1+\cdots +\left(v{f}_k\right)f_k\\ & =\sum _{i,j}\left(v_i{f}_{1i}{f}_{1j}+\cdots +v_i{f}_{ki}{f}_{kj}\right)e_j=\sum _{i,a,j}{v}_i{f}_{ai}{f}_{aj}{e}_j.\end{array}$$

因此，$P_A$ 由一个矩阵表示

$${\left(P_A\right)}_{ij}=\sum f_{ai}{f}_{aj}.\text{\hspace{1em}(5.155)}$$

注意 $P_A^2=P_A$、$P_A^{\mathrm{t}}=P_A$ 以及 $\mathrm{tr}{P}_A=k$。[最后一个关系成立，是因为总可以选取坐标系使得

$$P_A=\mathrm{diag}(\underset{k}{\underbrace{1,1,\dots ,1}},\underset{n-k}{\underbrace{0,\dots ,0}}).$$

这就保证了 $A$ 确实是一个 $k$ 维平面。] 反之，任何满足这三个条件的矩阵 $P$ 都确定 ${\mathbb{R}}^n$ 中唯一的一个 $k$ 维平面，即 $G_{k,n}(\mathbb{R})$ 中唯一的一个元素。

下面我们证明 $\mathrm{O}(n)$ 传递地作用在 $G_{k,n}(\mathbb{R})$ 上。取 $A\in G_{k,n}(\mathbb{R})$ 与 $g\in \mathrm{O}(n)$，并构造 $P_B\equiv g{P}_A{g}^{-1}$。矩阵 $P_B$ 确定 $B\in G_{k,n}(\mathbb{R})$ 中的一个元素，因为 $P_B^2=P_B$、$P_B^{\mathrm{t}}=P_B$ 以及 $\mathrm{tr}{P}_B=k$。我们把这一作用记为 $B=\sigma (g,A)$。显然这一作用是传递的，因为给定 $A$ 的一个标准 $k$ 维基，例如 $\{f_1,\dots ,f_k\}$，任何 $k$ 维基 $\{{\tilde{f}}_1,\dots ,{\tilde{f}}_k\}$ 都可以通过 $\mathrm{O}(n)$ 对这一基的作用得到。

我们取一个特殊的平面 $C_0$，它由标准基 $\{f_1,\dots ,f_k\}$ 张成。于是各向同性群 $H(C_0)$ 中的元素具有如下形式

$$\begin{array}{rl}& kn-k\\ & M=\left(\begin{array}{cc}{g}_1& 0\\ 0& g_2\end{array}\right)\begin{array}{l}k\\ n-k\end{array}\end{array}\text{\hspace{1em}(5.156)}$$

其中 $g_1\in \mathrm{O}(k)$。由于 $M\in \mathrm{O}(n)$，一个 $(n-k)\times (n-k)$ 矩阵 $g_2$ 必定是 $\mathrm{O}(n-k)$ 中的元素。因此，各向同性群同构于 $\mathrm{O}(k)\times \mathrm{O}(n-k)$。最后我们验证了

$$G_{k,n}(\mathbb{R})\cong \mathrm{O}(n)/[\mathrm{O}(k)\times \mathrm{O}(n-k)].\text{\hspace{1em}(5.157)}$$

$G_{k,n}(\mathbb{R})$ 的维数可由一般公式得到：

$$\begin{array}{rl}\dim G_{k,n}(\mathbb{R})& =\dim \mathrm{O}(n)-\dim [\mathrm{O}(k)\times \mathrm{O}(n-k)]\\ & =\frac{1}{2}n(n-1)-\left[\frac{1}{2}k(k-1)+\frac{1}{2}(n-k)(n-k-1)\right]\\ & =k(n-k)\end{array}\text{\hspace{1em}(5.158)}$$

这与例 5.5的结果一致。式 (5.157) 还表明格拉斯曼流形是紧致的。

5.7.3 诱导向量场

设 $G$ 是一个李群，它以 $(g,x)\mapsto gx$ 的方式作用在 $M$ 上。由 $V\in T_{e}G$ 生成的左不变向量场 $X_V$ 自然地诱导出 $M$ 上的一个向量场。在 $M$ 中定义流

$$\sigma (t,x)=\exp (tV)x,\text{\hspace{1em}(5.159)}$$

$\sigma (t,x)$ 是一个单参数变换群，并由此定义一个向量场，称为诱导向量场(induced vector field)，记作 $V^{♯}$，

$${V^{♯}|}_x={\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\exp (tV)x|}_{t=0}.\text{\hspace{1em}(5.160)}$$

这样，我们就得到了由 $V\mapsto V^{♯}$ 定义的映射 $♯:T_{e}G\to \mathcal{X}(M)$。

练习 5.27

李群 $\mathrm{SO}(2)$ 以通常的方式作用在 $M={\mathbb{R}}^2$ 上。设

$$V=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$$

为 $\mathfrak{so}(2)$ 中的一个元素。

(a) 证明

$$\exp (tV)=\left(\begin{array}{cc}\cos t& -\sin t\\ \sin t& \cos t\end{array}\right)$$

并求出过

$$\mathbf{x}=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)\in {\mathbb{R}}^2.$$

(b) 证明 $V^{♯}{|}_x=-y\partial /\partial x+x\partial /\partial y$。

例 5.19

取 $G=\mathrm{SO}(3)$ 与 $M={\mathbb{R}}^3$。$T_{e}G$ 的基向量由绕 $x,y$ 轴与 $z$ 轴的旋转生成。我们分别把它们记作 $X_x,X_y$ 与 $X_z$（见练习 5.22），

$$X_x=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& -1\\ 0& 1& 0\end{array}\right),X_y=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ -1& 0& 0\end{array}\right),X_z=\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right).$$

重复与上一例类似的分析，我们得到相应的诱导向量，

$$X_x^{♯}=-z\frac{\partial }{\partial y}+y\frac{\partial }{\partial z},X_y^{♯}=-x\frac{\partial }{\partial z}+z\frac{\partial }{\partial x},X_z^{♯}=-y\frac{\partial }{\partial x}+x\frac{\partial }{\partial y}.$$

5.7.4 李群的伴随表示

李群 $G$ 以某种特殊的方式作用在 $G$ 自身上。

定义 5.17 伴随表示(adjoint representation)

任取 $a\in G$，用共轭定义同态 ${\mathrm{ad}}_a:G\to G$：

$${\mathrm{ad}}_a:g\mapsto ag{a}^{-1}.\text{\hspace{1em}(5.161)}$$

这个同态称为 $G$ 的伴随表示(adjoint representation)。

练习 5.28

证明 ${\mathrm{ad}}_a$ 是同态。用 $\sigma (a,g)\equiv {\mathrm{ad}}_{a}g$ 定义映射 $\sigma :G\times G\to G$。证明 $\sigma (a,g)$ 是 $G$ 在其自身上的作用。

注意到 ${\mathrm{ad}}_{a}e=e$，我们把诱导映射 ${\mathrm{ad}}_{a\ast }:T_{g}G\to T_{{\mathrm{ad}}_{a}g}G$ 限制到 $g=e$ 上，

$${\mathrm{Ad}}_a:T_{e}G\to T_{e}G\text{\hspace{1em}(5.162)}$$

其中 ${\mathrm{Ad}}_a\equiv {\mathrm{ad}}_{a\ast }{|}_{T_{e}G}$。若把 $T_{e}G$ 与李代数 $\mathfrak{g}$ 等同起来，我们就得到了一个映射 $\mathrm{Ad}:G\times \mathfrak{g}\to \mathfrak{g}$，称为 $G$ 的伴随映射(adjoint map)。由于 ${\mathrm{ad}}_{a\ast }{\mathrm{ad}}_{b\ast }={\mathrm{ad}}_{ab\ast }$，可知 ${\mathrm{Ad}}_a{\mathrm{Ad}}_b={\mathrm{Ad}}_{ab}$。类似地，由 ${\mathrm{ad}}_{a^{-1}\ast }{\mathrm{ad}}_{a\ast }{|}_{T_{e}G}={\mathrm{id}}_{T_{e}G}$ 可得 ${\mathrm{Ad}}_{a^{-1}}={\mathrm{Ad}}_a^{-1}$。

若 $G$ 是矩阵群，则伴随表示化为简单的矩阵运算。设 $g\in G$、$X_V\in \mathfrak{g}$，并设 ${\sigma }_V(t)=\exp (tV)$ 是由 $V\in T_{e}G$ 生成的单参数子群。则 ${\mathrm{ad}}_g$ 作用于 ${\sigma }_V(t)$ 得到 $g\exp (tV)g^{-1}=\exp (tgV{g}^{-1})$。至于 ${\mathrm{Ad}}_g$，我们有 ${\mathrm{Ad}}_g:V\mapsto gV{g}^{-1}$，因为

$$\begin{array}{rl}{\mathrm{Ad}}_{g}V& ={\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}[{\mathrm{ad}}_g\exp (tV)]|}_{t=0}\\ & ={\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\exp (tgV{g}^{-1})|}_{t=0}=gV{g}^{-1}.\end{array}\text{\hspace{1em}(5.163)}$$

5.1 施蒂费尔流形(Stiefel manifold) $V(m,r)$ 是 ${\mathbb{R}}^m$（$r\le m$）中一组正交归一向量 $\{e_i\}$（$1\le i\le r$）构成的集合。我们可以用 $m\times r$ 矩阵 $(e_1,\dots ,e_r)$ 来表示 $V(m,r)$ 中的元素 $A$。证明 $\mathrm{SO}(m)$ 在 $V(m,r)$ 上的作用是传递的。令

$$A_0\equiv \left(\begin{array}{cccc}1& 0& \dots & 0\\ 0& 1& \dots & 0\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0& 0& \dots & 1\\ 0& 0& \dots & 0\\ 0& 0& \dots & 0\end{array}\right)$$

为 $V(m,r)$ 的一个元素。证明 $A_0$ 的各向同性群是 $\mathrm{SO}(m-r)$。验证 $V(m,r)=\mathrm{SO}(m)/\mathrm{SO}(m-r)$ 与 $\dim V(m,r)=[r(r-1)]/2+r(m-r)$。[注：施蒂费尔流形在某种意义上是一般化的球面。注意 $V(m,1)=S^{m-1}$。]

5.2 设 $M$ 为闵可夫斯基四维时空。定义线性算符 $\ast :{\Omega }^r(M)\to {\Omega }^{4-r}(M)$ 的作用为

$$\begin{array}{rl}& r=0:\ast 1=-\mathrm{d}{x}^0\wedge \mathrm{d}{x}^1\wedge \mathrm{d}{x}^2\wedge \mathrm{d}{x}^3;\\ & r=1:\ast \mathrm{d}{x}^i=-\mathrm{d}{x}^j\wedge \mathrm{d}{x}^k\wedge \mathrm{d}{x}^0\ast \mathrm{d}{x}^0=-\mathrm{d}{x}^1\wedge \mathrm{d}{x}^2\wedge \mathrm{d}{x}^3;\\ & r=2:\ast \mathrm{d}{x}^i\wedge \mathrm{d}{x}^j=\mathrm{d}{x}^k\wedge \mathrm{d}{x}^0\ast \mathrm{d}{x}^i\wedge \mathrm{d}{x}^0=-\mathrm{d}{x}^j\wedge \mathrm{d}{x}^k;\\ & r=3:\ast \mathrm{d}{x}^1\wedge \mathrm{d}{x}^2\wedge \mathrm{d}{x}^3=-\mathrm{d}{x}^0\ast \mathrm{d}{x}^i\wedge \mathrm{d}{x}^j\wedge \mathrm{d}{x}^0=-\mathrm{d}{x}^k;\\ & r=4:\ast \mathrm{d}{x}^0\wedge \mathrm{d}{x}^1\wedge \mathrm{d}{x}^2\wedge \mathrm{d}{x}^3=1;\end{array}$$

其中 $(i,j,k)$ 是 $(1,2,3)$ 的偶置换。矢势 $A$ 与电磁张量 $F$ 按例 5.11 中的方式定义。$J=J_{\mu }\mathrm{d}{x}^{\mu }=\rho \mathrm{d}{x}^0+j_k\mathrm{d}{x}^k$ 是电流一形式。

(a) 写出方程 $\mathrm{d}\ast F=\ast J$，并验证它化为麦克斯韦方程中的两个方程 $\nabla \cdot \mathbf{E}=\rho$ 与 $\nabla \times \mathbf{B}-\partial \mathbf{E}/\partial t=\mathbf{j}$。
(b) 证明恒等式 $0=\mathrm{d}(\mathrm{d}\ast F)=\mathrm{d}\ast J$ 化为电荷守恒方程

$${\partial }_{\mu }{J}^{\mu }=\frac{\partial \rho }{\partial t}+\nabla \cdot \mathbf{j}=0.$$

(c) 证明洛伦兹条件 ${\partial }_{\mu }{A}^{\mu }=0$ 可表示为 $\mathrm{d}\ast A=0$。

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