欧拉类

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定义 · 11.4 庞特里亚金类与欧拉类

设 $M$ 是 2l 维的可定向黎曼流形，$TM$ 是 $M$ 的切丛。我们用 $\mathcal{R}$ 表示曲率。通过采用正交标架，总可以把 $TM$ 的结构群约化到 $\mathrm{SO}(2l)$。$M$ 的欧拉类(Euler class) $e$ 由 4l 形式 $p_l$ 的平方根定义，

$$e(A)e(A)=p_l(A).\text{\hspace{1em}(11.80)}$$

英文原文

Let $M$ be a 2l-dimensional orientable Riemannian manifold and let $TM$ be the tangent bundle of $M$ . We denote the curvature by $\mathcal{R}$ . It is always possible to reduce the structure group of $TM$ down to $\mathrm{SO}(2l)$ by employing an orthonormal frame. The Euler class $e$ of $M$ is defined by the square root of the 4l-form $p_l$ ,

$$e(A)e(A)=p_l(A).\text{\hspace{1em}(11.80)}$$

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