11.4 庞特里亚金类与欧拉类

本节讨论与实向量丛相联系的示性类。

11.4.1 庞特里亚金类

设 $E$ 是 $m$ 维流形 $M$ 上的实向量丛，且 ${\dim }_{\mathbb{R}}E=k$。若给 $E$ 赋予纤维度量，就可以在每条纤维上引入正交标架。此时结构群可由 $\mathrm{GL}(k,\mathbb{R})$ 约化为 $\mathrm{O}(k)$。由于 $\mathfrak{o}(k)$ 的生成元是反对称的，$E$ 的场强 $\mathcal{T}$ 也是反对称的。反对称矩阵 $A$ 不能由 $\mathrm{GL}(k,\mathbb{R})$ 的某个子群中的元素对角化，但可以化为如下的分块对角形式：

$$\begin{array}{rl}& A\to \left(\begin{array}{ccccc}0& {\lambda }_1& & & 0\\ -{\lambda }_1& 0& & & \\ & & 0& {\lambda }_2& \\ & & -{\lambda }_2& 0& \\ 0& & & & \ddots \end{array}\right)\\ & \to \left(\begin{array}{cccc}\mathrm{i}{\lambda }_1& & & \\ & -\mathrm{i}{\lambda }_1& 0& \\ & & \mathrm{i}{\lambda }_2& \\ & & & -\mathrm{i}{\lambda }_2\\ & 0& & \ddots \end{array}\right)\end{array}\text{\hspace{1em}(11.69)}$$

其中第二步对角化只能借助 $\mathrm{GL}(k,\mathbb{C})$ 中的元素实现。若 $k$ 为奇数，则最后一个对角元取为零。例如，$\mathfrak{o}(3)=\mathfrak{so}(3)$ 中生成绕 $z$ 轴旋转的生成元为

$$T_z=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ -1& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right).$$

总庞特里亚金类定义为

$$p(\mathcal{F})\equiv \det \left(I+\frac{\mathcal{F}}{2\pi }\right).\text{\hspace{1em}(11.70)}$$

由反对称性 ${\mathcal{F}}^{\mathrm{t}}=-\mathcal{F}$ 可知，

$$\det \left(I+\frac{\mathcal{F}}{2\pi }\right)=\det \left(I+\frac{{\mathcal{F}}^t}{2\pi }\right)=\det \left(I-\frac{\mathcal{F}}{2\pi }\right).$$

因此，$p(\mathcal{F})$ 是 $\mathcal{F}$ 的偶函数。$p(\mathcal{F})$ 的展开式为

$$p(\mathcal{F})=1+p_1(\mathcal{F})+p_2(\mathcal{F})+\dots \text{\hspace{1em}(11.71)}$$

其中 $p_j(\mathcal{F})$ 是 $2j$ 阶的多项式，并且是 $H^{4j}(M;\mathbb{R})$ 中的元素。我们注意到，当 $2j>k=\dim E$ 或 $4j>\dim M$ 时，$p_j(\mathcal{F})=0$。¹

我们将 $\mathcal{F}/2\pi$ 对角化为

$$\frac{\mathcal{F}}{2\pi }\to A\equiv \left(\begin{array}{ccccc}-\mathrm{i}{x}_1& & & & \\ & \mathrm{i}{x}_1& & 0& \\ & & -\mathrm{i}{x}_2& & \\ & 0& & \mathrm{i}{x}_2& \\ & & & & \ddots \end{array}\right)\text{\hspace{1em}(11.72)}$$

其中 $x_k\equiv -{\lambda }_k/2\pi$，${\lambda }_k$ 是 $\mathcal{F}$ 的特征值。这里符号的选取是为了简化此处定义的欧拉类。$p(\mathcal{F})$ 的生成函数由下式给出

$$p(\mathcal{F})=\det (I+A)=\prod _{i=1}^{[k/2]}\left(1+x_i^2\right)\text{\hspace{1em}(11.73)}$$

其中

$$[k/2]=\to \{\begin{array}{ll}k/2& \text{i f}k\text{k 为偶数}\\ (k-1)/2& \text{i f}k\text{k 为奇数}.\end{array}$$

(11.73) 中只出现偶次幂，这反映了反对称性。每个庞特里亚金类都由 (11.73) 算出：

$$p_j(\mathcal{F})=\sum _{i_1<i_2<\cdots <i_j}^{[k/2]}{x}_{i_1}^2{x}_{i_2}^2\dots x_{i_j}^2.\text{\hspace{1em}(11.74)}$$

为了用曲率二形式 $\mathcal{F}/2\pi$ 表示 $p_j(\mathcal{F})$，我们首先注意到

$$\mathrm{tr}{\left(\frac{\mathcal{F}}{2\pi }\right)}^{2j}=\mathrm{tr}{A}^{2j}=2(-1{)}^j\sum _{i=1}^{[k/2]}{x}_i^{2j}.$$

由此可得

$$p_1(\mathcal{F})=\sum _i{x}_i^2=-\frac{1}{2}{\left(\frac{1}{2\pi }\right)}^2\mathrm{tr}{\mathcal{F}}^2\text{\hspace{1em}(11.75a)}$$

$$\begin{array}{rl}{p}_2(\mathcal{F})& =\sum _{i<j}{x}_i^2{x}_j^2=\frac{1}{2}\left[{\left(\sum _i{x}_i^2\right)}^2-\sum _i{x}_i^4\right]\\ & =\frac{1}{8}{\left(\frac{1}{2\pi }\right)}^4\left[{\left(\mathrm{tr}{\mathcal{F}}^2\right)}^2-2\mathrm{tr}{\mathcal{F}}^4\right]\end{array}\text{\hspace{1em}(11.75b)}$$

$$\begin{array}{rl}{p}_3(\mathcal{F})& =\sum _{i<j<k}{x}_i^2{x}_j^2{x}_k^2\\ & =\frac{1}{48}{\left(\frac{1}{2\pi }\right)}^6\left[-{\left(\mathrm{tr}{\mathcal{F}}^2\right)}^3+6\mathrm{tr}{\mathcal{F}}^2\mathrm{tr}{\mathcal{F}}^4-8\mathrm{tr}{\mathcal{F}}^6\right]\end{array}\text{\hspace{1em}(11.75c)}$$

$$\begin{array}{rl}& p_4(\mathcal{F})=\sum _{i<j<k<l}{x}_i^2{x}_j^2{x}_k^2{x}_l^2\\ & =\frac{1}{384}{\left(\frac{1}{2\pi }\right)}^8[(\mathrm{tr}{\mathcal{F}}^2{)}^4-12(\mathrm{tr}{\mathcal{F}}^2{)}^2\mathrm{tr}{\mathcal{F}}^4+32\mathrm{tr}{\mathcal{F}}^2\mathrm{tr}{\mathcal{F}}^6\\ & +12{\left(\mathrm{tr}{\mathcal{F}}^4\right)}^2-48\mathrm{tr}{\mathcal{F}}^8]\end{array}\text{\hspace{1em}(11.75d)}$$

中

$$p_{[k/2]}(\mathcal{F})=x_1^2{x}_2^2\dots x_{[k/2]}^2={\left(\frac{1}{2\pi }\right)}^k\det \mathcal{F}.\text{\hspace{1em}(11.75e)}$$

读者应当验证

$$p(E\oplus F)=p(E)\wedge p(F).\text{\hspace{1em}(11.76)}$$

不难猜测，庞特里亚金类可以用陈类表示。由于陈类只对复向量丛才有定义，我们必须把 $E$ 的纤维复化，使复数有意义。所得的向量丛记作 $E^{\mathbb{C}}$。设 $A$ 为反对称实矩阵，则可得

$$\begin{array}{rl}\det (I+\mathrm{i}A)& =\det \left(\begin{array}{ccccc}1+x_1& & & 0& \\ & 1-x_1& & & \\ & & 1+x_2& & \\ & 0& & 1-x_2& \\ & & & & \ddots \end{array}\right)\\ & =\prod _{i=1}^{[k/2]}(1-x_i^2)=1-p_1(A)+p_2(A)-\dots \end{array}$$

由此可知

$$p_j(E)=(-1{)}^j{c}_{2j}\left(E^{\complement }\right).\text{\hspace{1em}(11.77)}$$

例 11.5

设 $M$ 是一个四维黎曼流形。若采用正交标架 $\{{\hat{e}}_{\alpha }\}$，则切丛 $TM$ 的结构群可以约化为 $\mathrm{O}(4)$。设 $\mathcal{R}=\frac{1}{2}{\mathcal{R}}_{\alpha \beta }{\theta }^{\alpha }\wedge {\theta }^{\beta }$ 为曲率二形式（$(\mathcal{R}$ 不应与标量曲率相混淆）。对于切丛，通常把 $p(M)$ 写作 $p(\mathcal{R})$。于是有

$$\det \left(I+\frac{\mathcal{R}}{2\pi }\right)=1-\frac{1}{8{\pi }^2}\mathrm{tr}{\mathcal{R}}^2+\frac{1}{128{\pi }^4}[(\mathrm{tr}{\mathcal{R}}^2{)}^2-2\mathrm{tr}{\mathcal{R}}^4].\text{\hspace{1em}(11.78)}$$

每个庞特里亚金类由下式给出

$$p_0(M)=1\text{\hspace{1em}(11.79a)}$$

$$p_1(M)=-\frac{1}{8{\pi }^2}\mathrm{tr}{\mathcal{R}}^2=-\frac{1}{8{\pi }^2}{\mathcal{R}}_{\alpha \beta }{\mathcal{R}}_{\beta \alpha }\text{\hspace{1em}(11.79b)}$$

$$p_2(M)=\frac{1}{128{\pi }^4}\left[{\left(\mathrm{tr}{\mathcal{R}}^2\right)}^2-2\mathrm{tr}{\mathcal{R}}^4\right]={\left(\frac{1}{2\pi }\right)}^4\det \mathcal{R}.\text{\hspace{1em}(11.79c)}$$

尽管 $p_2(M)$ 作为微分形式为零，我们在下一小节中仍需要用它来计算欧拉类。

11.4.2 欧拉类

设 $M$ 是 2l 维的可定向黎曼流形，$TM$ 是 $M$ 的切丛。我们用 $\mathcal{R}$ 表示曲率。通过采用正交标架，总可以把 $TM$ 的结构群约化到 $\mathrm{SO}(2l)$。$M$ 的欧拉类(Euler class) $e$ 由 4l 形式 $p_l$ 的平方根定义，

$$e(A)e(A)=p_l(A).\text{\hspace{1em}(11.80)}$$

等式两边都应理解为 $2l\times 2l$ 矩阵 $A$ 的函数，而不是曲率 $\mathcal{R}$ 的函数，因为 $p_1(\mathcal{R})$ 恒为零。不过，这样定义的 $e(M)\equiv e(\mathcal{R})$ 是一个 $2l$ 形式，而且确实给出了 $M$ 的一个体积元。若 $M$ 是奇数维流形，我们定义 $e(M)=0$，见后文。

例 11.6

取 $M=S^2$，并考虑切丛 $T{S}^2$。由例 7.14可得曲率2-形式，

$${\mathcal{R}}_{\theta \varphi }=-{\mathcal{R}}_{\varphi \theta }={\sin }^2\theta \frac{\mathrm{d}\theta \wedge \mathrm{d}\varphi }{\sin \theta }=\sin \theta \mathrm{d}\theta \wedge \mathrm{d}\varphi$$

这里我们已注意到 $g_{\theta \theta }={\sin }^2\theta$。虽然 $p_1(S^2)=0$ 作为一个微分形式，我们仍把它算出来以求得欧拉形式。我们有

$$\begin{array}{rl}{p}_1(S^2)& =-\frac{1}{8{\pi }^2}\mathrm{tr}{\mathcal{R}}^2=-\frac{1}{8{\pi }^2}[{\mathcal{R}}_{\theta \varphi }{\mathcal{R}}_{\varphi \theta }+{\mathcal{R}}_{\varphi \theta }{\mathcal{R}}_{\theta \varphi }]\\ & ={\left(\frac{1}{2\pi }\sin \theta d\theta \wedge d\varphi \right)}^2\end{array}$$

由此读出

$$e\left(S^2\right)=\frac{1}{2\pi }\sin \theta d\theta \wedge d\varphi .\text{\hspace{1em}(11.81)}$$

值得注意的是

$${\int }_{S^2}e\left(S^2\right)=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }\mathrm{d}\varphi {\int }_0^{\pi }\mathrm{d}\theta \sin \theta =2\text{\hspace{1em}(11.82)}$$

这正是 $S^2$ 的欧拉示性数，见2.4 节。这并非巧合。让我们再看一个更有说服力的例子：环面 $T^2$。由于 $T^2$ 容许一个平坦联络，其曲率恒为零。于是可得 $e(T^2)\equiv 0$ 以及 $\chi (T^2)=0$。这些都是高斯-博内定理的特例：

$${\int }_{M}e(M)=\chi (M)\text{\hspace{1em}(11.83)}$$

其中 $M$ 是紧致的可定向流形。若 $M$ 是奇数维的，则 $e$ 与 $\chi$ 都为零，见(6.39)。

一般地，一个 $2l\times 2l$ 的反对称矩阵 $A$ 的行列式是某个多项式的平方，这个多项式称为普法夫式(Pfaffian) $\mathrm{Pf}(A)$，²

$$\det A=\mathrm{Pf}(A{)}^2.\text{\hspace{1em}(11.84)}$$

下面我们证明普法夫式由下式给出：

$$\mathrm{Pf}(A)=\frac{(-1{)}^l}{2^{l}l!}\sum _P\mathrm{sgn}(P)A_{P(1)P(2)}{A}_{P(3)P(4)}\dots A_{P(2l-1)P(2l)}\text{\hspace{1em}(11.85)}$$

其中相位的选取是为了后文方便。我们首先注意到，反对称矩阵 $A$ 可以通过 $\mathrm{O}(2l)$ 中的一个元素分块对角化，即

$$S^{\mathrm{t}}AS=\Lambda =\left(\begin{array}{cccccc}0& {\lambda }_1& & & & \\ -{\lambda }_1& 0& & & 0& \\ & & 0& {\lambda }_2& & \\ & & -{\lambda }_2& 0& & \\ & & & & \ddots & \\ & 0& & & 0& {\lambda }_l\\ & & & & -{\lambda }_l& 0\end{array}\right).\text{\hspace{1em}(11.86)}$$

容易看出

$$\det A=\det \Lambda =\prod _{i=1}^l{\lambda }_i^2.$$

为计算 $\mathrm{Pf}(\Lambda )$，我们注意到(11.85)中非零的项都具有 $A_{12}{A}_{34}\dots A_{2l-1,2l}$ 的形式。此外，把下标按 $A_{ij}\to A_{ji}$ 的方式改变共有 $2^l$ 种，例如

$$A_{12}{A}_{34}\dots A_{2l-1,2l}\to A_{21}{A}_{34}\dots A_{2l-1,2l}$$

以及指标对的 $l!$ 种置换，例如

$$A_{12}{A}_{34}\dots A_{2l-1,2l}\to A_{34}{A}_{12}\dots A_{2l-1,2l}.$$

因此，我们有

$$\mathrm{Pf}(\Lambda )=(-1{)}^l{A}_{12}{A}_{34}\dots A_{2l-1,2l}=(-1{)}^l\prod _{i=1}^l{\lambda }_i.$$

于是我们得出结论：分块对角矩阵 $\Lambda$ 满足

$$\det \Lambda =\mathrm{Pf}(\Lambda {)}^2.$$

为了证明(11.84)对任意反对称矩阵（不必是分块对角的）都成立，我们使用下面的引理，³

$$\mathrm{Pf}\left(X^{\mathrm{t}}AX\right)=\mathrm{Pf}(A)\det X.\text{\hspace{1em}(11.87)}$$

若对 $S\in \mathrm{O}(2l)$ 有 $S^{\mathrm{t}}AS=\Lambda$，则 $A=S\Lambda S^{\mathrm{t}}$，从而

$$\mathrm{Pf}\left(S\Lambda S^{\mathrm{t}}\right)=\mathrm{Pf}(\Lambda )\det S=(-1{)}^l\prod _{i=1}^l{\lambda }_i\det S.$$

最后我们得到：对反对称矩阵 $A$ 有 $\det A=\mathrm{Pf}(A{)}^2$。

注意 $\mathrm{Pf}(A)$ 是 $\mathrm{SO}(2l)$ 不变的，但在 $\mathrm{O}(2l)$ 的一个非正常旋转 $S$（det $S=-1$）下会改变符号。

练习 11.3

习题 11.3. 证明奇数维反对称矩阵的行列式为零。这正是我们对奇数维可微流形取 $e(M)=0$ 的原因。

欧拉类是用曲率 $\mathcal{R}$ 来定义的，即

$$\begin{array}{rl}e(M)& =\mathrm{Pf}(\mathcal{R}/2\pi )\\ & =\frac{(-1{)}^l}{(4\pi {)}^{l}l!}\sum _P\mathrm{sgn}(P){\mathcal{R}}_{P(1)P(2)}\dots {\mathcal{R}}_{P(2l-1)P(2l)}.\end{array}\text{\hspace{1em}(11.88)}$$

取 $x_j=-{\lambda }_i/2\pi$ 便得到生成函数

$$e(x)=x_1{x}_2\dots x_l=\prod _{i=1}^l{x}_i.\text{\hspace{1em}(11.89)}$$

选取相位 $(-1{)}^l$ 是为了使右端简化。

例 11.7

设 $M$ 是一个四维可定向流形。$TM$ 的结构群是 SO(4)，见例 11.5。欧拉类可由(11.88)得到，即

$$e(M)=\frac{1}{2(4\pi {)}^2}{ϵ}^{ijkl}{\mathcal{R}}_{ij}\wedge {\mathcal{R}}_{kl}.\text{\hspace{1em}(11.90)}$$

这与例 11.5的结果一致。相应的庞特里亚金类为

$$p_2(M)=\frac{1}{128{\pi }^4}[(\mathrm{tr}{\mathcal{R}}^2{)}^2-2\mathrm{tr}{\mathcal{R}}^4]=x_1^2{x}_2^2.$$

由于 $e(M)=x_1{x}_2$，我们有 $p_2(M)=e(M)\wedge e(M)$。这可以写成一个矩阵恒等式，

$$\frac{1}{128{\pi }^4}[(\mathrm{tr}{A}^2{)}^2-2\mathrm{tr}{A}^4]={\left(\frac{1}{2(4\pi {)}^4}{ϵ}^{ijkl}{A}_{ij}{A}_{kl}\right)}^2.$$

11.4.3 希策布鲁赫 $L$ 多项式与 $\hat{A}$ 亏格

希策布鲁赫 $L$ 多项式的定义为

$$\begin{array}{rl}L(x)& =\prod _{j=1}^k\frac{x_j}{\tanh x_j}\\ & =\prod _{j=1}^k\left(1+\sum _{n\ge 1}(-1{)}^{n-1}\frac{2^{2n}}{(2n)!}{B}_n{x}_j^{2n}\right)\end{array}\text{\hspace{1em}(11.91)}$$

其中 $B_n$ 是伯努利数，见(11.66)。函数 $L(x)$ 关于 $x_j$ 是偶函数，并可用庞特里亚金类表示：

$$L(\mathfrak{F})=1+\frac{1}{3}{p}_1+\frac{1}{45}(-p_1^2+7p_2)+\frac{1}{945}(2p_1^3-13p_1{p}_2+62p_3)+\dots \text{\hspace{1em}(11.92)}$$

其中 $p_j$ 表示 $p_j(\mathcal{F})$。由分裂原理可得

$$L(E\oplus F)=L(E)\wedge L(F).\text{\hspace{1em}(11.93)}$$

$\hat{A}$（$A$ 屋顶）亏格(genus) $\hat{A}(\mathcal{F})$ 的定义为

$$\begin{array}{rl}\hat{A}(\mathcal{F})& =\prod _{j=1}^k\frac{x_j/2}{\sinh (x_j/2)}\\ & =\prod _{j=1}^k\left(1+\sum _{n\ge 1}(-1{)}^n\frac{\left(2^{2n}-2\right)}{(2n)!}{B}_n{x}_j^{2n}\right).\end{array}\text{\hspace{1em}(11.94)}$$

它是 $x_j$ 的偶函数，可以按 $p_j$ 展开。$\hat{A}$ 也被物理学家称为狄拉克亏格。它满足

$$\hat{A}(E\oplus F)=\hat{A}(E)\wedge \hat{A}(F).\text{\hspace{1em}(11.95)}$$

$\hat{A}$ 用庞特里亚金类表示为

$$\begin{array}{rl}& \hat{A}(\mathcal{F})=1-\frac{1}{24}{p}_1+\frac{1}{5760}(7p_1^2-4p_2)\\ & +\frac{1}{967680}(-31p_1^3+44p_1{p}_2-16p_3)+\dots .\end{array}\text{\hspace{1em}(11.96)}$$

例 11.8

设 $M$ 是一个紧致的、连通的、可定向的四维流形。考虑由下式定义的对称双线性型 $\sigma :H^2(M;\mathbb{R})\times H^2(M;\mathbb{R})\to \mathbb{R}$：

$$\sigma ([\alpha ],[\beta ])={\int }_M\alpha \wedge \beta .\text{\hspace{1em}(11.97)}$$

$\sigma$ 是一个 $b^2\times b^2$ 的对称矩阵，其中 $b^2=\dim H^2(M;\mathbb{R})$ 是贝蒂数。显然 $\sigma$ 是非退化的，因为对任意 $[\alpha ]\in H^2(M;\mathbb{R})$，$\sigma ([\alpha ],[\beta ])=0$ 都蕴含 $[\beta ]=0$。设 $p(q)$ 为 $\sigma$ 的正（负）特征值的个数。$M$ 的希策布鲁赫符号差(Hirzebruch signature)为

$$\tau (M)\equiv p-q.\text{\hspace{1em}(11.98)}$$

根据希策布鲁赫符号差定理（见12.5 节），这个数也可以用 $L$ 多项式表示为

$$\tau (M)={\int }_M{L}_1(M)=\frac{1}{3}{\int }_M{p}_1(M).\text{\hspace{1em}(11.99)}$$

尾注

来源与版本

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Footnotes

1. 尽管 $p_m(\mathcal{F})=0$，但对矩阵 $B$ 而言 $p_m(B)$ 未必为零。$p_m$ 将用于在以后定义欧拉类。 ↩

2. 见命题 1.3。此处的定义与1.5 节中的定义相差一个相位。事实证明，在欧拉类的定义中采用现在的相位约定是方便的。 ↩

3. 由于 $\det (X^{\mathrm{t}}AX)=(\det X{)}^2\det A$，我们有 $\mathrm{Pf}(X^{\mathrm{t}}AX)=\pm \mathrm{Pf}(A)\det X$。此处应取正号，因为 $\mathrm{Pf}(I^{\mathrm{t}}AI)=\mathrm{Pf}(A)$。 ↩