A.4 复结构与Bargmann-Fock量子化

我们在相空间上通过下式定义复坐标

z_{j} = \frac{1}{2} (q_{j} - i p_{j}), \overline{z}_{j} = \frac{1}{2} (q_{j} + i p_{j})

相空间 $M$ 上复结构的标准选择由下式给出

J_{0} \frac{\partial}{\partial q _{j}} = - \frac{\partial}{\partial p _{j}}, J_{0} \frac{\partial}{\partial p _{j}} = \frac{\partial}{\partial q _{j}}

而在对偶空间 $M$ 的坐标基向量 $q_{j}, p_{j}$ 上，通过

J_{0} q_{j} = p_{j}, J_{0} p_{j} = - q_{j}

复坐标满足

J_{0} z_{j} = i z_{j}, J_{0} \overline{z}_{j} = - i \overline{z}_{j}

因此 $z_{j}$ 是 $M_{J_{0}}^{+}$ 的基， $\overline{z}_{j}$ 是 $M_{J_{0}}^{-}$ 的。它们具有泊松括号

{z_{j}, \overline{z}_{k}} = i δ_{j k}

在Bargmann-Fock量子化中，态空间取为 $z_{j}$ 中的多项式，并带有湮灭算符和产生算符

a_{j} = \frac{\partial}{\partial z _{j}}, a_{j}^{†} = z_{j}

来源与版本

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原书 PDF · 印刷页 535、536

来源版本：2025-10-20

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