A.3 辛几何与量子化

相空间 $M$ 上函数空间上的李括号由泊松括号给出，其由下式确定

{q, p} = 1

量子化将 $q, p$ 变为自伴算符 $1, Q, P .$ 。为使这成为海森堡李代数 $h_{3}$ 的酉表示，将自伴算符乘以 $- i,$ ，使它们满足

[- i Q, - i P] = - i 1, or [Q, P] = i 1

换言之，我们的量子化映射是满足以下条件的 $h_{3}$ 的酉表示

Γ^{'} (q) = - i Q, Γ^{'} (p) = - i P, Γ^{'} (1) = - i 1

动力学在经典上由哈密顿函数 $h$ 如下确定

\frac{d}{d t} f = {f, h}

量子化之后，这变成了方程

\frac{d}{d t} O (t) = [O, - i H]

对于海森堡绘景算符的动力学，这意味着

O (t) = e^{i t H} O e^{- i t H}

其中 $O$ 是薛定谔绘景算符。在薛定谔绘景中，态按照薛定谔方程演化

- i H ∣ ψ ⟩ = \frac{d}{d t} ∣ ψ ⟩

如果群 $G$ 作用在空间 $M$ 上，在 $M$ 上的函数上得到的表示由下式给出

π (g) (f (x)) = f (g^{- 1} \cdot x)

示例包括

• 空间平移 $(q \to q + a)$ 。在态上，有

∣ ψ ⟩ \to e^{- ia P} ∣ ψ ⟩

在薛定谔表示中，它是

e^{- ia (- i \frac{d}{d q})} ψ (q) = e^{- a \frac{d}{d q}} ψ (q) = ψ (q - a)

因此，李代数作用由算符 $- i P = - \frac{d}{d q}$ 给出。注意这与时间平移的符号相反。在算符上有

O (a) = e^{ia P} O e^{- ia P}

或无穷小地

\frac{d}{d a} O (a) = [O, - i P]

• 角动量的经典表达式，关于 $q_{j}, p_{j}$ 是二次的，例如

l_{1} = q_{2} p_{3} - q_{3} p_{2}

在量子化下变为自伴算符

L_{1} = Q_{2} P_{3} - Q_{3} P_{2}

而 $- i L_{1}$ 将是给出李代数 $so (3)$ 的酉表示的斜伴随算符。这三个这样的算符将满足 $so (3)$ 的李括号关系，例如

[- i L_{1}, - i L_{2}] = - i L_{3}

来源与版本

正文：中文 · 机器译稿 · 待校对

核对状态：机器译稿 · 待校对；译稿已修改，待复核

原书 PDF · 印刷页 534、535

来源版本：2025-10-20

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