理查德·费曼有一句名言：“我认为可以安全地说，没有人理解量子力学。”[22]。在本书中，我们将追寻通向这种理解的一条可能路径，强调量子力学与现代数学基本思想之间的深刻联系。费曼所指的量子理论中固有的奇异之处有两个相当不同的来源。其中之一是支配我们日常物理世界经验的经典物理学的概念框架，与支配原子尺度物理实在的非常不同的框架之间显著析取和不可通约性。熟悉经典力学和电磁学的强大形式体系，使我们对熟悉距离尺度上的世界有深刻理解。用狭义和广义相对论这些更现代（但就“非量子”的意义而言仍是“经典”）的学科来补充它们，把我们的理解扩展到其他远不那么熟悉的领域，同时仍使原子物理学成为一个谜。
不过，结合上下文来看，费曼指出的是第二个困难来源，即将量子力学的数学形式体系与广义相对论的数学形式体系进行对比，而后者被认为是一个同样难以理解的课题。广义相对论可能是一门难以掌握的学科，但其数学结构和概念结构涉及对刻画19世纪物理学的结构的相当直接的延拓。基本物理定律（广义相对论的爱因斯坦方程）被表述为偏微分方程，这是一门熟悉却困难的数学学科。系统的状态由满足这些方程的一个域集合确定，而可观测量则是这些域的特征标。其数学在很大程度上就是通常的微积分：微分方程及其实值解。
在量子力学中，一个系统的态最好被看作一种不同类型的数学对象：具有厄米内积的复向量空间中的一个向量，即所谓态空间。这样的态空间有时会是被称为波函数的函数空间。虽然这些波函数可以像经典域那样满足一个微分方程，但一个非经典特征是波函数是复值的。量子力学完全不同的地方在于对可观测量的处理，可观测量对应于态空间上的自伴线性算符。当这样的算符不对易时，我们关于物理应如何运作的直觉就被违背了，因为我们不再能同时给相应的可观测量赋予数值。
在量子力学的早期，数学家赫尔曼·外尔很快意识到，他所使用的数学结构正是他在表示论领域工作中相当熟悉的那些。从将表示论视为数学核心主题的观点来看，量子力学的框架显得完全自然。外尔很快写了一本书来阐述这些思想 [101]，但这在物理学家中引起了复杂的反应，他们不满于不熟悉的数学结构侵入他们的学科（其中一些人将这种情况称为“Gruppenpest”，即群论瘟疫）。本书的一个目标将是尝试使其中一些数学尽可能易于理解，将外尔的部分阐述提炼为要点，同时根据几十年来在更好地理解该主题方面取得的进展对其进行更新。
外尔（Weyl）的洞见——经典系统的量子化关键在于理解作用在经典相空间上的李群以及这些群的酉表示——已被后来的发展所证实，这些发展极大地扩展了这些思想的范围。利用表示论来发掘问题的对称性已成为一种强有力的工具，在科学的许多领域而不仅仅是量子力学中得到了应用。我希望那些主要兴趣在物理学的读者能够学会欣赏标准教科书计算背后的一些此类数学结构，帮助他们理解如何在其他情境中有效地利用它们。那些主要兴趣在数学的读者则有望获得对基础物理学的一些理解，同时看到群与表示的一些关键例子。这些应为欣赏该学科更抽象的表述——标准数学课程的一部分——提供良好的基础。任何对基础物理学与数学的关系、以及尤金·维格纳（Eugene Wigner）所称的“数学在自然科学中不合理的有效性”[102]感到好奇的人，都应从接触这个处于两个学科交叉点的非凡故事中受益。
以下各节概述了后续大部分材料背后的基本思想。以这种粗略而抽象的形式呈现时，初次接触这些内容的人很可能会觉得相当费解。随着我们在接下来的章节中逐步研究基本例子，对这里所描述的整体图景的更深入理解应当会开始浮现出来。