我们将把量子力学基本原理的传统清单分为两部分，第一部分涵盖基本数学结构。
1.2.1 量子力学的基本公理
在经典物理学中，系统的状态由“相空间”中的一个点给出，这可以等价地视为运动方程解的空间，或者（通过初始值数据参数化解）视为坐标与动量的空间。可观测量只是这个空间上的函数（例如，坐标与动量的函数）。有一个特殊的可观测量，即能量或哈密顿算子，它通过哈密顿方程决定状态如何随时间演化。
量子力学的基本结构颇为不同，其形式体系建立在以下简单公理之上：
公理（状态）。量子力学系统的状态由复向量空间中的一个非零向量给出，该空间具有厄米内积
我们将在第4章回顾一些线性代数，包括复向量空间上内积的性质。 可以是有限维或无限维的，在无限维情形下需要进一步限制（例如，我们可能要求 是一个希尔伯特空间）。注意与经典力学状态的两个非常重要的区别：
状态空间总是线性的：状态的线性组合也是状态。
- 态空间是一个复向量空间：这些线性组合可以并且确实以不可回避的方式涉及复数。在经典情形中只出现实数，复数仅作为非本质的计算工具使用。
我们有时会使用狄拉克为状态空间中的向量引入的记号：带有标签的这种向量记作
公理（量子可观测量）。量子力学系统的可观测量由 上的自伴线性算符给出。
我们将在第4章回顾 有限维时自伴性的定义。对于 无限维的情形，定义变得微妙得多，我们将不进入所需的分析。
公理（动力学）。存在一个特殊的量子可观测量，即哈密顿算子。态的时间演化由薛定谔方程给出
算符的特征值是有下界的。
哈密顿可观测量 将具有能量的物理解释，而有界性条件是确保存在稳定最低能量态所必需的。
是一个量纲常数，称为普朗克常数，其数值取决于时间和能量所采用的单位。它具有量纲 [能量] · [时间]，其实验值为
（eV 是“电子伏特”的单位，即一个电子经过一伏特电势差所获得的能量）。对于量子力学问题，最自然的单位制是选择能量和时间单位使得 。例如，可以用秒作为时间单位，并以极小的单位 来度量能量；或者用 eV 作为能量单位，然后用极小的单位 秒作为时间单位。薛定谔方程意味着，如果所考察的系统的典型能量尺度为 ，则其态向量将在 秒这一极短的时间尺度上发生变化。当我们进行计算时，通常我们会令 ，即隐含地采用对量子力学自然的单位制。在计算出最终结果之后，可以插入适当的 因子，以得到更常规单位制下的答案。
然而，有时保留 的因子是方便的，因为这有助于明确哪些项对应于经典物理行为，哪些项在本质上是纯量子力学的。通常，经典物理出现在这样的极限下：
是大的。对于日常生活中遇到的能量和时间尺度而言，这是成立的，但也可以通过取 来始终实现这一点，而这通常被称为“经典极限”。不过应当牢记，在这种极限下，经典行为从量子理论中涌现的方式可能是一种非常复杂的现象。
1.2.2 测量理论原理
上述公理刻画了量子理论的数学结构，但它们并未涉及“测量问题”。这个问题是：如何将此结构应用于一个与某种宏观的、人类尺度的实验装置相互作用的物理系统，该装置“测量”正在发生的情况。这是一个极为棘手的问题，原则上需要研究两个相互作用的量子系统（被测量的系统与测量装置），其整体状态不仅仅是两个状态的乘积，而是高度“纠缠”的（关于此术语的含义，见第9章）。由于宏观装置会涉及诸如个自由度，这个问题极难完全在量子力学框架内分析（例如需要在个变量中求解薛定谔方程）。
与其试图一般性地解决宏观经典物理行为如何在测量过程中涌现这一问题，人们可以采纳以下两条原则，作为对将会发生之事的现象学描述，而这些原则使人们能够利用量子理论作出精确的统计预测：
原理（可观测量）。若一个可观测量的值可由一个良定义的数来刻画，则这样的态是对应自伴算符的特征向量。可观测量在这样的态中的值将是一个实数，即该算符的特征值。
这一原理确定了我们有希望合理赋予标签（特征值）的那些状态，该标签在某些语境下对应于经典力学中刻画状态的可观测量。具有重要物理意义的可观测量（例如能量、动量、角动量或电荷）将对应于物理系统上的某种群作用。
原理（玻恩定则）。给定一个可观测量 以及两个单位范数态 和 ，它们是 的分别对应于不同特征值 和 的特征向量
复线性组合态
对于可观测量，将不具有良定义的值。若试图测量该可观测量，则将以一定的概率得到或，
和
分别。
玻恩规则有时被提升为该理论的一条公理，但可以合理预期，一旦充分理解了测量如何运作，它便能从上一节更为基本的公理中推导出来。然而，理解经典行为如何在实验中涌现是一个极具挑战性的课题，其中“退相干”的概念起着重要作用。关于详细讨论这些问题的参考文献，见本章末尾。
注意，态 与态 具有相同的特征值和概率，对任意复数 均如此。习惯上使用范数固定为值 1 的态，这固定了 的振幅，留下一个剩余的模糊性，即相位 。根据上述原理，该相位不会对计算得到的测量概率有贡献。然而，我们不会采取这样的观点，即这一相位信息可以被直接忽略。它在数学结构中起着重要作用，而且两个不同态的相对相位确实会影响测量概率。