单形（临时概念）

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原文用语：simplex；r-simplex；σ_r

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Nakahara · second-edition-local

• 引入：单形是多面体的构建单元：0-单形是点（顶点），1-单形是线（棱），2-单形是包含内部的三角形，3-单形是实心四面体；可继续到任意r-单形。为使r-单形表示r维对象，其顶点必须几何无关。
• 回指：${\sigma }_2=⟨p_0{p}_1{p}_2⟩$ 与 ${\sigma }_2^{\prime }=⟨p_2{p}_3{p}_0⟩$ 的交集 ${\sigma }_2\cap {\sigma }_2^{\prime }=⟨p_0⟩\cup ⟨p_2⟩$ 既不是空集也不是一个单形。
• 引入：对于 $r\ge 1$，可以给 $r$-单形指定定向；有向单形用 $(...)$ 表示，无向单形用 $⟨...⟩$ 表示，符号 ${\sigma }_r$ 同时用于两种类型。有向1-单形 ${\sigma }_1=(p_0{p}_1)$ 是沿 $p_0\to p_1$ 方向行进的有向线段。
• 引入：有向3-单形 ${\sigma }_3=(p_0{p}_1{p}_2{p}_3)$ 是四面体四个顶点的一个有序序列。对任意 $r\ge 1$，取 ${\mathbb{R}}^m$ 中 $r+1$ 个几何无关的点 $p_0,\dots ,p_r$；若排列 $P$ 为偶排列，则定义 $\{p_0,\dots ,p_r\}$ 与 $\{p_{i_0},\dots ,p_{i_r}\}$ 等价。该等价关系的等价类称为有向 $r$-单形。包含 $\{p_0,\dots ,p_r\}$ 的等价类记作 ${\sigma }_r=(p_0{p}_1\dots p_r)$，另一个记作 $-{\sigma }_r=-(p_0{p}_1\dots p_r)$。对于 $r=0$，形式地定义有向0-单形就是一个点 ${\sigma }_0=p_0$。
• 回指：有向1-单形 $(p_0{p}_1)$、$(p_0{p}_2)$、$(p_1{p}_2)$ 等是定向的1-单形；有向 $r$-单形 ${\sigma }_r(p_0\dots p_r)$（$r>0$）的边界是 $(r-1)$-链。

来源与记录

建立于 Nakahara · second-edition-local 的书内身份 c-68058304e7cb7cea80d0。

永久标识：urn:uuid:0f9cc23a-e447-4762-8553-d5aea419fd66；机器入库总览