Nakahara 第 3 章：同调群 · 机器入库陈述

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同调群

引入 · 同调群是欧拉示性数的精细化，且可由同调群读出欧拉示性数；其指导原则是找出没有边界、但本身不是某个区域边界的区域，这一原则被发展为同调群理论。

概念：同调群

原文（OCR，未逐页核实）

The homology groups are refinements, so to speak, of the Euler characteristic.

PDF 文件页：112；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0000；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

在拓扑不变量中，欧拉示性数是一个可以通过空间的“多面体化”而容易计算的量。同调群可以说是欧拉示性数的精细化。而且，我们可以容易地从同调群读出欧拉示性数。让我们看图3.1。在图 $3.1(a)$ 中，内部被包含在内，而在图 $3.1(b)$ 中则不然。我们如何刻画这一差别？一个明显的观察是，图 $3.1(a)$ 的三条边构成内部的边界，而图 $3.1(b)$ 的边则不构成（内部不是图 $3.1(b)$ 的一部分）。显然，两种情形下的边都构成一条闭路径（环路），没有边界。换言之，存在一个不是某个区域的边界的环路，意味着该环路内部存在一个洞。这就是我们在此对空间进行分类的指导原则：找出一个没有边界的区域，而它本身不是某个区域的边界。这一原则在数学上被发展为同调群理论。

后文使用：阿贝尔群。

阿贝尔群

引入 · 同调群背后的数学结构是有限生成阿贝尔群；本章中群运算记作 $+$，单位元记作0。

概念：阿贝尔群

原文（OCR，未逐页核实）

The mathematical structures underlying homology groups are finitely generated Abelian groups.

PDF 文件页：112；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0000；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

同调群背后的数学结构是有限生成阿贝尔群。在本章中，群运算记作 $+$，因为这里考虑的所有群都是阿贝尔群（交换群）。单位元记作0。

使用前文：同调群。模型判断为使用；原文：The mathematical structures underlying homology groups are finitely generated Abelian groups.

后文使用：阿贝尔群。

同态

引入 · 设 $G_1$ 和 $G_2$ 为阿贝尔群，映射 $f:G_1\to G_2$ 若满足 $f(x+y)=f(x)+f(y)$（对任意 $x,y\in G_1$）则称为同态；若 $f$ 还是双射则称为同构。

概念：群同态

原文（OCR，未逐页核实）

A map  $f: G_{1} \to G_{2}$  is said to be a homomorphism if

If  $f$  is also a bijection,  $f$  is called an isomorphism.

PDF 文件页：112；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0000；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

设 $G_1$ 和 $G_2$ 为阿贝尔群。若映射 $f:G_1\to G_2$ 满足

$$f(x+y)=f(x)+f(y)\text{\hspace{1em}(3.1)}$$

对任意 $x,y\in G_1$。若 $f$ 也是双射，则 $f$ 称为同构。若存在同构 $f:G_1\to G_2$，则称 $G_1$ 同构于 $G_2$，记作 $G_1\cong G_2$。例如，由下式定义的映射 $f:\mathbb{Z}\to {\mathbb{Z}}_2=\{0,1\}$

$$f(2n)=0f(2n+1)=1$$

是同态。事实上

$$f(2m+2n)=f(2(m+n))=0=0+0=f(2m)+f(2n)$$ $$\begin{array}{l}f(2m+1+2n+1)=f(2(m+n+1))=0=1+1\\ =f(2m+1)+f(2n+1)\end{array}$$

后文使用：同态。

同态

回指 · 映射 $f$ 是同态。

概念：群同态

原文（OCR，未逐页核实）

is a homomorphism.

PDF 文件页：113；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0011；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

设 $G_1$ 和 $G_2$ 为阿贝尔群。若映射 $f:G_1\to G_2$ 满足

$$f(x+y)=f(x)+f(y)\text{\hspace{1em}(3.1)}$$

对任意 $x,y\in G_1$。若 $f$ 也是双射，则 $f$ 称为同构。若存在同构 $f:G_1\to G_2$，则称 $G_1$ 同构于 $G_2$，记作 $G_1\cong G_2$。例如，由下式定义的映射 $f:\mathbb{Z}\to {\mathbb{Z}}_2=\{0,1\}$

$$f(2n)=0f(2n+1)=1$$

是同态。事实上

$$f(2m+2n)=f(2(m+n))=0=0+0=f(2m)+f(2n)$$ $$\begin{array}{l}f(2m+1+2n+1)=f(2(m+n+1))=0=1+1\\ =f(2m+1)+f(2n+1)\end{array}$$ $$\begin{array}{l}f(2m+1+2n)=f(2(m+n)+1)=1=1+0\\ =f(2m+1)+f(2n).\end{array}$$

若子集 $H\subset G$ 关于 $G$ 的群运算构成群，则称其为子群。例如，

使用前文：同态。模型判断为回指；原文：is a homomorphism.

后文使用：同态。

子群

引入 · 若子集 $H\subset G$ 关于 $G$ 的群运算构成群，则称其为子群。

概念：子群

原文（OCR，未逐页核实）

A subset  $H \subset G$  is a subgroup if it is a group with respect to the group operation of  $G$ .

PDF 文件页：113；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0018；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

是同态。事实上

$$f(2m+2n)=f(2(m+n))=0=0+0=f(2m)+f(2n)$$ $$\begin{array}{l}f(2m+1+2n+1)=f(2(m+n+1))=0=1+1\\ =f(2m+1)+f(2n+1)\end{array}$$ $$\begin{array}{l}f(2m+1+2n)=f(2(m+n)+1)=1=1+0\\ =f(2m+1)+f(2n).\end{array}$$

若子集 $H\subset G$ 关于 $G$ 的群运算构成群，则称其为子群。例如，

$$k\mathbb{Z}\equiv \{kn|n\in \mathbb{Z}\}k\in \mathbb{N}$$

是 $\mathbb{Z}$ 的子群，而 ${\mathbb{Z}}_2=\{0,1\}$ 不是。

后文使用：子群。

模H的等价关系

引入 · 设 $H$ 是 $G$ 的子群，若 $x-y\in H$ 则称 $x,y\in G$ 等价，记作 $x\sim y$；$\sim$ 是等价关系，$x$ 所属的等价类记作 $[x]$。

概念：模H的等价关系（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

We say  $x, y \in G$  are equivalent if

and write  $x \sim y$ . Clearly  $\sim$  is an equivalence relation. The equivalence class to which  $x$  belongs is denoted by  $[x]$ .

PDF 文件页：113；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0018；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

设 $H$ 是 $G$ 的子群。若 $x,y\in G$ 满足

$$x-y\in H\text{\hspace{1em}(3.2)}$$

则称它们等价，并记作 $x\sim y$。显然 $\sim$ 是等价关系。$x$ 所属的等价类记作 $[x]$。设 $G/H$ 为商空间。$G$ 中的群运算 $+$ 通过下式自然诱导出 $G/H$ 中的群运算 $+$：

$$[x]+[y]=[x+y].\text{\hspace{1em}(3.3)}$$

注意，左端的 $+$ 是 $G/H$ 中的运算，而右端的 $+$ 是 $G$ 中的运算。$G/H$ 中的运算应与代表元的选取无关。事实上，若 $[x^{\prime }]=[x]$、$[y^{\prime }]=[y]$，则对某个 $h,g\in H$ 有 $x-x^{\prime }=h$、$y-y^{\prime }=g$，并且我们发现

$$x^{\prime }+y^{\prime }=x+y-(h+g)\in [x+y]$$

此外，$G/H$ 在此运算下构成群，因为 $H$ 总是 $G$ 的正规子群；见例2.6。$G/H$ 的单位元是 $[0]=[h]$，

商群

引入 · 设 $H$ 是 $G$ 的子群，$G/H$ 为商空间；$G$ 中的群运算 $+$ 通过 $[x]+[y]=[x+y]$ 自然诱导出 $G/H$ 中的群运算 $+$，且 $G/H$ 在此运算下构成群，因为 $H$ 总是 $G$ 的正规子群。

概念：商群

原文（OCR，未逐页核实）

Let  $G / H$  be the quotient space. The group operation  $+$  in  $G$  naturally induces the group operation  $+$  in  $G / H$  by

Furthermore,  $G / H$  becomes a group with this operation, since  $H$  is always a normal subgroup of  $G$ ; see example 2.6.

PDF 文件页：113；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0018；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

设 $H$ 是 $G$ 的子群。若 $x,y\in G$ 满足

$$x-y\in H\text{\hspace{1em}(3.2)}$$

则称它们等价，并记作 $x\sim y$。显然 $\sim$ 是等价关系。$x$ 所属的等价类记作 $[x]$。设 $G/H$ 为商空间。$G$ 中的群运算 $+$ 通过下式自然诱导出 $G/H$ 中的群运算 $+$：

$$[x]+[y]=[x+y].\text{\hspace{1em}(3.3)}$$

注意，左端的 $+$ 是 $G/H$ 中的运算，而右端的 $+$ 是 $G$ 中的运算。$G/H$ 中的运算应与代表元的选取无关。事实上，若 $[x^{\prime }]=[x]$、$[y^{\prime }]=[y]$，则对某个 $h,g\in H$ 有 $x-x^{\prime }=h$、$y-y^{\prime }=g$，并且我们发现

$$x^{\prime }+y^{\prime }=x+y-(h+g)\in [x+y]$$

此外，$G/H$ 在此运算下构成群，因为 $H$ 总是 $G$ 的正规子群；见例2.6。$G/H$ 的单位元是 $[0]=[h]$，$h\in H$。若 $H=G$，则对任意 $x\in G$ 有 $0-x\in G$，且 $G/G$ 只有一个元素[0]。若 $H=\{0\}$，则 $G/H$ 就是 $G$ 本身，因为 $x-y=0$ 当且仅当 $x=y$。

后文使用：商群。

商群

回指 · 以 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 为例计算商群：偶数彼此等价，奇数彼此等价，偶数与奇数不属于同一等价类，故 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}=\{[0],[1]\}$。

概念：商群

原文（OCR，未逐页核实）

Let us work out the quotient group  $\mathbb{Z} / 2\mathbb{Z}$ .

PDF 文件页：114；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0029；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

例3.1。我们来计算商群 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$。对于偶数，我们有 $2n-2m=2(n-m)\in 2\mathbb{Z}$ 和 $[2m]=[2n]$。对于奇数，$(2n+1)-(2m+1)=2(n-m)\in 2\mathbb{Z}$ 和 $[2m+1]=[2n+1]$。偶数与奇数从不属于同一个等价类，因为 $2n-(2m+1)\notin 2\mathbb{Z}$。因此，可得

$$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}=\{[0],[1]\}.\text{\hspace{1em}(3.4)}$$

若我们通过 $\phi ([0])=0$ 和 $\phi ([1])=1$ 定义一个同构 $\phi :\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\to {\mathbb{Z}}_2$，则得到 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\cong {\mathbb{Z}}_2$。对于一般的 $k\in \mathbb{N}$，我们有

$$\mathbb{Z}/k\mathbb{Z}\cong {\mathbb{Z}}_k.\text{\hspace{1em}(3.5)}$$

引理3.1。设 $f:G_1\to G_2$ 为同态。则

使用前文：商群。模型判断为使用；原文：Let us work out the quotient group $\mathbb{Z} / 2\mathbb{Z}$ .

同态

回指 · 设 $f:G_1\to G_2$ 为同态，则 $\ker f$ 是 $G_1$ 的子群，$\mathrm{im}f$ 是 $G_2$ 的子群。

概念：群同态

原文（OCR，未逐页核实）

Let  $f: G_1 \to G_2$  be a homomorphism.

PDF 文件页：114；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0029；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

例3.1。我们来计算商群 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$。对于偶数，我们有 $2n-2m=2(n-m)\in 2\mathbb{Z}$ 和 $[2m]=[2n]$。对于奇数，$(2n+1)-(2m+1)=2(n-m)\in 2\mathbb{Z}$ 和 $[2m+1]=[2n+1]$。偶数与奇数从不属于同一个等价类，因为 $2n-(2m+1)\notin 2\mathbb{Z}$。因此，可得

$$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}=\{[0],[1]\}.\text{\hspace{1em}(3.4)}$$

若我们通过 $\phi ([0])=0$ 和 $\phi ([1])=1$ 定义一个同构 $\phi :\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\to {\mathbb{Z}}_2$，则得到 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\cong {\mathbb{Z}}_2$。对于一般的 $k\in \mathbb{N}$，我们有

$$\mathbb{Z}/k\mathbb{Z}\cong {\mathbb{Z}}_k.\text{\hspace{1em}(3.5)}$$

引理3.1。设 $f:G_1\to G_2$ 为同态。则(a) $\ker f=\{x|x\in G_1,f(x)=0\}$ 是 $G_1$ 的子群 (b) $\mathrm{im}f=\{x|x\in f(G_1)\subset G_2\}$ 是 $G_2$ 的子群证明。(a) 设 $x,y\in \ker f$。则 $x+y\in \ker f$，因为 $f(x+y)=f(x)+f(y)=0+0=0$。注意 $0\in \ker f$，因为 $f(0)=f(0)+f(0)$。我们还有 $-x\in \ker f$，因为 $f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x)=0$。

使用前文：同态。模型判断为使用；原文：Let $f: G_1 \to G_2$ be a homomorphism.

同态基本定理

引入 · 设 $f:G_1\to G_2$ 为同态，则 $G_1/\ker f\cong \mathrm{im}f$。

概念：同态基本定理（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

(Fundamental theorem of homomorphism) Let  $f: G_1 \to G_2$  be a homomorphism.

PDF 文件页：114；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0029；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

定理3.1。(同态基本定理) 设 $f:G_1\to G_2$ 为同态。则

$$G_1/\ker f\cong \mathrm{im}f.\text{\hspace{1em}(3.6)}$$

证明。根据引理3.1，两边都是群。通过 $\phi ([x])=f(x)$ 定义映射 $\phi :G_1/\ker f\to \mathrm{im}f$。该映射是良定义的，因为对于 $x^{\prime }\in [x]$，存在 $h\in \ker f$ 使得 $x^{\prime }=x+h$ 且 $f(x^{\prime })=f(x+h)=f(x)+f(h)=f(x)$。现在我们证明 $\phi$ 是同构。首先，$\phi$ 是同态，

$$\begin{array}{l}\phi ([x]+[y])=\phi ([x+y])=f(x+y)\\ =f(x)+f(y)=\phi ([x])+\phi ([y]).\end{array}$$

其次，$\phi$ 是一对一的：若 $\phi ([x])=\phi ([y])$，则 $f(x)=f(y)$ 或 $f(x)-f(y)=f(x-y)=0$。这表明 $x-y\in \ker f$ 且 $[x]=[y]$。最后，$\phi$ 是满射：若 $y\in \mathrm{im}f$，则存在 $x\in G_1$ 使得 $f(x)=y=\phi ([x])$。

阿贝尔群

回指 · 本节讨论有限生成阿贝尔群与自由阿贝尔群；群运算记作 $+$，单位元记作0。

概念：阿贝尔群

原文（OCR，未逐页核实）

Finitely generated Abelian groups and free Abelian groups

PDF 文件页：115；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0043；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

3.1.2 有限生成阿贝尔群与自由阿贝尔群

使用前文：阿贝尔群。模型判断为细化；原文：Finitely generated Abelian groups and free Abelian groups

有限生成

引入 · 若群 $G$ 本身由有限个元素 $x_1,\dots ,x_r$ 生成，则称 $G$ 是有限生成的。

概念：有限生成（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

If  $G$  itself is generated by finite elements  $x_{1},\ldots ,x_{r}$ ,  $G$  is said to be finitely generated.

PDF 文件页：115；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0043；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

以及

$$\underset{|n|}{\underbrace{(-x)+\cdots +(-x)}}(\text{i f}n<0).$$

若 $n=0$，我们规定 $0x=0$。取 $G$ 的 $r$ 个元素 $x_1,\dots ,x_r$。$G$ 中形如

$$n_1{x}_1+\cdots +n_r{x}_r(n_i\in \mathbb{Z},1\le i\le r)\text{\hspace{1em}(3.7)}$$

的元素构成 $G$ 的一个子群，我们记之为 $H$。$H$ 称为由生成元 $x_1,\dots ,x_r$ 生成的 $G$ 的子群。若 $G$ 本身由有限个元素 $x_1,\dots ,x_r$ 生成，则称 $G$ 是有限生成的。若 $n_1{x}_1+\cdots +n_r{x}_r=0$ 仅当 $n_1=\cdots =n_r=0$ 时成立，则称 $x_1,\dots ,x_r$ 线性无关。

自由阿贝尔群

引入 · 若 $G$ 由 $r$ 个线性无关的元素有限生成，则称 $G$ 为秩为 $r$ 的自由阿贝尔群。

概念：自由阿贝尔群（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

If  $G$  is finitely generated by  $r$  linearly independent elements,  $G$  is called a free Abelian group of rank  $r$ .

PDF 文件页：115；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0043；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

定义3.1。若 $G$ 由 $r$ 个线性无关的元素有限生成，则称 $G$ 为秩为 $r$ 的自由阿贝尔群。

后文使用：链群。

后文使用：链复形。

循环群

引入 · 若群 $G$ 由一个元素 $x$ 生成，即 $G=\{0,\pm x,\pm 2x,\dots \}$，则称 $G$ 为循环群；若对任意非零整数 $n$ 都有 $nx\ne 0$，则为无限循环群，若对某个非零整数 $n$ 有 $nx=0$，则为有限循环群。

概念：循环群（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

If  $G$  is generated by one element  $x$ ,  $G = \{0, \pm x, \pm 2x, \ldots\}$ ,  $G$  is called a cyclic group.

PDF 文件页：115；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0055；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

若 $G$ 由一个元素 $x$ 生成，$G=\{0,\pm x,\pm 2x,\dots \}$，则称 $G$ 为循环群。若对任意 $n\in \mathbb{Z}-\{0\}$ 都有 $nx\ne 0$，则它是无限循环群；而若对某个 $n\in \mathbb{Z}-\{0\}$ 有 $nx=0$，则它是有限循环群。设 $G$ 是由 $x$ 生成的循环群，并设 $f:\mathbb{Z}\to G$ 是由 $f(n)=nx$ 定义的同态。$f$ 将 $\mathbb{Z}$ 满射到 $G$ 上，但不一定是一对一的。由定理3.1，我们有 $G=\mathrm{im}f\cong \mathbb{Z}/\ker f$。设 $N$ 是使 $Nx=0$ 成立的最小正整数。显然

$$\ker f=\{0,\pm N,\pm 2N,\dots \}=N\mathbb{Z}\text{\hspace{1em}(3.8)}$$

并且我们有

$$G\cong \mathbb{Z}/N\mathbb{Z}\cong {\mathbb{Z}}_N.\text{\hspace{1em}(3.9)}$$

若 $G$ 是无限循环群，则 $\ker f=\{0\}$ 且 $G\cong \mathbb{Z}$。任何无限循环群都同构于 $\mathbb{Z}$，而有限循环群同构于某个 ${\mathbb{Z}}_N$。

引理3.2

引入 · 设 $G$ 是秩为 $r$ 的自由阿贝尔群，$H(\ne \varnothing )$ 是 $G$ 的子群，则总可以从 $G$ 的 $r$ 个生成元中选取 $p$ 个生成元 $x_1,\dots ,x_p$，使得 $k_1{x}_1,\dots ,k_p{x}_p$ 生成 $H$；于是 $H\cong k_1\mathbb{Z}\oplus \cdots \oplus k_p\mathbb{Z}$，且 $H$ 的秩为 $p$。

概念：引理3.2（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

Lemma 3.2. Let  $G$  be a free Abelian group of rank  $r$  and let  $H (\neq \emptyset)$  be a subgroup of  $G$ . We may always choose  $p$  generators  $x_{1},\ldots ,x_{p}$ , out of  $r$  generators of  $G$  so that  $k_{1}x_{1},\ldots ,k_{p}x_{p}$  generate  $H$ . Thus,  $H \cong k_1\mathbb{Z}\oplus \dots \oplus k_p\mathbb{Z}$  and  $H$  is of rank  $p$ .

PDF 文件页：116；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0055；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

引理3.2。设 $G$ 是秩为 $r$ 的自由阿贝尔群，并设 $H(\ne \varnothing )$ 是 $G$ 的子群。我们总可以从 $G$ 的 $r$ 个生成元中选取 $p$ 个生成元 $x_1,\dots ,x_p$，使得 $k_1{x}_1,\dots ,k_p{x}_p$ 生成 $H$。于是，$H\cong k_1\mathbb{Z}\oplus \cdots \oplus k_p\mathbb{Z}$，且 $H$ 的秩为 $p$。

后文使用：引理3.2。

有限生成阿贝尔群基本定理

引入 · 具有 $m$ 个生成元的有限生成阿贝尔群 $G$（不一定是自由的）同构于循环群的直和 $G\cong \underset{r}{\underbrace{\mathbb{Z}\oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}}}\oplus {\mathbb{Z}}_{k_1}\oplus \cdots \oplus {\mathbb{Z}}_{k_p}$，其中 $m=r+p$，$r$ 称为 $G$ 的秩。

概念：有限生成阿贝尔群基本定理（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

Theorem 3.2. (Fundamental theorem of finitely generated Abelian groups) Let  $G$  be a finitely generated Abelian group (not necessarily free) with  $m$  generators. Then  $G$  is isomorphic to the direct sum of cyclic groups,

where  $m = r + p$ . The number  $r$  is called the rank of  $G$ .

PDF 文件页：116；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0055；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

定理3.2。（有限生成阿贝尔群基本定理）设 $G$ 是具有 $m$ 个生成元的有限生成阿贝尔群（不一定是自由的）。则 $G$ 同构于循环群的直和，

$$G\cong \underset{r}{\underbrace{\mathbb{Z}\oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}}}\oplus {\mathbb{Z}}_{k_1}\oplus \cdots \oplus {\mathbb{Z}}_{k_p}\text{\hspace{1em}(3.10)}$$

其中 $m=r+p$。数 $r$ 称为 $G$ 的秩。

后文使用：有限生成阿贝尔群基本定理。

有限生成阿贝尔群基本定理

回指 · 定理3.1指出，对于由 $m$ 个元素生成的群 $G$，有 $\underset{m}{\underbrace{\mathbb{Z}\oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}}}/\ker f\cong G$。

概念：有限生成阿贝尔群基本定理（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

Theorem 3.1 states that

PDF 文件页：116；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0066；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

证明。设 $G$ 由 $m$ 个元素 $x_1,\dots ,x_m$ 生成，并设

$$f:\underset{m}{\underbrace{\mathbb{Z}\oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}}}\to G$$

为满同态，

$$f(n_1,\dots ,n_m)=n_1{x}_1+\cdots +n_m{x}_m.$$

定理3.1指出

$$\underset{m}{\underbrace{\mathbb{Z}\oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}}}/\ker f\cong G.$$

由于 $\ker f$ 是

$$\underset{m}{\underbrace{\mathbb{Z}\oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}}}$$

的子群，引理3.2断言，若适当选取生成元，则有

使用前文：有限生成阿贝尔群基本定理。模型判断为使用；原文：Theorem 3.1 states that

子群

回指 · $\ker f$ 是 $\underset{m}{\underbrace{\mathbb{Z}\oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}}}$ 的子群。

概念：子群

原文（OCR，未逐页核实）

Since  $\ker f$  is a subgroup of

PDF 文件页：116；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0066；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

为满同态，

$$f(n_1,\dots ,n_m)=n_1{x}_1+\cdots +n_m{x}_m.$$

定理3.1指出

$$\underset{m}{\underbrace{\mathbb{Z}\oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}}}/\ker f\cong G.$$

由于 $\ker f$ 是

$$\underset{m}{\underbrace{\mathbb{Z}\oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}}}$$

的子群，引理3.2断言，若适当选取生成元，则有

$$\ker f\cong k_1\mathbb{Z}\oplus \cdots \oplus k_p\mathbb{Z}.$$

我们最终得到

使用前文：子群。模型判断为使用；原文：Since $\ker f$ is a subgroup of

引理3.2

回指 · 引理3.2断言，若适当选取生成元，则 $\ker f\cong k_1\mathbb{Z}\oplus \cdots \oplus k_p\mathbb{Z}$。

概念：引理3.2（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

lemma 3.2 claims that if we choose the generators properly, we have

PDF 文件页：116；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0066；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

定理3.1指出

$$\underset{m}{\underbrace{\mathbb{Z}\oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}}}/\ker f\cong G.$$

由于 $\ker f$ 是

$$\underset{m}{\underbrace{\mathbb{Z}\oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}}}$$

的子群，引理3.2断言，若适当选取生成元，则有

$$\ker f\cong k_1\mathbb{Z}\oplus \cdots \oplus k_p\mathbb{Z}.$$

我们最终得到

$$\begin{array}{l}G\cong \underset{m}{\underbrace{\mathbb{Z}\oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}}}/\ker f\cong \underset{m}{\underbrace{\mathbb{Z}\oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}}}/(k_1\mathbb{Z}\oplus \cdots \oplus k_p\mathbb{Z})\\ \cong \underset{m-p}{\underbrace{\mathbb{Z}\oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}}}\oplus {\mathbb{Z}}_{k_1}\oplus \cdots \oplus {\mathbb{Z}}_{k_p}.\end{array}$$

使用前文：引理3.2。模型判断为使用；原文：lemma 3.2 claims that if we choose the generators properly, we have

单形

引入 · 单形是多面体的构建单元：0-单形是点（顶点），1-单形是线（棱），2-单形是包含内部的三角形，3-单形是实心四面体；可继续到任意r-单形。为使r-单形表示r维对象，其顶点必须几何无关。

概念：单形（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

Simplexes are building blocks of a polyhedron. A 0-simplex  $\langle p_0\rangle$  is a point, or a vertex, and a 1-simplex  $\langle p_0p_1\rangle$  is a line, or an edge.

PDF 文件页：117；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0078；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

单形是多面体的构建单元。0-单形 $⟨p_0⟩$ 是一个点，或一个顶点，1-单形 $⟨p_0{p}_1⟩$ 是一条线，或一条棱。2-单形 $⟨p_0{p}_1{p}_2⟩$ 定义为包含内部的三角形，3-单形 $⟨p_0{p}_1{p}_2{p}_3⟩$ 是一个实心四面体（图3.2）。通常将0-单形省略括号来记；$⟨p_0⟩$ 也可写作 $p_0$。容易将这一构造继续到任意 $r$-单形 $⟨p_0{p}_1\dots p_r⟩$。注意，为使 $r$-单形表示 $r$ 维对象，顶点 $p_i$ 必须几何无关，即没有 $(r-1)$ 维超平面包含全部 $r+1$ 个点。设 $p_0,\dots ,p_r$ 是 ${\mathbb{R}}^m$ 中几何无关的点，其中 $m\ge r$。$r$-单形 ${\sigma }_r=⟨p_0,\dots ,p_r⟩$ 表示为

$${\sigma }^r=\left\{x\in {\mathbb{R}}^m\mid x=\sum _{i=0}^r{c}_i{p}_i,c_i\ge 0,\sum _{i=0}^r{c}_i=1\right\}.\text{\hspace{1em}(3.11)}$$

$(c_0,\dots ,c_r)$ 称为 $x$ 的重心坐标。由于 ${\sigma }_r$ 是 ${\mathbb{R}}^m$ 的有界闭子集，它是紧致的。

后文使用：三角剖分。

后文使用：单形。

重心坐标

引入 · (c_0,…,c_r)称为x的重心坐标；σ_r是R

概念：重心坐标（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

$(c_0, \ldots, c_r)$  is called the barycentric coordinate of  $x$ .

PDF 文件页：117；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0078；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

单形是多面体的构建单元。0-单形 $⟨p_0⟩$ 是一个点，或一个顶点，1-单形 $⟨p_0{p}_1⟩$ 是一条线，或一条棱。2-单形 $⟨p_0{p}_1{p}_2⟩$ 定义为包含内部的三角形，3-单形 $⟨p_0{p}_1{p}_2{p}_3⟩$ 是一个实心四面体（图3.2）。通常将0-单形省略括号来记；$⟨p_0⟩$ 也可写作 $p_0$。容易将这一构造继续到任意 $r$-单形 $⟨p_0{p}_1\dots p_r⟩$。注意，为使 $r$-单形表示 $r$ 维对象，顶点 $p_i$ 必须几何无关，即没有 $(r-1)$ 维超平面包含全部 $r+1$ 个点。设 $p_0,\dots ,p_r$ 是 ${\mathbb{R}}^m$ 中几何无关的点，其中 $m\ge r$。$r$-单形 ${\sigma }_r=⟨p_0,\dots ,p_r⟩$ 表示为

$${\sigma }^r=\left\{x\in {\mathbb{R}}^m\mid x=\sum _{i=0}^r{c}_i{p}_i,c_i\ge 0,\sum _{i=0}^r{c}_i=1\right\}.\text{\hspace{1em}(3.11)}$$

$(c_0,\dots ,c_r)$ 称为 $x$ 的重心坐标。由于 ${\sigma }_r$ 是 ${\mathbb{R}}^m$ 的有界闭子集，它是紧致的。

面

引入 · 从r-单形的r+1个顶点中选取q+1个点所定义的q-单形称为该r-单形的q-面；若σ_q≠σ_r则称σ_q为σ_r的真面，记作σ_q<σ_r。0-单形没有真面。

概念：面（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

these  $q + 1$  points define a  $q$ -simplex  $\sigma_q = \langle p_{i_0}, \ldots, p_{i_q} \rangle$ , which is called a  $q$ -face of  $\sigma_r$ .

PDF 文件页：117；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0078；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

设 $q$ 是满足 $0\le q\le r$ 的整数。若我们从 $p_0,\dots ,p_r$ 中选取 $q+1$ 个点 $p_{i_0},\dots ,p_{i_q}$，这 $q+1$ 个点定义一个 $q$-单形 ${\sigma }_q=⟨p_{i_0},\dots ,p_{i_q}⟩$，称为 ${\sigma }_r$ 的 $q$-面。若 ${\sigma }_q$ 是 ${\sigma }_r$ 的面，我们记作 ${\sigma }_q\le {\sigma }_r$。若 ${\sigma }_q\ne {\sigma }_r$，我们说 ${\sigma }_q$ 是 ${\sigma }_r$ 的真面，记作 ${\sigma }_q<{\sigma }_r$。图3.3展示了3-单形 $⟨p_0{p}_1{p}_2{p}_3⟩$ 的一个0-面 $p_0$ 和一个2-面 $⟨p_1{p}_2{p}_3⟩$。共有1个3-面、4个2-面、6个1-面和4个0-面。读者应验证 $r$-单形中 $q$-面的数目为 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{r+1}{q+1}\right)$。0-单形定义为没有真面。

单纯复形

引入 · 设 $K$ 是 ${\mathbb{R}}^m$ 中有限个单形构成的集合。若这些单形很好地拼合在一起，即(i) $K$ 中任一单形的任意面都属于 $K$；(ii) $K$ 中两个单形的交集要么为空，要么是它们的公共面，则称 $K$ 为单纯复形。

概念：单纯复形（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

Let  $K$  be a set of finite number of simplexes in  $\mathbb{R}^m$ . If these simplexes are nicely fitted together,  $K$  is called a simplicial complex.

(i) an arbitrary face of a simplex of  $K$  belongs to  $K$ , that is, if  $\sigma \in K$  and  $\sigma' \leq \sigma$  then  $\sigma' \in K$ ; and
(ii) if  $\sigma$  and  $\sigma'$  are two simplexes of  $K$ , the intersection  $\sigma \cap \sigma'$  is either empty or a common face of  $\sigma$  and  $\sigma'$ , that is, if  $\sigma, \sigma' \in K$  then either  $\sigma \cap \sigma' = \emptyset$  or  $\sigma \cap \sigma' \leq \sigma$  and  $\sigma \cap \sigma' \leq \sigma'$ .

PDF 文件页：118；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0090；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

设 $K$ 是 ${\mathbb{R}}^m$ 中有限个单形构成的集合。若这些单形很好地拼合在一起，则称 $K$ 为单纯复形。所谓“很好地”是指：(i) $K$ 中任一单形的任意面都属于 $K$，即若 $\sigma \in K$ 且 ${\sigma }^{\prime }\le \sigma$，则 ${\sigma }^{\prime }\in K$；以及 (ii) 若 $\sigma$ 与 ${\sigma }^{\prime }$ 是 $K$ 中的两个单形，则交集 $\sigma \cap {\sigma }^{\prime }$ 要么为空，要么是 $\sigma$ 与 ${\sigma }^{\prime }$ 的公共面，即若 $\sigma ,{\sigma }^{\prime }\in K$，则要么 $\sigma \cap {\sigma }^{\prime }=\varnothing$，要么 $\sigma \cap {\sigma }^{\prime }\le \sigma$ 且 $\sigma \cap {\sigma }^{\prime }\le {\sigma }^{\prime }$。

后文使用：链复形。

多面体

引入 · 单纯复形 $K$ 是一个集合，其元素为单形。若将每个单形视为 ${\mathbb{R}}^m$ 的子集（$m\ge \dim K$），则所有单形的并集成为 ${\mathbb{R}}^m$ 的一个子集。这个子集称为单纯复形 $K$ 的多面体 $|K|$。$|K|$ 作为 ${\mathbb{R}}^m$ 的子集的维数与 $K$ 的维数相同；$\dim |K|=\dim K$。

概念：多面体（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

A simplicial complex  $K$  is a set whose elements are simplexes. If each simplex is regarded as a subset of  $\mathbb{R}^m$  ( $m \geq \dim K$ ), the union of all the simplexes becomes a subset of  $\mathbb{R}^m$ . This subset is called the polyhedron  $|K|$  of a simplicial complex  $K$ . The dimension of  $|K|$  as a subset of  $\mathbb{R}^m$  is the same as that of  $K$ ;  $\dim |K| = \dim K$ .

PDF 文件页：119；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0090；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

例3.4。设 ${\sigma }_r$ 为一个 $r$-单形，$K=\{{\sigma }^{\prime }|{\sigma }^{\prime }\le {\sigma }_r\}$ 为 ${\sigma }_r$ 的面的集合。$K$ 是一个 $r$ 维单纯复形。例如，取 ${\sigma }_3=⟨p_0{p}_1{p}_2{p}_3⟩$（图3.3）。则

$$\begin{array}{l}K=\{p_0,p_1,p_2,p_3,⟨p_0{p}_1⟩,⟨p_0{p}_2⟩,⟨p_0{p}_3⟩,\\ ⟨p_1{p}_2⟩,⟨p_1{p}_3⟩,⟨p_2{p}_3⟩,⟨p_0{p}_1{p}_2⟩,⟨p_0{p}_1{p}_3⟩,\\ ⟨p_0{p}_2{p}_3⟩,⟨p_1{p}_2{p}_3⟩,⟨p_0{p}_1{p}_2{p}_3⟩\}.\end{array}\text{\hspace{1em}(3.12)}$$

单纯复形 $K$ 是一个集合，其元素为单形。若将每个单形视为 ${\mathbb{R}}^m$ 的子集（$m\ge \dim K$），则所有单形的并集成为 ${\mathbb{R}}^m$ 的一个子集。这个子集称为单纯复形 $K$ 的多面体 $|K|$。$|K|$ 作为 ${\mathbb{R}}^m$ 的子集的维数与 $K$ 的维数相同；$\dim |K|=\dim K$。

可三角剖分空间

引入 · 设 $X$ 为拓扑空间。若存在单纯复形 $K$ 和同胚 $f:|K|\to X$，则称 $X$ 可三角剖分，并称对 $(K,f)$ 为 $X$ 的一个三角剖分。给定拓扑空间 $X$，其三角剖分远非唯一。

概念：可三角剖分空间（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

Let  $X$  be a topological space. If there exists a simplicial complex  $K$  and a homeomorphism  $f: |K| \to X$ ,  $X$  is said to be triangulable and the pair  $(K, f)$  is called a triangulation of  $X$ . Given a topological space  $X$ , its triangulation is far from unique.

PDF 文件页：119；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0090；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

设 $X$ 为拓扑空间。若存在单纯复形 $K$ 和同胚 $f:|K|\to X$，则称 $X$ 可三角剖分，并称对 $(K,f)$ 为 $X$ 的一个三角剖分。给定拓扑空间 $X$，其三角剖分远非唯一。我们将只关注可三角剖分的空间。

后文使用：三角剖分。

后文使用：单形。

单形

回指 · ${\sigma }_2=⟨p_0{p}_1{p}_2⟩$ 与 ${\sigma }_2^{\prime }=⟨p_2{p}_3{p}_0⟩$ 的交集 ${\sigma }_2\cap {\sigma }_2^{\prime }=⟨p_0⟩\cup ⟨p_2⟩$ 既不是空集也不是一个单形。

概念：单形（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

for  $\sigma_2 = \langle p_0p_1p_2\rangle$  and  $\sigma_2' = \langle p_2p_3p_0\rangle$ , we find  $\sigma_2 \cap \sigma_2' = \langle p_0\rangle \cup \langle p_2\rangle$ , which is neither empty nor a simplex.

PDF 文件页：119；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0102；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

例3.5。图 $3.5(a)$ 是圆柱面 $S^1\times [0,1]$ 的一个三角剖分。读者可能会认为存在更简单的选择，例如图 $3.5(b)$。然而，这并不是一个三角剖分，因为对于 ${\sigma }_2=⟨p_0{p}_1{p}_2⟩$ 和 ${\sigma }_2^{\prime }=⟨p_2{p}_3{p}_0⟩$，我们得到 ${\sigma }_2\cap {\sigma }_2^{\prime }=⟨p_0⟩\cup ⟨p_2⟩$，它既不是空集也不是一个单形。

使用前文：可三角剖分空间。模型判断为使用；原文：Figure $3.5(a)$ is a triangulation of a cylinder $S^1 \times [0,1]$ .

使用前文：单形。模型判断为使用；原文：for $\sigma_2 = \langle p_0p_1p_2\rangle$ and $\sigma_2' = \langle p_2p_3p_0\rangle$ , we find $\sigma_2 \cap \sigma_2' = \langle p_0\rangle \cup \langle p_2\rangle$ , which is neither empty nor a simplex.

后文使用：有向单形。

三角剖分

回指 · 图3.5(a)是圆柱面 $S^1\times [0,1]$ 的一个三角剖分；图3.5(b)不是三角剖分，因为对于 ${\sigma }_2=⟨p_0{p}_1{p}_2⟩$ 和 ${\sigma }_2^{\prime }=⟨p_2{p}_3{p}_0⟩$，有 ${\sigma }_2\cap {\sigma }_2^{\prime }=⟨p_0⟩\cup ⟨p_2⟩$，它既不是空集也不是一个单形。

概念：可三角剖分空间（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

Figure  $3.5(a)$  is a triangulation of a cylinder  $S^1 \times [0,1]$ .

PDF 文件页：119；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0102；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

例3.5。图 $3.5(a)$ 是圆柱面 $S^1\times [0,1]$ 的一个三角剖分。读者可能会认为存在更简单的选择，例如图 $3.5(b)$。然而，这并不是一个三角剖分，因为对于 ${\sigma }_2=⟨p_0{p}_1{p}_2⟩$ 和 ${\sigma }_2^{\prime }=⟨p_2{p}_3{p}_0⟩$，我们得到 ${\sigma }_2\cap {\sigma }_2^{\prime }=⟨p_0⟩\cup ⟨p_2⟩$，它既不是空集也不是一个单形。

使用前文：可三角剖分空间。模型判断为使用；原文：Figure $3.5(a)$ is a triangulation of a cylinder $S^1 \times [0,1]$ .

使用前文：单形。模型判断为使用；原文：for $\sigma_2 = \langle p_0p_1p_2\rangle$ and $\sigma_2' = \langle p_2p_3p_0\rangle$ , we find $\sigma_2 \cap \sigma_2' = \langle p_0\rangle \cup \langle p_2\rangle$ , which is neither empty nor a simplex.

后文使用：拓扑空间的同调群。

后文使用：$S^1$ 的同调群。

有向单形

引入 · 对于 $r\ge 1$，可以给 $r$-单形指定定向；有向单形用 $(...)$ 表示，无向单形用 $⟨...⟩$ 表示，符号 ${\sigma }_r$ 同时用于两种类型。有向1-单形 ${\sigma }_1=(p_0{p}_1)$ 是沿 $p_0\to p_1$ 方向行进的有向线段。

概念：单形（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

We may assign orientations to an  $r$ -simplex for  $r \geq 1$ . Instead of  $\langle . . . \rangle$  for an unoriented simplex, we will use  $(. . .)$  to denote an oriented simplex.

PDF 文件页：119；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0103；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

对于 $r\ge 1$，我们可以给 $r$-单形指定定向。对于无向单形，我们用 $⟨...⟩$ 表示；而对于有向单形，我们将用 $(...)$ 表示。符号 ${\sigma }_r$ 用于表示这两种类型的单形。一个有向1-单形 ${\sigma }_1=(p_0{p}_1)$ 是沿方向 $p_0\to p_1$ 行进的有向线段（图3.6(a)）。现在 $(p_0{p}_1)$ 应与 $(p_1{p}_0)$ 区分开来。我们要求

$$(p_0{p}_1)=-(p_1{p}_0).\text{\hspace{1em}(3.13)}$$

这里 $(p_1{p}_0)$ 前面的 $-$ 应在有限生成阿贝尔群的意义下理解。事实上，$(p_1{p}_0)$ 被视为 $(p_0{p}_1)$ 的逆元。从 $p_0$ 到 $p_1$，接着从 $p_1$ 到 $p_0$，意味着没有移动，即 $(p_0{p}_1)+(p_1{p}_0)=0$，因此 $-(p_1{p}_0)=(p_0{p}_1)$。

使用前文：单形。模型判断为细化；原文：We may assign orientations to an $r$ -simplex for $r \geq 1$ .

后文使用：有向单形。

有向单形的定向关系

推导 · $(p_0{p}_1)$ 应与 $(p_1{p}_0)$ 区分，且 $(p_0{p}_1)=-(p_1{p}_0)$，其中负号在有限生成阿贝尔群的意义下理解，$(p_1{p}_0)$ 是 $(p_0{p}_1)$ 的逆元。类似地，$(p_0{p}_1{p}_2)=(p_2{p}_0{p}_1)=(p_1{p}_2{p}_0)=-(p_0{p}_2{p}_1)=-(p_2{p}_1{p}_0)=-(p_1{p}_0{p}_2)$。

概念：有向单形的定向关系（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

$(p_0p_1)$  should be distinguished from  $(p_1p_0)$ . We require that

Observe that the orientation given by  $p_0p_1p_2$  is the same as that given by  $p_2p_0p_1$  or  $p_1p_2p_0$  but opposite to  $p_0p_2p_1$ ,  $p_2p_1p_0$  or  $p_1p_0p_2$ .

PDF 文件页：120；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0103；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

对于 $r\ge 1$，我们可以给 $r$-单形指定定向。对于无向单形，我们用 $⟨...⟩$ 表示；而对于有向单形，我们将用 $(...)$ 表示。符号 ${\sigma }_r$ 用于表示这两种类型的单形。一个有向1-单形 ${\sigma }_1=(p_0{p}_1)$ 是沿方向 $p_0\to p_1$ 行进的有向线段（图3.6(a)）。现在 $(p_0{p}_1)$ 应与 $(p_1{p}_0)$ 区分开来。我们要求

$$(p_0{p}_1)=-(p_1{p}_0).\text{\hspace{1em}(3.13)}$$

这里 $(p_1{p}_0)$ 前面的 $-$ 应在有限生成阿贝尔群的意义下理解。事实上，$(p_1{p}_0)$ 被视为 $(p_0{p}_1)$ 的逆元。从 $p_0$ 到 $p_1$，接着从 $p_1$ 到 $p_0$，意味着没有移动，即 $(p_0{p}_1)+(p_1{p}_0)=0$，因此 $-(p_1{p}_0)=(p_0{p}_1)$。

类似地，一个有向2-单形 ${\sigma }_2=(p_0{p}_1{p}_2)$ 是一个三角形区域 $p_0{p}_1{p}_2$，其边缘具有指定的定向（图3.6(b)）。注意，由 $p_0{p}_1{p}_2$ 给出的定向与由 $p_2{p}_0{p}_1$ 或 $p_1{p}_2{p}_0$ 给出的定向相同，但与 $p_0{p}_2{p}_1$、$p_2{p}_1{p}_0$ 或 $p_1{p}_0{p}_2$ 给出的定向相反。我们要求

$$\begin{array}{l}(p_0{p}_1{p}_2)=(p_2{p}_0{p}_1)=(p_1{p}_2{p}_0)\\ =-\left(p_0{p}_2{p}_1\right)=-\left(p_2{p}_1{p}_0\right)=-\left(p_1{p}_0{p}_2\right).\end{array}$$

设 $P$ 为0、1、2的一个排列

$$P=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 2\\ i& j& k\end{array}\right).$$

这些关系总结为

排列符号关系

推导 · 设 $P$ 为0、1、2的排列，则 $(p_i{p}_j{p}_k)=\mathrm{sgn}(P)(p_0{p}_1{p}_2)$，其中若 $P$ 为偶排列则 $\mathrm{sgn}(P)=+1$，若为奇排列则 $\mathrm{sgn}(P)=-1$。

概念：排列符号关系（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

where  $\operatorname{sgn}(P) = +1$  ( $-1$ ) if  $P$  is an even (odd) permutation.

PDF 文件页：121；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0103；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

设 $P$ 为0、1、2的一个排列

$$P=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 2\\ i& j& k\end{array}\right).$$

这些关系总结为

$$(p_i{p}_j{p}_k)=\mathrm{sgn}(P)(p_0{p}_1{p}_2)$$

其中若 $P$ 为偶（奇）排列，则 $\mathrm{sgn}(P)=+1$（$-1$）。

有向单形

引入 · 有向3-单形 ${\sigma }_3=(p_0{p}_1{p}_2{p}_3)$ 是四面体四个顶点的一个有序序列。对任意 $r\ge 1$，取 ${\mathbb{R}}^m$ 中 $r+1$ 个几何无关的点 $p_0,\dots ,p_r$；若排列 $P$ 为偶排列，则定义 $\{p_0,\dots ,p_r\}$ 与 $\{p_{i_0},\dots ,p_{i_r}\}$ 等价。该等价关系的等价类称为有向 $r$-单形。包含 $\{p_0,\dots ,p_r\}$ 的等价类记作 ${\sigma }_r=(p_0{p}_1\dots p_r)$，另一个记作 $-{\sigma }_r=-(p_0{p}_1\dots p_r)$。对于 $r=0$，形式地定义有向0-单形就是一个点 ${\sigma }_0=p_0$。

概念：单形（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

An oriented 3-simplex  $\sigma_3 = (p_0p_1p_2p_3)$  is an ordered sequence of four vertices of a tetrahedron.

It is now easy to construct an oriented  $r$ -simplex for any  $r \geq 1$ .

Clearly this is an equivalence relation, the equivalence class of which is called an oriented  $r$ -simplex.

PDF 文件页：121；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0124；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

有向3-单形 ${\sigma }_3=(p_0{p}_1{p}_2{p}_3)$ 是四面体四个顶点的一个有序序列。令

$$P=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 2& 3\\ i& j& k& l\end{array}\right)$$

为一个排列。我们定义

$$\left(p_i{p}_j{p}_k{p}_l\right)=\mathrm{sgn}(P)\left(p_0{p}_1{p}_2{p}_3\right).$$

现在容易对任意 $r$ 构造一个有向 $r\ge 1$ -单形。形式定义如下。取 $r+1$ 个几何无关的点 $p_0,p_1,\dots ,p_r$ 在 ${\mathbb{R}}^m$ 中。令 $\{p_{i_0},p_{i_1},\dots ,p_{i_r}\}$ 为通过对点 $p_0,\dots ,p_r$ 作排列而得到的一个点序列。若 $\{p_0,\dots ,p_r\}$ 与 $\{p_{i_0},\dots ,p_{i_r}\}$ 是偶排列，我们定义它们等价。显然这是一个等价关系，其等价类称为有向 $r$ -单形。有两个等价类，一个由 $p_0,\dots ,p_r$ 的偶排列组成，另一个由奇排列组成。包含 $\{p_0,\dots ,p_r\}$ 的等价类（有向 $r$ -单形）记作 ${\sigma }_r=(p_0{p}_1\dots p_r)$，而另一个记作 $-{\sigma }_r=-(p_0{p}_1\dots p_r)$。换言之，

$$P=\left(\begin{array}{llll}0& 1& \dots & r\\ i_0& i_1& \dots & i_r\end{array}\right)$$ $$\left(p_{i_0}{p}_{i_1}\dots p_{i_r}\right)=\mathrm{sgn}(P)\left(p_0{p}_1\dots p_r\right).\text{\hspace{1em}(3.14)}$$

对于 $r=0$，我们形式地定义有向0-单形就是一个点 ${\sigma }_0=p_0$。

使用前文：有向单形。模型判断为细化；原文：An oriented 3-simplex $\sigma_3 = (p_0p_1p_2p_3)$ is an ordered sequence of four vertices of a tetrahedron.

后文使用：有向单形。

链群

引入 · 单纯复形 $K$ 的 $r$-链群 $C_r(K)$ 是由 $K$ 的有向 $r$-单形生成的自由阿贝尔群。若 $r>\dim K$，则定义 $C_r(K)$ 为0。$C_r(K)$ 的元素称为 $r$-链。

概念：链群（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

The  $r$ -chain group  $C_r(K)$  of a simplicial complex  $K$  is a free Abelian group generated by the oriented  $r$ -simplexes of  $K$ .

PDF 文件页：121；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0124；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

定义3.2。单纯复形 $K$ 的 $r$-链群 $C_r(K)$ 是由 $K$ 的有向 $r$-单形生成的自由阿贝尔群。若 $r>\dim K$，则定义 $C_r(K)$ 为0。$C_r(K)$ 的元素称为 $r$-链。

使用前文：自由阿贝尔群。模型判断为使用；原文：is a free Abelian group generated by the oriented $r$ -simplexes of $K$ .

后文使用：链群。

链群

回指 · $C_r(K)$ 中的元素 $c$ 可表示为 $c={\sum }_{i=1}^{I_r}{c}_i{\sigma }_{r,i}$，其中 $c_i\in \mathbb{Z}$，${\sigma }_{r,i}$ 为 $K$ 中的有向 $r$-单形。

概念：链群（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

Then  $c \in C_r(K)$  is expressed as

PDF 文件页：121；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0136；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

设 $K$ 中有 $I_r$ 个 $r$-单形。我们将其中每一个记作 ${\sigma }_{r,i}$（$1\le i\le I_r$）。于是 $c\in C_r(K)$ 表示为

$$c=\sum _{i=1}^{I_r}{c}_i{\sigma }_{r,i}{c}_i\in \mathbb{Z}.\text{\hspace{1em}(3.15)}$$

整数 $c_i$ 称为 $c$ 的系数。群结构如下给出。两个 $r$-链 $c={\sum }_i{c}_i{\sigma }_{r,i}$ 与 $c^{\prime }={\sum }_i{c}_i^{\prime }{\sigma }_{r,i}$ 的加法为

$$c+c^{\prime }=\sum _i\left(c_i+c_i^{\prime }\right){\sigma }_{r,i}.\text{\hspace{1em}(3.16)}$$

单位元是 $0={\sum }_{i}0\cdot {\sigma }_{r,i}$，而 $c$ 的逆元是 $-c={\sum }_i(-c_i){\sigma }_{r,i}$。[注：反向定向的 $r$-单形 $-{\sigma }_r$ 等同于 $(-1){\sigma }_r\in C_r(K)$。]因此，$C_r(K)$ 是秩为 $I_r$ 的自由阿贝尔群，

使用前文：链群。模型判断为使用；原文：Then $c \in C_r(K)$ is expressed as

边界算子

引入 · $r$-单形 ${\sigma }_r$ 的边界记作 ${\partial }_r{\sigma }_r$；${\partial }_r$ 是作用于 ${\sigma }_r$ 以产生其边界的算子。0-单形没有边界，故定义 ${\partial }_0{p}_0=0$。

概念：边界算子（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

Let us denote the boundary of an  $r$ -simplex  $\sigma_r$  by  $\partial_r\sigma_r$ .  $\partial_r$  should be understood as an operator acting on  $\sigma_r$  to produce its boundary.

PDF 文件页：122；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0136；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

整数 $c_i$ 称为 $c$ 的系数。群结构如下给出。两个 $r$-链 $c={\sum }_i{c}_i{\sigma }_{r,i}$ 与 $c^{\prime }={\sum }_i{c}_i^{\prime }{\sigma }_{r,i}$ 的加法为

$$c+c^{\prime }=\sum _i\left(c_i+c_i^{\prime }\right){\sigma }_{r,i}.\text{\hspace{1em}(3.16)}$$

单位元是 $0={\sum }_{i}0\cdot {\sigma }_{r,i}$，而 $c$ 的逆元是 $-c={\sum }_i(-c_i){\sigma }_{r,i}$。[注：反向定向的 $r$-单形 $-{\sigma }_r$ 等同于 $(-1){\sigma }_r\in C_r(K)$。]因此，$C_r(K)$ 是秩为 $I_r$ 的自由阿贝尔群，

$$C_r(K)\cong \underset{I_r}{\underbrace{\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}\oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}}}.\text{\hspace{1em}(3.17)}$$

在定义循环群和边界群之前，我们需要引入边界算子。让我们把 $r$-单形 ${\sigma }_r$ 的边界记作 ${\partial }_r{\sigma }_r$。${\partial }_r$ 应被理解为一个作用于 ${\sigma }_r$ 以产生其边界的算子。这一观点将在后面详细阐述。让我们看看低维单形的边界。由于0-单形没有边界，我们定义

$${\partial }_0{p}_0=0.\text{\hspace{1em}(3.18)}$$

对于1-单形 $(p_0{p}_1)$，我们定义

$${\partial }_1\left(p_0{p}_1\right)=p_1-p_0.\text{\hspace{1em}(3.19)}$$

读者可能会问，$p_0$ 前面为什么会出现一个负号。这同样与定向有关。下面的例子将说明这一点。在图3.7(a)中，一个有向1-单形 $(p_0{p}_2)$ 被分成两个，$(p_0{p}_1)$ 和 $(p_1{p}_2)$。我们约定 $(p_0{p}_2)$ 的边界是 $\{p_0\}\cup \{p_2\}$，因此 $(p_0{p}_1)+(p_1{p}_2)$ 的边界也应当如此。如果把 ${\partial }_1(p_0{p}_2)$ 定义为 $p_0+p_2$，我们就会得到 ${\partial }_1(p_0{p}_1)+{\partial }_1(p_1{p}_2)=p_0+p_1+p_1+p_2$。这是不可取的，因为 $p_1$ 是一个虚构边界。相反，如果取 ${\partial }_1(p_0{p}_2)=p_2-p_0$，我们就会如预期那样得到 ${\partial }_1(p_0{p}_1)+{\partial }_1(p_1{p}_2)=p_1-p_0+p_2-p_1=p_2-p_0$。下一个例子是图3.7(b)中的三角形。它是三个有向1-单形之和，

后文使用：边界算子。

后文使用：有向单形。

边界定向符号规则

推导 · 由1-单形边界的例子可知：若省略第一个顶点则取正号，若省略第二个顶点则取负号；这一规则用于定义一般 $r$-单形的边界。

概念：边界定向符号规则（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

Hence, we put a plus sign if the first vertex is omitted and a minus sign if the second is omitted. We employ this fact to define the boundary of a general  $r$ -simplex.

PDF 文件页：123；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0147；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

$(p_0{p}_1)+(p_1{p}_2)+(p_2{p}_0)$。我们约定它没有边界。如果我们坚持规则 ${\partial }_1(p_0{p}_1)=p_0+p_1$，我们就会得到

$${\partial }_1\left(p_0{p}_1\right)+{\partial }_1\left(p_1{p}_2\right)+{\partial }_1\left(p_2{p}_0\right)=p_0+p_1+p_1+p_2+p_2+p_0$$

这与我们的直觉相矛盾。另一方面，如果取 ${\partial }_1(p_0{p}_1)=p_1-p_0$，我们就有

$${\partial }_1\left(p_0{p}_1\right)+{\partial }_1\left(p_1{p}_2\right)+{\partial }_1\left(p_2{p}_0\right)=p_1-p_0+p_2-p_1+p_0-p_2=0$$

如预期那样。因此，如果省略第一个顶点，我们就放一个正号；如果省略第二个顶点，就放一个负号。我们利用这一事实来定义一般 $r$-单形的边界。

有向单形

回指 · 有向1-单形 $(p_0{p}_1)$、$(p_0{p}_2)$、$(p_1{p}_2)$ 等是定向的1-单形；有向 $r$-单形 ${\sigma }_r(p_0\dots p_r)$（$r>0$）的边界是 $(r-1)$-链。

概念：单形（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

For a 1-simplex  $(p_0p_1)$ , we define

Let  $\sigma_r(p_0\ldots p_r)$  ( $r > 0$ ) be an oriented  $r$ -simplex.

PDF 文件页：122, 123；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0147；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

单位元是 $0={\sum }_{i}0\cdot {\sigma }_{r,i}$，而 $c$ 的逆元是 $-c={\sum }_i(-c_i){\sigma }_{r,i}$。[注：反向定向的 $r$-单形 $-{\sigma }_r$ 等同于 $(-1){\sigma }_r\in C_r(K)$。]因此，$C_r(K)$ 是秩为 $I_r$ 的自由阿贝尔群，

$$C_r(K)\cong \underset{I_r}{\underbrace{\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}\oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}}}.\text{\hspace{1em}(3.17)}$$

在定义循环群和边界群之前，我们需要引入边界算子。让我们把 $r$-单形 ${\sigma }_r$ 的边界记作 ${\partial }_r{\sigma }_r$。${\partial }_r$ 应被理解为一个作用于 ${\sigma }_r$ 以产生其边界的算子。这一观点将在后面详细阐述。让我们看看低维单形的边界。由于0-单形没有边界，我们定义

$${\partial }_0{p}_0=0.\text{\hspace{1em}(3.18)}$$

对于1-单形 $(p_0{p}_1)$，我们定义

$${\partial }_1\left(p_0{p}_1\right)=p_1-p_0.\text{\hspace{1em}(3.19)}$$

读者可能会问，$p_0$ 前面为什么会出现一个负号。这同样与定向有关。下面的例子将说明这一点。在图3.7(a)中，一个有向1-单形 $(p_0{p}_2)$ 被分成两个，$(p_0{p}_1)$ 和 $(p_1{p}_2)$。我们约定 $(p_0{p}_2)$ 的边界是 $\{p_0\}\cup \{p_2\}$，因此 $(p_0{p}_1)+(p_1{p}_2)$ 的边界也应当如此。如果把 ${\partial }_1(p_0{p}_2)$ 定义为 $p_0+p_2$，我们就会得到 ${\partial }_1(p_0{p}_1)+{\partial }_1(p_1{p}_2)=p_0+p_1+p_1+p_2$。这是不可取的，因为 $p_1$ 是一个虚构边界。相反，如果取 ${\partial }_1(p_0{p}_2)=p_2-p_0$，我们就会如预期那样得到 ${\partial }_1(p_0{p}_1)+{\partial }_1(p_1{p}_2)=p_1-p_0+p_2-p_1=p_2-p_0$。下一个例子是图3.7(b)中的三角形。它是三个有向1-单形之和，$(p_0{p}_1)+(p_1{p}_2)+(p_2{p}_0)$。我们约定它没有边界。如果我们坚持规则 ${\partial }_1(p_0{p}_1)=p_0+p_1$，我们就会得到

$${\partial }_1\left(p_0{p}_1\right)+{\partial }_1\left(p_1{p}_2\right)+{\partial }_1\left(p_2{p}_0\right)=p_0+p_1+p_1+p_2+p_2+p_0$$

这与我们的直觉相矛盾。另一方面，如果取 ${\partial }_1(p_0{p}_1)=p_1-p_0$，我们就有

$${\partial }_1\left(p_0{p}_1\right)+{\partial }_1\left(p_1{p}_2\right)+{\partial }_1\left(p_2{p}_0\right)=p_1-p_0+p_2-p_1+p_0-p_2=0$$

如预期那样。因此，如果省略第一个顶点，我们就放一个正号；如果省略第二个顶点，就放一个负号。我们利用这一事实来定义一般 $r$-单形的边界。

设 ${\sigma }_r(p_0\dots p_r)$（$r>0$）为一个有向 $r$-单形。${\sigma }_r$ 的边界 ${\partial }_r{\sigma }_r$ 是由下式定义的一个 $(r-1)$-链：

$${\partial }_r{\sigma }_r\equiv \sum _{i=0}^r(-1{)}^i\left(p_0{p}_1\dots {\hat{p}}_i\dots p_r\right)\text{\hspace{1em}(3.20)}$$

其中 $\hat{\mu }$ 下方的点 $p_i$ 被省略。例如，

$$\begin{array}{l}{\partial }_2\left(p_0{p}_1{p}_2\right)=\left(p_1{p}_2\right)-\left(p_0{p}_2\right)+\left(p_0{p}_1\right)\\ {\partial }_3\left(p_0{p}_1{p}_2{p}_3\right)=\left(p_1{p}_2{p}_3\right)-\left(p_0{p}_2{p}_3\right)+\left(p_0{p}_1{p}_3\right)-\left(p_0{p}_1{p}_2\right).\end{array}$$

对于 $r=0$，我们形式地定义 ${\partial }_0{\sigma }_0=0$。

使用前文：边界算子。模型判断为使用；原文：For a 1-simplex $(p_0p_1)$ , we define

使用前文：有向单形。模型判断为使用；原文：Let $\sigma_r(p_0\ldots p_r)$ ( $r > 0$ ) be an oriented $r$ -simplex.

后文使用：边界算子。

边界算子

回指 · 对于1-单形 $(p_0{p}_1)$，定义 ${\partial }_1(p_0{p}_1)=p_1-p_0$；一般地，有向 $r$-单形 ${\sigma }_r(p_0\dots p_r)$（$r>0$）的边界 ${\partial }_r{\sigma }_r$ 是由 ${\partial }_r{\sigma }_r\equiv {\sum }_{i=0}^r(-1{)}^i(p_0{p}_1\dots {\hat{p}}_i\dots p_r)$ 定义的 $(r-1)$-链，其中 ${\hat{p}}_i$ 表示省略点 $p_i$。

概念：边界算子（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

For a 1-simplex  $(p_0p_1)$ , we define

Let  $\sigma_r(p_0\ldots p_r)$  ( $r > 0$ ) be an oriented  $r$ -simplex. The boundary  $\partial_r\sigma_r$  of  $\sigma_r$  is an  $(r - 1)$ -chain defined by

where the point  $p_i$  under  $\hat{\mathbf{\mu}}$  is omitted.

PDF 文件页：122, 123；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0147；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

单位元是 $0={\sum }_{i}0\cdot {\sigma }_{r,i}$，而 $c$ 的逆元是 $-c={\sum }_i(-c_i){\sigma }_{r,i}$。[注：反向定向的 $r$-单形 $-{\sigma }_r$ 等同于 $(-1){\sigma }_r\in C_r(K)$。]因此，$C_r(K)$ 是秩为 $I_r$ 的自由阿贝尔群，

$$C_r(K)\cong \underset{I_r}{\underbrace{\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}\oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}}}.\text{\hspace{1em}(3.17)}$$

在定义循环群和边界群之前，我们需要引入边界算子。让我们把 $r$-单形 ${\sigma }_r$ 的边界记作 ${\partial }_r{\sigma }_r$。${\partial }_r$ 应被理解为一个作用于 ${\sigma }_r$ 以产生其边界的算子。这一观点将在后面详细阐述。让我们看看低维单形的边界。由于0-单形没有边界，我们定义

$${\partial }_0{p}_0=0.\text{\hspace{1em}(3.18)}$$

对于1-单形 $(p_0{p}_1)$，我们定义

$${\partial }_1\left(p_0{p}_1\right)=p_1-p_0.\text{\hspace{1em}(3.19)}$$

读者可能会问，$p_0$ 前面为什么会出现一个负号。这同样与定向有关。下面的例子将说明这一点。在图3.7(a)中，一个有向1-单形 $(p_0{p}_2)$ 被分成两个，$(p_0{p}_1)$ 和 $(p_1{p}_2)$。我们约定 $(p_0{p}_2)$ 的边界是 $\{p_0\}\cup \{p_2\}$，因此 $(p_0{p}_1)+(p_1{p}_2)$ 的边界也应当如此。如果把 ${\partial }_1(p_0{p}_2)$ 定义为 $p_0+p_2$，我们就会得到 ${\partial }_1(p_0{p}_1)+{\partial }_1(p_1{p}_2)=p_0+p_1+p_1+p_2$。这是不可取的，因为 $p_1$ 是一个虚构边界。相反，如果取 ${\partial }_1(p_0{p}_2)=p_2-p_0$，我们就会如预期那样得到 ${\partial }_1(p_0{p}_1)+{\partial }_1(p_1{p}_2)=p_1-p_0+p_2-p_1=p_2-p_0$。下一个例子是图3.7(b)中的三角形。它是三个有向1-单形之和，$(p_0{p}_1)+(p_1{p}_2)+(p_2{p}_0)$。我们约定它没有边界。如果我们坚持规则 ${\partial }_1(p_0{p}_1)=p_0+p_1$，我们就会得到

$${\partial }_1\left(p_0{p}_1\right)+{\partial }_1\left(p_1{p}_2\right)+{\partial }_1\left(p_2{p}_0\right)=p_0+p_1+p_1+p_2+p_2+p_0$$

这与我们的直觉相矛盾。另一方面，如果取 ${\partial }_1(p_0{p}_1)=p_1-p_0$，我们就有

$${\partial }_1\left(p_0{p}_1\right)+{\partial }_1\left(p_1{p}_2\right)+{\partial }_1\left(p_2{p}_0\right)=p_1-p_0+p_2-p_1+p_0-p_2=0$$

如预期那样。因此，如果省略第一个顶点，我们就放一个正号；如果省略第二个顶点，就放一个负号。我们利用这一事实来定义一般 $r$-单形的边界。

设 ${\sigma }_r(p_0\dots p_r)$（$r>0$）为一个有向 $r$-单形。${\sigma }_r$ 的边界 ${\partial }_r{\sigma }_r$ 是由下式定义的一个 $(r-1)$-链：

$${\partial }_r{\sigma }_r\equiv \sum _{i=0}^r(-1{)}^i\left(p_0{p}_1\dots {\hat{p}}_i\dots p_r\right)\text{\hspace{1em}(3.20)}$$

其中 $\hat{\mu }$ 下方的点 $p_i$ 被省略。例如，

$$\begin{array}{l}{\partial }_2\left(p_0{p}_1{p}_2\right)=\left(p_1{p}_2\right)-\left(p_0{p}_2\right)+\left(p_0{p}_1\right)\\ {\partial }_3\left(p_0{p}_1{p}_2{p}_3\right)=\left(p_1{p}_2{p}_3\right)-\left(p_0{p}_2{p}_3\right)+\left(p_0{p}_1{p}_3\right)-\left(p_0{p}_1{p}_2\right).\end{array}$$

对于 $r=0$，我们形式地定义 ${\partial }_0{\sigma }_0=0$。

使用前文：边界算子。模型判断为使用；原文：For a 1-simplex $(p_0p_1)$ , we define

使用前文：有向单形。模型判断为使用；原文：Let $\sigma_r(p_0\ldots p_r)$ ( $r > 0$ ) be an oriented $r$ -simplex.

后文使用：链群。

链群

回指 · $C_r(K)$ 的元素 $c={\sum }_i{c}_i{\sigma }_{r,i}$；${\partial }_r$ 将 $C_r(K)$ 映入 $C_{r-1}(K)$，且 $C_r(K)$ 是链复形 $C(K)$ 中的自由阿贝尔群。

概念：链群（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

an element  $c = \sum_{i} c_i \sigma_{r,i}$  of  $C_r(K)$

The RHS of (3.21) is an element of  $C_{r-1}(K)$ .

PDF 文件页：123；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0159；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

算子 ${\partial }_r$ 线性地作用于 $C_r(K)$ 的元素 $c={\sum }_i{c}_i{\sigma }_{r,i}$ 上，

$${\partial }_{r}c=\sum _i{c}_i{\partial }_r{\sigma }_{r,i}.\text{\hspace{1em}(3.21)}$$

(3.21)的右端是 $C_{r-1}(K)$ 的一个元素。因此，${\partial }_r$ 定义了一个映射

$${\partial }_r:C_r(K)\to C_{r-1}(K).\text{\hspace{1em}(3.22)}$$

${\partial }_r$ 称为边界算子。容易看出，边界算子是一个同态。

使用前文：边界算子。模型判断为使用；原文：Accordingly, $\partial_r$ defines a map

后文使用：链复形。

边界算子

回指 · ${\partial }_r$ 称为边界算子；它线性地作用于 $C_r(K)$ 的元素 $c={\sum }_i{c}_i{\sigma }_{r,i}$ 上，且容易看出它是一个同态。

概念：边界算子（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

The operator  $\partial_r$  acts linearly on an element  $c = \sum_{i} c_i \sigma_{r,i}$  of  $C_r(K)$ ,

$\partial_r$  is called the boundary operator. It is easy to see that the boundary operator is a homomorphism.

PDF 文件页：123；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0159；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

算子 ${\partial }_r$ 线性地作用于 $C_r(K)$ 的元素 $c={\sum }_i{c}_i{\sigma }_{r,i}$ 上，

$${\partial }_{r}c=\sum _i{c}_i{\partial }_r{\sigma }_{r,i}.\text{\hspace{1em}(3.21)}$$

(3.21)的右端是 $C_{r-1}(K)$ 的一个元素。因此，${\partial }_r$ 定义了一个映射

$${\partial }_r:C_r(K)\to C_{r-1}(K).\text{\hspace{1em}(3.22)}$$

${\partial }_r$ 称为边界算子。容易看出，边界算子是一个同态。

链复形

引入 · 设 $K$ 为 $n$ 维单纯复形，则存在自由阿贝尔群与同态的序列 $0\stackrel{i}{\to }{C}_n(K)\stackrel{{\partial }_n}{\to }{C}_{n-1}(K)\stackrel{{\partial }_{n-1}}{\to }\cdots \stackrel{{\partial }_1}{\to }{C}_0(K)\stackrel{{\partial }_0}{\to }0$，其中 $i:0\hookrightarrow C_n(K)$ 为包含映射（0视为 $C_n(K)$ 的单位元）；该序列称为与 $K$ 相伴的链复形，记作 $C(K)$。

概念：链复形（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

Let  $K$  be an  $n$ -dimensional simplicial complex. There exists a sequence of free Abelian groups and homomorphisms,

This sequence is called the chain complex associated with  $K$  and is denoted by  $C(K)$ .

PDF 文件页：123；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0159；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

设 $K$ 为一个 $n$ 维单纯复形。存在一个自由阿贝尔群与同态的序列，

$$0\stackrel{i}{\to }{C}_n(K)\stackrel{{\partial }_n}{\to }{C}_{n-1}(K)\stackrel{{\partial }_{n-1}}{\to }\cdots \stackrel{{\partial }_2}{\to }{C}_1(K)\stackrel{{\partial }_1}{\to }{C}_0(K)\stackrel{{\partial }_0}{\to }0\text{\hspace{1em}(3.23)}$$

其中 $i:0\hookrightarrow C_n(K)$ 是一个包含映射（0视为 $C_n(K)$ 的单位元）。这个序列称为与 $K$ 相伴的链复形，记作 $C(K)$。研究同态 ${\partial }_r$ 的像与核是很有意义的。

使用前文：链群。模型判断为使用；原文：There exists a sequence of free Abelian groups and homomorphisms,

使用前文：单纯复形。模型判断为使用；原文：Let $K$ be an $n$ -dimensional simplicial complex.

使用前文：自由阿贝尔群。模型判断为使用；原文：a sequence of free Abelian groups and homomorphisms

边界

引入 · 若存在元素 $d\in C_{r+1}(K)$ 使得 $c={\partial }_{r+1}d$，则 $c\in C_r(K)$ 称为一个 $r$-边界。

概念：边界（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

If there exists an element  $d \in C_{r + 1}(K)$  such that

then  $c$  is called an  $r$ -boundary.

PDF 文件页：124；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0171；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

定义3.4。设 $K$ 是一个 $n$ 维单纯复形，并设 $c\in C_r(K)$。若存在元素 $d\in C_{r+1}(K)$ 使得

$$c={\partial }_{r+1}d\text{\hspace{1em}(3.25)}$$

则 $c$ 称为一个 $r$-边界。$r$-边界的集合 $B_r(K)$ 是 $C_r(K)$ 的一个子群，称为 $r$-边界群。注意 $B_r(K)=\mathrm{im}{\partial }_{r+1}$。[注：$B_n(K)$ 定义为0。]

边界群

引入 · $r$-边界的集合 $B_r(K)$ 是 $C_r(K)$ 的一个子群，称为 $r$-边界群，且 $B_r(K)=\mathrm{im}{\partial }_{r+1}$；$B_n(K)$ 定义为0。

概念：边界群（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

The set of  $r$ -boundaries  $B_r(K)$  is a subgroup of  $C_r(K)$  and is called the  $r$ -boundary group. Note that  $B_r(K) = \operatorname{im} \partial_{r+1}$ . [Remark:  $B_n(K)$  is defined to be 0.]

PDF 文件页：124；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0171；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

定义3.4。设 $K$ 是一个 $n$ 维单纯复形，并设 $c\in C_r(K)$。若存在元素 $d\in C_{r+1}(K)$ 使得

$$c={\partial }_{r+1}d\text{\hspace{1em}(3.25)}$$

则 $c$ 称为一个 $r$-边界。$r$-边界的集合 $B_r(K)$ 是 $C_r(K)$ 的一个子群，称为 $r$-边界群。注意 $B_r(K)=\mathrm{im}{\partial }_{r+1}$。[注：$B_n(K)$ 定义为0。]

后文使用：同调群。

同调群

回指 · $Z_r(K)$ 与 $B_r(K)$ 之间的关系对于同调群的定义至关重要。

概念：同调群

原文（OCR，未逐页核实）

We now prove an important relation between  $Z_{r}(K)$  and  $B_{r}(K)$ , which is crucial in the definition of homology groups.

PDF 文件页：124；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0171；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

由引理3.1可知，$Z_r(K)$ 和 $B_r(K)$ 是 $C_r(K)$ 的子群。我们现在证明 $Z_r(K)$ 与 $B_r(K)$ 之间的一个重要关系，它对于同调群的定义至关重要。

使用前文：边界群。模型判断为使用；原文：From lemma 3.1, it follows that $Z_{r}(K)$ and $B_{r}(K)$ are subgroups of $C_{r}(K)$

后文使用：同调群。

同调群

引入 · 设 $K$ 为 $n$ 维单纯复形，则与 $K$ 相关联的第 $r$ 个同调群 $H_r(K)$（$0\le r\le n$）定义为 $H_r(K)\equiv Z_r(K)/B_r(K)$；若需强调系数，可记作 $H_r(K;\mathbb{Z})$、$H_r(K;\mathbb{R})$ 或 $H_r(K;{\mathbb{Z}}_2)$；当 $r>n$ 或 $r<0$ 时定义 $H_r(K)=0$。由于 $B_r(K)$ 是 $Z_r(K)$ 的子群，该商群良定义，且 $H_r(K)$ 是 $r$-循环的等价类集合。

概念：同调群

原文（OCR，未逐页核实）

Definition 3.5. Let  $K$  be an  $n$ -dimensional simplicial complex. The  $r$ th homology group  $H_{r}(K)$ ,  $0 \leq r \leq n$ , associated with  $K$  is defined by

H _ {r} (K) \equiv Z _ {r} (K) / B _ {r} (K). \tag {3.28}

[Remarks: If necessary, we define  $H_r(K) = 0$  for  $r > n$  or  $r < 0$ . If we want to stress that the group structure is defined with integer coefficients, we

write  $H_{r}(K;\mathbb{Z})$ . We may also define the homology groups with  $\mathbb{R}$ -coefficients,  $H_{r}(K;\mathbb{R})$  or those with  $\mathbb{Z}_2$ -coefficients,  $H_{r}(K;\mathbb{Z}_{2})$ .]

Since  $B_r(K)$  is a subgroup of  $Z_r(K)$ ,  $H_r(K)$  is well defined. The group  $H_r(K)$  is the set of equivalence classes of  $r$ -cycles,

H _ {r} (K) \equiv \{[ z ] | z \in Z _ {r} (K) \} \tag {3.29}

PDF 文件页：125, 126；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0183；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

定义 3.5。设 $K$ 是一个 $n$ 维单纯复形。与 $K$ 相关联的第 $r$ 个同调群 $H_r(K)$（$0\le r\le n$）定义为

$$H_r(K)\equiv Z_r(K)/B_r(K).\text{\hspace{1em}(3.28)}$$

[注：如有必要，我们对 $r>n$ 或 $r<0$ 定义 $H_r(K)=0$。如果我们想强调群结构是用整数系数定义的，我们写作 $H_r(K;\mathbb{Z})$。我们也可以定义具有 $\mathbb{R}$-系数的同调群 $H_r(K;\mathbb{R})$，或具有 ${\mathbb{Z}}_2$-系数的同调群 $H_r(K;{\mathbb{Z}}_2)$。]

由于 $B_r(K)$ 是 $Z_r(K)$ 的子群，$H_r(K)$ 是良定义的。群 $H_r(K)$ 是 $r$-循环的等价类的集合，

$$H_r(K)\equiv \{[z]|z\in Z_r(K)\}\text{\hspace{1em}(3.29)}$$

其中每个等价类 $[z]$ 称为同调类。两个 $r$-循环 $z$ 和 $z^{\prime }$ 属于同一个等价类当且仅当 $z-z^{\prime }\in B_r(K)$，此时称 $z$ 与 $z^{\prime }$ 同调，记作 $z\sim z^{\prime }$ 或 $[z]=[z^{\prime }]$。几何上，$z-z^{\prime }$ 是某个空间的边界。由定义，任何边界 $b\in B_r(K)$ 都与 0 同调，因为 $b-0\in B_r(K)$。我们不加证明地接受以下定理。

使用前文：同调群。模型判断为使用；原文：The $r$ th homology group $H_{r}(K)$ , $0 \leq r \leq n$ , associated with $K$ is defined by / H _ {r} (K) \equiv Z _ {r} (K) / B _ {r} (K). \tag {3.28}

后文使用：同调类。

同调类

引入 · 每个等价类 $[z]$ 称为同调类；两个 $r$-循环 $z$ 和 $z^{\prime }$ 属于同一等价类当且仅当 $z-z^{\prime }\in B_r(K)$，此时称 $z$ 与 $z^{\prime }$ 同调，记作 $z\sim z^{\prime }$ 或 $[z]=[z^{\prime }]$。

概念：同调群

原文（OCR，未逐页核实）

where each equivalence class  $[z]$  is called a homology class. Two  $r$ -cycles  $z$  and  $z'$  are in the same equivalence class if and only if  $z - z' \in B_r(K)$ , in which case  $z$  is said to be homologous to  $z'$  and denoted by  $z \sim z'$  or  $[z] = [z']$ .

PDF 文件页：126；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0195；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

由于 $B_r(K)$ 是 $Z_r(K)$ 的子群，$H_r(K)$ 是良定义的。群 $H_r(K)$ 是 $r$-循环的等价类的集合，

$$H_r(K)\equiv \{[z]|z\in Z_r(K)\}\text{\hspace{1em}(3.29)}$$

其中每个等价类 $[z]$ 称为同调类。两个 $r$-循环 $z$ 和 $z^{\prime }$ 属于同一个等价类当且仅当 $z-z^{\prime }\in B_r(K)$，此时称 $z$ 与 $z^{\prime }$ 同调，记作 $z\sim z^{\prime }$ 或 $[z]=[z^{\prime }]$。几何上，$z-z^{\prime }$ 是某个空间的边界。由定义，任何边界 $b\in B_r(K)$ 都与 0 同调，因为 $b-0\in B_r(K)$。我们不加证明地接受以下定理。

使用前文：同调群。模型判断为使用；原文：any boundary $b \in B_r(K)$ is homologous to 0 since $b - 0 \in B_r(K)$ .

拓扑空间的同调群

引入 · 对于不必是多面体但可三角剖分的拓扑空间 $X$，其同调群 $H_r(X)$ 定义为对任意三角剖分 $(K,f)$ 取 $H_r(K)$，且由定理3.4知该定义与三角剖分的选取无关。

概念：同调群

原文（OCR，未逐页核实）

Accordingly, it makes sense to talk of homology groups of a topological space  $X$  which is not necessarily a polyhedron but which is triangulable. For an arbitrary triangulation  $(K, f)$ ,  $H_r(X)$  is defined to be

Theorem 3.4 tells us that this is independent of the choice of the triangulation  $(K, f)$ .

PDF 文件页：126；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0195；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

定理 3.4。同调群是拓扑不变量。设 $X$ 与 $Y$ 同胚，并设 $(K,f)$ 和 $(L,g)$ 分别是 $X$ 和 $Y$ 的三角剖分。则我们有

$$H_r(K)\cong H_r(L)r=0,1,2,\dots .\text{\hspace{1em}(3.30)}$$

特别地，若 $(K,f)$ 和 $(L,g)$ 是 $X$ 的两个三角剖分，则

$$H_r(K)\cong H_r(L)r=0,1,2,\dots .\text{\hspace{1em}(3.31)}$$

因此，谈论一个拓扑空间 $X$ 的同调群是有意义的，该空间不必是多面体，但必须是可三角剖分的。对于任意三角剖分 $(K,f)$，$H_r(X)$ 定义为

$$H_r(X)\equiv H_r(K)r=0,1,2,\dots .\text{\hspace{1em}(3.32)}$$

定理 3.4 告诉我们，这与三角剖分 $(K,f)$ 的选取无关。

使用前文：三角剖分。模型判断为使用；原文：which is not necessarily a polyhedron but which is triangulable. For an arbitrary triangulation $(K, f)$

后文使用：$S^1$ 的同调群。

满射同态 f

引入 · 定义了一个从 $Z_0(K)$ 到 $\mathbb{Z}$ 的满射同态 $f$，其作用为 $f(i{p}_0+j{p}_1+k{p}_2)=i+j+k$。

概念：满射同态 f（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

Define a surjective homomorphism  $f:Z_0(K)\to \mathbb{Z}$  by

f (i p _ {0} + j p _ {1} + k p _ {2}) = i + j + k.

PDF 文件页：128；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0230；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

这表明 $Z_1(K)$ 同构于 $\mathbb{Z}$，且

$$H_1(K)=Z_1(K)\cong \mathbb{Z}.\text{\hspace{1em}(3.37)}$$

我们来计算 $H_0(K)$。我们有 $Z_0(K)=C_0(K)$，且

$$\begin{array}{l}{B}_0(K)=\left\{{\partial }_1\left[l\left(p_0{p}_1\right)+m\left(p_1{p}_2\right)+n\left(p_2{p}_0\right)\right]|l,m,n\in \mathbb{Z}\right\}\\ =\{(n-l)p_0+(l-m)p_1+(m-n)p_2\mid l,m,n\in \mathbb{Z}\}.\end{array}$$

定义满射同态 $f:Z_0(K)\to \mathbb{Z}$ 为

$$f(i{p}_0+j{p}_1+k{p}_2)=i+j+k.$$

我们验证

$$\ker f=f^{-1}(0)=B_0(K).$$

由定理 3.1 可得 $Z_0(K)/\ker f\cong \mathrm{im}f=\mathbb{Z}$，即

$$H_0(K)=Z_0(K)/B_0(K)\cong \mathbb{Z}.\text{\hspace{1em}(3.38)}$$

$S^1$ 的同调群

推导 · $K$ 是圆 $S^1$ 的一个三角剖分，(3.37) 和 (3.38) 给出了 $S^1$ 的同调群，其中 $H_0(K)\cong \mathbb{Z}$。

概念：同调群

原文（OCR，未逐页核实）

$K$  is a triangulation of a circle  $S^1$ , and (3.37) and (3.38) are the homology groups of  $S^1$ .

H _ {0} (K) = Z _ {0} (K) / B _ {0} (K) \cong \mathbb {Z}. \tag {3.38}

PDF 文件页：128；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0230；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

$$f(i{p}_0+j{p}_1+k{p}_2)=i+j+k.$$

我们验证

$$\ker f=f^{-1}(0)=B_0(K).$$

由定理 3.1 可得 $Z_0(K)/\ker f\cong \mathrm{im}f=\mathbb{Z}$，即

$$H_0(K)=Z_0(K)/B_0(K)\cong \mathbb{Z}.\text{\hspace{1em}(3.38)}$$

$K$ 是圆 $S^1$ 的一个三角剖分，而 (3.37) 和 (3.38) 是 $S^1$ 的同调群。

使用前文：拓扑空间的同调群。模型判断为使用；原文：$K$ is a triangulation of a circle $S^1$ , and (3.37) and (3.38) are the homology groups of $S^1$ .

使用前文：三角剖分。模型判断为使用；原文：$K$ is a triangulation of a circle $S^1$

后文使用：四面体表面的三角剖分。

后文使用：$S^2$ 的同调群。

$S^2$ 的同调群

推导 · (3.42) 给出了球面 $S^2$ 的同调群：$H_0(K)\cong \mathbb{Z}$，$H_1(K)\cong \{0\}$，$H_2(K)\cong \mathbb{Z}$。

概念：同调群

原文（OCR，未逐页核实）

(3.42) gives the homology groups of  $S^2$ .

PDF 文件页：129；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0250；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

练习 3.3。设

$$\begin{array}{l}K=\{p_0,p_1,p_2,p_3,\left(p_0{p}_1\right),\left(p_0{p}_2\right),\left(p_0{p}_3\right),\left(p_1{p}_2\right),\left(p_1{p}_3\right),\left(p_2{p}_3\right),\\ (p_0{p}_1{p}_2),(p_0{p}_1{p}_3),(p_0{p}_2{p}_3),(p_1{p}_2{p}_3)\}\end{array}$$

是一个单纯复形，其多面体为四面体的表面。验证

$$H_0(K)\cong \mathbb{Z}{H}_1(K)\cong \{0\}{H}_2(K)\cong \mathbb{Z}.\text{\hspace{1em}(3.42)}$$

$K$ 是球面 $S^2$ 的一个三角剖分，并且 (3.42) 给出了 $S^2$ 的同调群。

使用前文：$S^1$ 的同调群。模型判断为回指；原文：(3.42) gives the homology groups of $S^2$ .

四面体表面的三角剖分

引入 · 设 $K$ 是一个单纯复形，其多面体为四面体的表面；作者断言 $K$ 是球面 $S^2$ 的一个三角剖分，且 (3.42) 给出了 $S^2$ 的同调群。

概念：四面体表面的三角剖分（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

Exercise 3.3. Let

be a simplicial complex whose polyhedron is the surface of a tetrahedron.

$K$  is a triangulation of the sphere  $S^2$  and (3.42) gives the homology groups of  $S^2$ .

PDF 文件页：129；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0250；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

这表明 $Z_1(K)\cong B_1(K)$，因此

$$H_1(K)=Z_1(K)/B_1(K)\cong \{0\}.\text{\hspace{1em}(3.40)}$$

由于 $K$ 中没有 3-单形，我们有 $B_2(K)=\{0\}$。于是 $H_2(K)=Z_2(K)/B_2(K)=Z_2(K)$。设 $z=m(p_0{p}_1{p}_2)\in Z_2(K)$。由于 ${\partial }_{2}z=m\{(p_1{p}_2)-(p_0{p}_2)+(p_0{p}_1)\}=0$，$m$ 必须为零。因此，$Z_1(K)=\{0\}$，并且我们有

$$H_2(K)\cong \{0\}.\text{\hspace{1em}(3.41)}$$

练习 3.3。设

$$\begin{array}{l}K=\{p_0,p_1,p_2,p_3,\left(p_0{p}_1\right),\left(p_0{p}_2\right),\left(p_0{p}_3\right),\left(p_1{p}_2\right),\left(p_1{p}_3\right),\left(p_2{p}_3\right),\\ (p_0{p}_1{p}_2),(p_0{p}_1{p}_3),(p_0{p}_2{p}_3),(p_1{p}_2{p}_3)\}\end{array}$$

是一个单纯复形，其多面体为四面体的表面。验证

$$H_0(K)\cong \mathbb{Z}{H}_1(K)\cong \{0\}{H}_2(K)\cong \mathbb{Z}.\text{\hspace{1em}(3.42)}$$

$K$ 是球面 $S^2$ 的一个三角剖分，并且 (3.42) 给出了 $S^2$ 的同调群。

使用前文：$S^1$ 的同调群。模型判断为回指；原文：(3.42) gives the homology groups of $S^2$ .

连通单纯复形的零维同调群

推导 · 若 $K$ 是连通的单纯复形，则其零维同调群同构于整数群 $\mathbb{Z}$。

概念：连通单纯复形的零维同调群（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

Theorem 3.5. Let  $K$  be a connected simplicial complex. Then

H _ {0} (K) \cong \mathbb {Z}. \tag {3.43}

PDF 文件页：129；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0255；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

定理 3.5。设 $K$ 是一个连通的单纯复形。则

$$H_0(K)\cong \mathbb{Z}.\text{\hspace{1em}(3.43)}$$

证明。由于 $K$ 是连通的，对于任意一对 0-单形 $p_i$ 和 $p_j$，存在一个 1-单形序列 $(p_i{p}_k),(p_k{p}_l),\dots ,(p_m{p}_j)$ 使得 ${\partial }_1((p_i{p}_k)+(p_k{p}_l)+\cdots +(p_m{p}_j))=p_j-p_i$。由此可知 $p_i$ 与 $p_j$ 同调，即 $[p_i]=[p_j]$。因此，$K$ 中的任意 0-单形都与比如说 $p_1$ 同调。假设

$$z=\sum _{i=1}^{I_0}{n}_i{p}_i\in Z_0(K)$$

其中 $I_0$ 是 $K$ 中 0-单形的个数。那么同调类 $[z]$ 由单个点生成，

$$[z]=\left[\sum _i{n}_i{p}_i\right]=\sum _i{n}_i[p_i]=\sum _i{n}_i[p_1].$$

后文使用：连通单纯复形的零维同调群。

增广同态

引入 · 定义从 $Z_0(K)$ 到 $\mathbb{Z}$ 的满射同态 $f$，将 0-链的系数求和，用于证明 $H_0(K)\cong \mathbb{Z}$。

概念：满射同态 f（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

Define a surjective homomorphism  $f: Z_0(K) \to \mathbb{Z}$  by

f \left(n _ {1} p _ {1} + \dots + n _ {I _ {0}} p _ {I _ {0}}\right) = \sum_ {i = 1} ^ {I _ {0}} n _ {i}.

PDF 文件页：130；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0255；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

定义满射同态 $f:Z_0(K)\to \mathbb{Z}$ 为

$$f\left(n_1{p}_1+\cdots +n_{I_0}{p}_{I_0}\right)=\sum _{i=1}^{I_0}{n}_i.$$

于是有 $\ker f=f^{-1}(0)=B_0(K)$。由定理 3.1 可知 $H_0(K)=Z_0(K)/B_0(K)=Z_0(K)/\ker f\cong \mathrm{im}f=\mathbb{Z}$。

同调群

回指 · 本例与下一例处理不可定向空间的同调群。

概念：同调群

原文（OCR，未逐页核实）

This and the next example deal with homology groups of nonorientable spaces.

PDF 文件页：130；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0274；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

例 3.10。本例与下一例讨论不可定向空间的同调群。图 3.8 是莫比乌斯带的一个三角剖分。显然 $B_2(K)=0$。取一个闭链 $z\in Z_2(K)$，

$$\begin{array}{l}z=i\left(p_0{p}_1{p}_2\right)+j\left(p_2{p}_1{p}_4\right)+k\left(p_2{p}_4{p}_3\right)\\ +l\left(p_3{p}_4{p}_5\right)+m\left(p_3{p}_5{p}_1\right)+n\left(p_1{p}_5{p}_0\right).\end{array}$$

$z$ 满足

$$\begin{array}{l}{\partial }_{2}z=i\left\{\left(p_1{p}_2\right)-\left(p_0{p}_2\right)+\left(p_0{p}_1\right)\right\}\\ +j\left\{\left(p_1{p}_4\right)-\left(p_2{p}_4\right)+\left(p_2{p}_1\right)\right\}\\ +k\left\{\left(p_4{p}_3\right)-\left(p_2{p}_3\right)+\left(p_2{p}_4\right)\right\}\\ +l\left\{\left(p_4{p}_5\right)-\left(p_3{p}_5\right)+\left(p_3{p}_4\right)\right\}\\ +m\left\{\left(p_5{p}_1\right)-\left(p_3{p}_1\right)+\left(p_3{p}_5\right)\right\}\\ +n\left\{\left(p_5{p}_0\right)-\left(p_1{p}_0\right)+\left(p_1{p}_5\right)\right\}=0.\end{array}$$

由于 $(p_0{p}_2)$、$(p_1{p}_4)$、$(p_2{p}_3)$、$(p_4{p}_5)$、$(p_3{p}_1)$ 和 $(p_5{p}_0)$ 在 ${\partial }_{2}z$ 中各出现且仅出现一次，所有系数必须为零，即 $i=j=k=l=m=n=$

莫比乌斯带的三角剖分

引入 · 图 3.8 是莫比乌斯带的一个三角剖分，用于计算不可定向空间的同调群。

概念：莫比乌斯带的三角剖分（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

Figure 3.8 is a triangulation of the Möbius strip.

PDF 文件页：130；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0274；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

例 3.10。本例与下一例讨论不可定向空间的同调群。图 3.8 是莫比乌斯带的一个三角剖分。显然 $B_2(K)=0$。取一个闭链 $z\in Z_2(K)$，

$$\begin{array}{l}z=i\left(p_0{p}_1{p}_2\right)+j\left(p_2{p}_1{p}_4\right)+k\left(p_2{p}_4{p}_3\right)\\ +l\left(p_3{p}_4{p}_5\right)+m\left(p_3{p}_5{p}_1\right)+n\left(p_1{p}_5{p}_0\right).\end{array}$$

$z$ 满足

$$\begin{array}{l}{\partial }_{2}z=i\left\{\left(p_1{p}_2\right)-\left(p_0{p}_2\right)+\left(p_0{p}_1\right)\right\}\\ +j\left\{\left(p_1{p}_4\right)-\left(p_2{p}_4\right)+\left(p_2{p}_1\right)\right\}\\ +k\left\{\left(p_4{p}_3\right)-\left(p_2{p}_3\right)+\left(p_2{p}_4\right)\right\}\\ +l\left\{\left(p_4{p}_5\right)-\left(p_3{p}_5\right)+\left(p_3{p}_4\right)\right\}\\ +m\left\{\left(p_5{p}_1\right)-\left(p_3{p}_1\right)+\left(p_3{p}_5\right)\right\}\\ +n\left\{\left(p_5{p}_0\right)-\left(p_1{p}_0\right)+\left(p_1{p}_5\right)\right\}=0.\end{array}$$

由于 $(p_0{p}_2)$、$(p_1{p}_4)$、$(p_2{p}_3)$、$(p_4{p}_5)$、$(p_3{p}_1)$ 和 $(p_5{p}_0)$ 在 ${\partial }_{2}z$ 中各出现且仅出现一次，所有系数必须为零，即 $i=j=k=l=m=n=$

莫比乌斯带的三角剖分

回指 · 此处继续对图 3.8 所示的莫比乌斯带三角剖分 $K$ 计算其一维同调群 $H_1(K)$。

概念：莫比乌斯带的三角剖分（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

To find  $H_{1}(K)$ , we use our intuition rather than doing tedious computations.

PDF 文件页：131；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0282；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

$$\begin{array}{l}{\partial }_{2}z=i\left\{\left(p_1{p}_2\right)-\left(p_0{p}_2\right)+\left(p_0{p}_1\right)\right\}\\ +j\left\{\left(p_1{p}_4\right)-\left(p_2{p}_4\right)+\left(p_2{p}_1\right)\right\}\\ +k\left\{\left(p_4{p}_3\right)-\left(p_2{p}_3\right)+\left(p_2{p}_4\right)\right\}\\ +l\left\{\left(p_4{p}_5\right)-\left(p_3{p}_5\right)+\left(p_3{p}_4\right)\right\}\\ +m\left\{\left(p_5{p}_1\right)-\left(p_3{p}_1\right)+\left(p_3{p}_5\right)\right\}\\ +n\left\{\left(p_5{p}_0\right)-\left(p_1{p}_0\right)+\left(p_1{p}_5\right)\right\}=0.\end{array}$$

由于 $(p_0{p}_2)$、$(p_1{p}_4)$、$(p_2{p}_3)$、$(p_4{p}_5)$、$(p_3{p}_1)$ 和 $(p_5{p}_0)$ 在 ${\partial }_{2}z$ 中各出现且仅出现一次，所有系数必须为零，即 $i=j=k=l=m=n=$0。因此，$Z_2(K)=\{0\}$，且

$$H_2(K)=Z_2(K)/B_2(K)\cong \{0\}.\text{\hspace{1em}(3.44)}$$

为了求 $H_1(K)$，我们依靠直觉而不是进行繁琐的计算。让我们找出构成完整回路的环。这样一个环是

$$z=\left(p_0{p}_1\right)+\left(p_1{p}_4\right)+\left(p_4{p}_5\right)+\left(p_5{p}_0\right).$$

那么所有其他完整回路都与 $z$ 的倍数同调。例如，取

$$z^{\prime }=\left(p_1{p}_2\right)+\left(p_2{p}_3\right)+\left(p_3{p}_5\right)+\left(p_5{p}_1\right).$$

我们发现 $z\sim z^{\prime }$，因为

莫比乌斯带的一维同调群

推导 · 作者通过直观寻找完整回路而非繁琐计算，得出莫比乌斯带三角剖分 $K$ 的所有闭合回路均与 $nz$（$n\in \mathbb{Z}$）同调，且 $H_1(K)$ 仅由一个元素 $[z]$ 生成，从而 $H_1(K)\cong \mathbb{Z}$。

概念：莫比乌斯带的一维同调群（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

To find  $H_{1}(K)$ , we use our intuition rather than doing tedious computations. Let us find the loops which make complete circuits.

We easily verify that all the closed circuits are homologous to  $nz$ ,  $n \in \mathbb{Z}$ .  $H_{1}(K)$  is generated by just one element  $[z]$ ,

PDF 文件页：131；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0282；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

$$\begin{array}{l}{\partial }_{2}z=i\left\{\left(p_1{p}_2\right)-\left(p_0{p}_2\right)+\left(p_0{p}_1\right)\right\}\\ +j\left\{\left(p_1{p}_4\right)-\left(p_2{p}_4\right)+\left(p_2{p}_1\right)\right\}\\ +k\left\{\left(p_4{p}_3\right)-\left(p_2{p}_3\right)+\left(p_2{p}_4\right)\right\}\\ +l\left\{\left(p_4{p}_5\right)-\left(p_3{p}_5\right)+\left(p_3{p}_4\right)\right\}\\ +m\left\{\left(p_5{p}_1\right)-\left(p_3{p}_1\right)+\left(p_3{p}_5\right)\right\}\\ +n\left\{\left(p_5{p}_0\right)-\left(p_1{p}_0\right)+\left(p_1{p}_5\right)\right\}=0.\end{array}$$

由于 $(p_0{p}_2)$、$(p_1{p}_4)$、$(p_2{p}_3)$、$(p_4{p}_5)$、$(p_3{p}_1)$ 和 $(p_5{p}_0)$ 在 ${\partial }_{2}z$ 中各出现且仅出现一次，所有系数必须为零，即 $i=j=k=l=m=n=$0。因此，$Z_2(K)=\{0\}$，且

$$H_2(K)=Z_2(K)/B_2(K)\cong \{0\}.\text{\hspace{1em}(3.44)}$$

为了求 $H_1(K)$，我们依靠直觉而不是进行繁琐的计算。让我们找出构成完整回路的环。这样一个环是

$$z=\left(p_0{p}_1\right)+\left(p_1{p}_4\right)+\left(p_4{p}_5\right)+\left(p_5{p}_0\right).$$

那么所有其他完整回路都与 $z$ 的倍数同调。例如，取

$$z^{\prime }=\left(p_1{p}_2\right)+\left(p_2{p}_3\right)+\left(p_3{p}_5\right)+\left(p_5{p}_1\right).$$

我们发现 $z\sim z^{\prime }$，因为

$$z-z^{\prime }={\partial }_2\left\{\left(p_2{p}_1{p}_4\right)+\left(p_2{p}_4{p}_3\right)+\left(p_3{p}_4{p}_5\right)+\left(p_1{p}_5{p}_0\right)\right\}.$$

然而，如果取

$$z^{\prime \prime }=\left(p_1{p}_4\right)+\left(p_4{p}_5\right)+\left(p_5{p}_0\right)+\left(p_0{p}_2\right)+\left(p_2{p}_3\right)+\left(p_3{p}_1\right)$$

我们发现 $z^{\prime \prime }\sim 2z$，因为

$$\begin{array}{l}2z-z^{\prime \prime }=2\left(p_0{p}_1\right)+\left(p_1{p}_4\right)+\left(p_4{p}_5\right)+\left(p_5{p}_0\right)-\left(p_0{p}_2\right)\\ -\left(p_2{p}_3\right)-\left(p_3{p}_1\right)\\ ={\partial }_2\{\left(p_0{p}_1{p}_2\right)+\left(p_1{p}_4{p}_2\right)+\left(p_2{p}_4{p}_3\right)+\left(p_3{p}_4{p}_5\right)\\ +\left(p_3{p}_5{p}_1\right)+\left(p_0{p}_1{p}_5\right)\}.\end{array}$$

我们容易验证，所有闭合回路都与 $nz$（$n\in \mathbb{Z}$）同调。$H_1(K)$ 仅由一个元素 $[z]$ 生成，

$$H_1(K)=\{i[z]|i\in \mathbb{Z}\}\cong \mathbb{Z}.\text{\hspace{1em}(3.45)}$$

由于 $K$ 是连通的，由定理 3.5 可知 $H_0(K)=\{i[p_a]|i\in \mathbb{Z}\}\cong \mathbb{Z}$，其中 $p_a$ 是 $K$ 的任意 0-单形。

连通单纯复形的零维同调群

回指 · 此处应用定理 3.5，指出因为 $K$ 是连通的，所以其零维同调群 $H_0(K)$ 同构于整数群 $\mathbb{Z}$。

概念：连通单纯复形的零维同调群（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

Since  $K$  is connected, it follows from theorem 3.5 that  $H_0(K) = \{i[p_a] | i \in \mathbb{Z}\} \cong \mathbb{Z}$

PDF 文件页：131；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0294；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

我们发现 $z^{\prime \prime }\sim 2z$，因为

$$\begin{array}{l}2z-z^{\prime \prime }=2\left(p_0{p}_1\right)+\left(p_1{p}_4\right)+\left(p_4{p}_5\right)+\left(p_5{p}_0\right)-\left(p_0{p}_2\right)\\ -\left(p_2{p}_3\right)-\left(p_3{p}_1\right)\\ ={\partial }_2\{\left(p_0{p}_1{p}_2\right)+\left(p_1{p}_4{p}_2\right)+\left(p_2{p}_4{p}_3\right)+\left(p_3{p}_4{p}_5\right)\\ +\left(p_3{p}_5{p}_1\right)+\left(p_0{p}_1{p}_5\right)\}.\end{array}$$

我们容易验证，所有闭合回路都与 $nz$（$n\in \mathbb{Z}$）同调。$H_1(K)$ 仅由一个元素 $[z]$ 生成，

$$H_1(K)=\{i[z]|i\in \mathbb{Z}\}\cong \mathbb{Z}.\text{\hspace{1em}(3.45)}$$

由于 $K$ 是连通的，由定理 3.5 可知 $H_0(K)=\{i[p_a]|i\in \mathbb{Z}\}\cong \mathbb{Z}$，其中 $p_a$ 是 $K$ 的任意 0-单形。

使用前文：连通单纯复形的零维同调群。模型判断为使用；原文：it follows from theorem 3.5 that

二维边界群

限定 · 对于射影平面的该三角剖分，作者断言二维边界群 $B_2(K)$ 显然是平凡的，即 $B_2(K)=\{0\}$。

概念：边界群（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

Clearly  $B_2(K) = \{0\}$ .

PDF 文件页：131；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0294；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

例 3.11。射影平面 $\mathbb{R}{P}^2$ 在例 2.5(c) 中已被定义为将对径点认同的球面 $S^2$。作为陪集空间，我们可以取边界 $S^1$ 上对径点被认同的半球（或圆盘 $D^2$），见图 2.5(b)。图 3.9 是射影平面的一个三角剖分。显然 $B_2(K)=\{0\}$。取一个闭链 $z\in Z_2(K)$，

$$\begin{array}{l}z=m_1\left(p_0{p}_1{p}_2\right)+m_2\left(p_0{p}_4{p}_1\right)+m_3\left(p_0{p}_5{p}_4\right)\\ +m_4\left(p_0{p}_3{p}_5\right)+m_5\left(p_0{p}_2{p}_3\right)+m_6\left(p_2{p}_4{p}_3\right)\\ +m_7\left(p_2{p}_5{p}_4\right)+m_8\left(p_2{p}_1{p}_5\right)+m_9\left(p_1{p}_3{p}_5\right)+m_{10}\left(p_1{p}_4{p}_3\right).\end{array}$$

$z$ 的边界为

$$\begin{array}{l}{\partial }_{2}z=m_1\left\{\left(p_1{p}_2\right)-\left(p_0{p}_2\right)+\left(p_0{p}_1\right)\right\}\\ +m_2\left\{\left(p_4{p}_1\right)-\left(p_0{p}_1\right)+\left(p_0{p}_4\right)\right\}\\ +m_3\left\{\left(p_5{p}_4\right)-\left(p_0{p}_4\right)+\left(p_0{p}_5\right)\right\}\\ +m_4\left\{\left(p_3{p}_5\right)-\left(p_0{p}_5\right)+\left(p_0{p}_3\right)\right\}\\ +m_5\left\{\left(p_2{p}_3\right)-\left(p_0{p}_3\right)+\left(p_0{p}_2\right)\right\}\\ +m_6\left\{\left(p_4{p}_3\right)-\left(p_2{p}_3\right)+\left(p_2{p}_4\right)\right\}\\ +m_7\left\{\left(p_5{p}_4\right)-\left(p_2{p}_4\right)+\left(p_2{p}_5\right)\right\}\\ +m_8\left\{\left(p_1{p}_5\right)-\left(p_2{p}_5\right)+\left(p_2{p}_1\right)\right\}\\ +m_9\left\{\left(p_3{p}_5\right)-\left(p_1{p}_5\right)+\left(p_1{p}_3\right)\right\}\\ +m_{10}\left\{\left(p_4{p}_3\right)-\left(p_1{p}_3\right)+\left(p_1{p}_4\right)\right\}=0.\end{array}$$

让我们考察每个 1-单形的系数。例如，我们有 $(m_1-m_2)(p_0{p}_1)$，因此 $m_1-m_2=0$。类似地，

射影平面的二维同调群计算

推导 · 作者通过考察射影平面 $\mathbb{R}{P}^2$ 的三角剖分 $K$（图 3.9），证明其二维闭链群 $Z_2(K)$ 是平凡的（即仅含零元素），从而得出二维同调群 $H_2(K)$ 也是平凡的。

概念：射影平面的二维同调群计算（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

Figure 3.9 is a triangulation of the projective plane. Clearly  $B_2(K) = \{0\}$ . Take a cycle  $z \in Z_2(K)$ ,

This means that the cycle group  $Z_2(K)$  is trivial and we have

PDF 文件页：131, 133；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0294；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

例 3.11。射影平面 $\mathbb{R}{P}^2$ 在例 2.5(c) 中已被定义为将对径点认同的球面 $S^2$。作为陪集空间，我们可以取边界 $S^1$ 上对径点被认同的半球（或圆盘 $D^2$），见图 2.5(b)。图 3.9 是射影平面的一个三角剖分。显然 $B_2(K)=\{0\}$。取一个闭链 $z\in Z_2(K)$，

$$\begin{array}{l}z=m_1\left(p_0{p}_1{p}_2\right)+m_2\left(p_0{p}_4{p}_1\right)+m_3\left(p_0{p}_5{p}_4\right)\\ +m_4\left(p_0{p}_3{p}_5\right)+m_5\left(p_0{p}_2{p}_3\right)+m_6\left(p_2{p}_4{p}_3\right)\\ +m_7\left(p_2{p}_5{p}_4\right)+m_8\left(p_2{p}_1{p}_5\right)+m_9\left(p_1{p}_3{p}_5\right)+m_{10}\left(p_1{p}_4{p}_3\right).\end{array}$$

$z$ 的边界为

$$\begin{array}{l}{\partial }_{2}z=m_1\left\{\left(p_1{p}_2\right)-\left(p_0{p}_2\right)+\left(p_0{p}_1\right)\right\}\\ +m_2\left\{\left(p_4{p}_1\right)-\left(p_0{p}_1\right)+\left(p_0{p}_4\right)\right\}\\ +m_3\left\{\left(p_5{p}_4\right)-\left(p_0{p}_4\right)+\left(p_0{p}_5\right)\right\}\\ +m_4\left\{\left(p_3{p}_5\right)-\left(p_0{p}_5\right)+\left(p_0{p}_3\right)\right\}\\ +m_5\left\{\left(p_2{p}_3\right)-\left(p_0{p}_3\right)+\left(p_0{p}_2\right)\right\}\\ +m_6\left\{\left(p_4{p}_3\right)-\left(p_2{p}_3\right)+\left(p_2{p}_4\right)\right\}\\ +m_7\left\{\left(p_5{p}_4\right)-\left(p_2{p}_4\right)+\left(p_2{p}_5\right)\right\}\\ +m_8\left\{\left(p_1{p}_5\right)-\left(p_2{p}_5\right)+\left(p_2{p}_1\right)\right\}\\ +m_9\left\{\left(p_3{p}_5\right)-\left(p_1{p}_5\right)+\left(p_1{p}_3\right)\right\}\\ +m_{10}\left\{\left(p_4{p}_3\right)-\left(p_1{p}_3\right)+\left(p_1{p}_4\right)\right\}=0.\end{array}$$

让我们考察每个 1-单形的系数。例如，我们有 $(m_1-m_2)(p_0{p}_1)$，因此 $m_1-m_2=0$。类似地，

$$\begin{array}{l}-m_1+m_5=0,m_4-m_5=0,m_2-m_3=0,m_1-m_8=0,\\ m_9-m_{10}=0,-m_2+m_{10}=0,m_5-m_6=0,m_6-m_7=0,\\ m_6+m_{10}=0.\end{array}$$

这十个条件当且仅当 $m_i=0$，$1\le i\le 10$ 时满足。这意味着闭链群 $Z_2(K)$ 是平凡的，且我们有

$$H_2(K)=Z_2(K)/B_2(K)\cong \{0\}.\text{\hspace{1em}(3.46)}$$

在计算 $H_1(K)$ 之前，我们从略微不同的角度来考察 $H_2(K)$。让我们把 $K$ 中所有的 2-单形以相同的系数相加，

$$z\equiv \sum _{i=1}^{10}m{\sigma }_{2,i}m\in \mathbb{Z}.$$

注意 $K$ 的每个 1-单形恰好是两个 2-单形的公共面。因此，$z$ 的边界为

射影平面的一维同调群

推导 · 作者通过构造 2-链 $z$ 并证明其偶数倍为边界、自身为闭链，得出射影平面三角剖分 $K$ 的一维同调群 $H_1(K)\cong {\mathbb{Z}}_2$。

概念：射影平面的一维同调群（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

Thus,  $z$  is a cycle and  $z + z$  is homologous to 0. Hence, we find that

H _ {1} (K) = \{[ z ] | [ z ] + [ z ] \sim [ 0 ] \} \cong \mathbb {Z} _ {2}.

PDF 文件页：133；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0305；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

注意 $K$ 的每个 1-单形恰好是两个 2-单形的公共面。因此，$z$ 的边界为

$${\partial }_{2}z=2m\left(p_3{p}_5\right)+2m\left(p_5{p}_4\right)+2m\left(p_4{p}_3\right).\text{\hspace{1em}(3.47)}$$

于是，若 $z\in Z_2(K)$，则 $m$ 必须为零，我们像之前一样得到 $Z_2(K)=\{0\}$。这一观察显著简化了 $H_1(K)$ 的计算。注意任何 1-闭链都同调于下式的某个倍数：

$$z=\left(p_3{p}_5\right)+\left(p_5{p}_4\right)+\left(p_4{p}_3\right)$$

参见例 3.10。此外，方程 (3.47) 表明 $z$ 的偶数倍是某个 2-链的边界。因此，$z$ 是一个闭链，且 $z+z$ 同调于 0。由此我们发现

$$H_1(K)=\{[z]|[z]+[z]\sim [0]\}\cong {\mathbb{Z}}_2.\text{\hspace{1em}(3.48)}$$

这个例子表明，同调群不一定是自由阿贝尔群，而可能具有有限生成阿贝尔群的完整结构。由于 $K$ 是连通的，我们有 $H_0(K)\cong \mathbb{Z}$。

连通单纯复形的零维同调群

回指 · 因为 $K$ 是连通的，所以 $H_0(K)\cong \mathbb{Z}$。

概念：连通单纯复形的零维同调群（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

Since  $K$  is connected, we have  $H_0(K) \cong \mathbb{Z}$ .

PDF 文件页：133；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0305；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

于是，若 $z\in Z_2(K)$，则 $m$ 必须为零，我们像之前一样得到 $Z_2(K)=\{0\}$。这一观察显著简化了 $H_1(K)$ 的计算。注意任何 1-闭链都同调于下式的某个倍数：

$$z=\left(p_3{p}_5\right)+\left(p_5{p}_4\right)+\left(p_4{p}_3\right)$$

参见例 3.10。此外，方程 (3.47) 表明 $z$ 的偶数倍是某个 2-链的边界。因此，$z$ 是一个闭链，且 $z+z$ 同调于 0。由此我们发现

$$H_1(K)=\{[z]|[z]+[z]\sim [0]\}\cong {\mathbb{Z}}_2.\text{\hspace{1em}(3.48)}$$

这个例子表明，同调群不一定是自由阿贝尔群，而可能具有有限生成阿贝尔群的完整结构。由于 $K$ 是连通的，我们有 $H_0(K)\cong \mathbb{Z}$。

亏格 g 曲面的同调群

推导 · 作者将分析推广到亏格为 $g$ 的曲面 ${\Sigma }_g$：$H_2$ 由表面生成；$H_1({\Sigma }_g)$ 由 $2g$ 条典范曲线 $\{a_i,b_i\}$ 生成，同构于 $2g$ 个 $\mathbb{Z}$ 的直和；因连通性 $H_0\cong \mathbb{Z}$。

概念：亏格 g 曲面的同调群（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

extend our analysis to the torus  $\Sigma_g$  of genus  $g$

The  $2g$  curves  $\{a_i, b_i\}$  are called the canonical system of curves on  $\Sigma_g$

PDF 文件页：134；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0314；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

现在很容易将我们的分析推广到亏格为 $g$ 的环面 ${\Sigma }_g$。由于 ${\Sigma }_g$ 没有边界且不存在 3-单形，表面 ${\Sigma }_g$ 本身自由生成 $H_2(T^2)\cong \mathbb{Z}$。第一同调群 $H_1({\Sigma }_g)$ 由那些不是某个区域边界的环生成。图 3.11 展示了生成元的标准选取。我们发现

$$\begin{array}{l}{H}_1\left({\Sigma }_g\right)=\left\{i_1\left[a_1\right]+j_1\left[b_1\right]+\cdots +i_g\left[a_g\right]+j_g\left[b_g\right]\right\}\\ \cong \underset{2g}{\underbrace{\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}\oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}}}.\end{array}\text{\hspace{1em}(3.49)}$$

由于 ${\Sigma }_g$ 是连通的，$H_0({\Sigma }_g)\cong \mathbb{Z}$。注意 $a_i(b_i)$ 与图 2.12 的边 $a_i(b_i)$ 同调。这 $2g$ 条曲线 $\{a_i,b_i\}$ 被称为 ${\Sigma }_g$ 上的典范曲线系。

克莱因瓶同调群计算的开始

引入 · 作者引入克莱因瓶的三角剖分（例 3.13），指出其同调群计算类似于射影平面。由于 $B_2(K)=0$，故 $H_2(K)=Z_2(K)$。考察由所有 2-单形以相同系数组成的 2-链 $z$，其内部 1-单形抵消。

概念：克莱因瓶同调群计算的开始（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

Figure 3.12 is a triangulation of the Klein bottle. Computations of the homology groups are much the same as those of the projective plane.

PDF 文件页：134；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0314；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

例 3.13。图 3.12 是克莱因瓶的一个三角剖分。其同调群的计算与射影平面的计算非常相似。由于 $B_2(K)=0$，我们有 $H_2(K)=Z_2(K)$。设 $z\in Z_2(K)$。如果 $z$ 是 $K$ 的所有 2-单形具有相同系数的组合，$z=\sum m{\sigma }_{2,i}$，则内部的 1-单形相互抵消，只剩下外部的 1-单形

$${\partial }_{2}z=-2ma$$

其中 $a=(p_0{p}_1)+(p_1{p}_2)+(p_2{p}_0)$。为了使 ${\partial }_{2}z$ 为 0，整数 $m$ 必须为零，于是我们有

$$H_2(K)=Z_2(K)\cong \{0\}.\text{\hspace{1em}(3.50)}$$

为了计算 $H_1(K)$，我们首先注意到，根据我们在环面上的经验，每一个 1-闭链都同调于 $ia+jb$，其中 $i,j\in \mathbb{Z}$。为了使一个 2-链的边界仅由 $a$ 和 $b$ 组成，$K$ 中的所有 2-单形必须以相同的系数相加。结果，对于这样一个 2-链 $z=\sum m{\sigma }_{2,i}$，我们有 $\partial z=2ma$。这表明 $2ma\sim 0$。因此，$H_1(K)$ 由两个闭链 $a$ 和 $b$ 生成，使得 $a+a=0$，即

克莱因瓶的零维同调群

回指 · 因为 $K$（克莱因瓶的三角剖分）是连通的，所以 $H_0(K)\cong \mathbb{Z}$。

概念：连通单纯复形的零维同调群（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

We obtain  $H_0(K) \cong \mathbb{Z}$  since  $K$  is connected.

PDF 文件页：135；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0326；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

其中 $a=(p_0{p}_1)+(p_1{p}_2)+(p_2{p}_0)$。为了使 ${\partial }_{2}z$ 为 0，整数 $m$ 必须为零，于是我们有

$$H_2(K)=Z_2(K)\cong \{0\}.\text{\hspace{1em}(3.50)}$$

为了计算 $H_1(K)$，我们首先注意到，根据我们在环面上的经验，每一个 1-闭链都同调于 $ia+jb$，其中 $i,j\in \mathbb{Z}$。为了使一个 2-链的边界仅由 $a$ 和 $b$ 组成，$K$ 中的所有 2-单形必须以相同的系数相加。结果，对于这样一个 2-链 $z=\sum m{\sigma }_{2,i}$，我们有 $\partial z=2ma$。这表明 $2ma\sim 0$。因此，$H_1(K)$ 由两个闭链 $a$ 和 $b$ 生成，使得 $a+a=0$，即

$$H_1(K)=\{i[a]+j[b]|i,j\in \mathbb{Z}\}\cong {\mathbb{Z}}_2\oplus \mathbb{Z}.\text{\hspace{1em}(3.51)}$$

由于 $K$ 是连通的，我们得到 $H_0(K)\cong \mathbb{Z}$。

链群的直和分解

推导 · 作者证明了当 $K$ 为若干连通分支的不交并时，$r$-链群 $C_r(K)$ 可分解为各分支 $r$-链子群的直和。

概念：链群（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

We first note that an  $r$ -chain group is consistently separated into a direct sum of  $N$ $r$ -chain subgroups.

Then  $C_r(K)$  is separated into a direct sum of subgroups,

PDF 文件页：136；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0333；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

定理 3.6。设 $K$ 是 $N$ 个连通分支的不交并，$K=K_1\cup K_2\cup \cdots \cup K_N$，其中 $K_i\cap K_j=\varnothing$。则

$$H_r(K)=H_r\left(K_1\right)\oplus H_r\left(K_2\right)\oplus \cdots \oplus H_r\left(K_N\right).\text{\hspace{1em}(3.52)}$$

证明。我们首先注意到，一个 $r$-链群可以一致地分解为 $N$ 个 $r$-链子群的直和。令

$$C_r(K)=\left\{\sum _{i=1}^{I_r}{c}_i{\sigma }_{r,i}|c_i\in \mathbb{Z}\right\}$$

其中 $I_r$ 是 $K$ 中线性无关的 $r$-单形的个数。总可以重新排列 ${\sigma }_i$，使得属于 $K_1$ 的那些 $r$-单形排在最前，接着是属于 $K_2$ 的那些，依此类推。于是 $C_r(K)$ 被分解为若干子群的直和，

$$C_r(K)=C_r\left(K_1\right)\oplus C_r\left(K_2\right)\oplus \cdots \oplus C_r\left(K_N\right).$$

对 $Z_r(K)$ 和 $B_r(K)$ 也可进行同样的分解，即

$$Z_r(K)=Z_r\left(K_1\right)\oplus Z_r\left(K_2\right)\oplus \cdots \oplus Z_r\left(K_N\right)$$ $$B_r(K)=B_r\left(K_1\right)\oplus B_r\left(K_2\right)\oplus \cdots \oplus B_r\left(K_N\right).$$

挠子群

引入 · 作者将同调群 $H_r(K)$ 分解式中除自由阿贝尔部分外的后续 $p$ 个因子称为 $H_r(K)$ 的挠子群，它在某种意义上检测多面体 $|K|$ 中的“扭转”。

概念：挠子群（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

the next  $p$  factors are called the torsion subgroup of  $H_{r}(K)$

the torsion subgroup detects the 'twisting' in the polyhedron  $|K|$

PDF 文件页：137；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0349；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

$Z_r(K)$ 和 $B_r(K)$ 是自由阿贝尔群，因为它们是自由阿贝尔群 $C_r(K)$ 的子群。但这并不意味着 $H_r(K)=Z_r(K)/B_r(K)$ 也是自由阿贝尔的。事实上，根据定理 3.2，$H_r(K)$ 的最一般形式为

$$H_r(K)\cong \underset{f}{\underbrace{\mathbb{Z}\oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}}}\oplus {\mathbb{Z}}_{k_1}\oplus \cdots \oplus {\mathbb{Z}}_{k_p}.\text{\hspace{1em}(3.54)}$$

从我们的经验可以清楚地看出，$H_r(K)$ 的生成元个数计算了 $|K|$ 中 $(r+1)$ 维洞的数目。前 $f$ 个因子构成一个秩为 $f$ 的自由阿贝尔群，而接下来的 $p$ 个因子称为 $H_r(K)$ 的挠子群。例如，射影平面有 $H_1(K)\cong {\mathbb{Z}}_2$，而克莱因瓶有 $H_1(K)\cong \mathbb{Z}\oplus {\mathbb{Z}}_2$。在某种意义上，挠子群检测出多面体 $|K|$ 中的“扭转”。我们现在来说明为什么带 $\mathbb{Z}$-系数的同调群比带 ${\mathbb{Z}}_2$-或 $\mathbb{R}$-系数的同调群更可取。由于 ${\mathbb{Z}}_2$ 没有非平凡子群，挠子群永远无法被识别出来。类似地，如果采用 $\mathbb{R}$-系数，我们也看不到挠子群，因为对任意 $m\in \mathbb{Z}-\{0\}$ 都有 $\mathbb{R}/m\mathbb{R}\cong \{0\}$。[对于任意 $a,b\in \mathbb{R}$，存在数 $c\in \mathbb{R}$ 使得 $a-b=mc$。] 若 $H_r(K;\mathbb{Z})$ 由 (3.54) 给出，则 $H_r(K;\mathbb{R})$ 为

$$H_r(K;\mathbb{R})\cong \underset{f}{\underbrace{\mathbb{R}\oplus \mathbb{R}\oplus \cdots \oplus \mathbb{R}}}.\text{\hspace{1em}(3.55)}$$

贝蒂数

引入 · 作者定义单纯复形 $K$ 的第 $r$ 个贝蒂数 $b_r(K)$ 为 $H_r(K;\mathbb{R})$ 的维数，它等于 $H_r(K;\mathbb{Z})$ 的自由阿贝尔部分的秩。

概念：贝蒂数

原文（OCR，未逐页核实）

The  $r$ th Betti number  $b_{r}(K)$  is defined by

$b_{r}(K)$  is the rank of the free Abelian part of  $H_{r}(K; \mathbb{Z})$

PDF 文件页：137；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0349；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

定义 3.6。设 $K$ 是一个单纯复形。第 $r$ 个贝蒂数 $b_r(K)$ 定义为

$$b_r(K)\equiv \dim H_r(K;\mathbb{R}).\text{\hspace{1em}(3.56)}$$

换言之，$b_r(K)$ 是 $H_r(K;\mathbb{Z})$ 的自由阿贝尔部分的秩。

欧拉-庞加莱定理

引入 · 设 $K$ 是一个 $n$ 维单纯复形，$I_r$ 是 $K$ 中 $r$-单形的个数，则欧拉示性数 $\chi (K)\equiv {\sum }_{r=0}^n(-1{)}^r{I}_r={\sum }_{r=0}^n(-1{)}^r{b}_r(K)$。

概念：欧拉-庞加莱定理（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

Theorem 3.7. (The Euler-Poincaré theorem) Let  $K$  be an  $n$ -dimensional simplicial complex and let  $I_r$  be the number of  $r$ -simplexes in  $K$ . Then

\chi (K) \equiv \sum_ {r = 0} ^ {n} (- 1) ^ {r} I _ {r} = \sum_ {r = 0} ^ {n} (- 1) ^ {r} b _ {r} (K). \tag {3.57}

PDF 文件页：137；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0361；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

定理 3.7。（欧拉-庞加莱定理）设 $K$ 是一个 $n$ 维单纯复形，并设 $I_r$ 是 $K$ 中 $r$-单形的个数。则

$$\chi (K)\equiv \sum _{r=0}^n(-1{)}^r{I}_r=\sum _{r=0}^n(-1{)}^r{b}_r(K).\text{\hspace{1em}(3.57)}$$

[注：第一个等式定义了一般多面体 $|K|$ 的欧拉示性数。注意这是对第 2.4 节中为曲面定义的欧拉示性数的推广。]

一般多面体的欧拉示性数

引入 · 一般多面体 $|K|$ 的欧拉示性数由 $\chi (K)\equiv {\sum }_{r=0}^n(-1{)}^r{I}_r$ 定义，这是对第 2.4 节中为曲面定义的欧拉示性数的推广。

概念：欧拉示性数

原文（OCR，未逐页核实）

[Remark: The first equality defines the Euler characteristic of a general polyhedron  $|K|$ . Note that this is the generalization of the Euler characteristic defined for surfaces in section 2.4.]

PDF 文件页：137；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0361；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

定理 3.7。（欧拉-庞加莱定理）设 $K$ 是一个 $n$ 维单纯复形，并设 $I_r$ 是 $K$ 中 $r$-单形的个数。则

$$\chi (K)\equiv \sum _{r=0}^n(-1{)}^r{I}_r=\sum _{r=0}^n(-1{)}^r{b}_r(K).\text{\hspace{1em}(3.57)}$$

[注：第一个等式定义了一般多面体 $|K|$ 的欧拉示性数。注意这是对第 2.4 节中为曲面定义的欧拉示性数的推广。]

欧拉示性数的拓扑不变性

推导 · 由于贝蒂数是拓扑不变量，$\chi (K)$ 在同胚下也保持不变；若 $f:|K|\to X$ 和 $g:|K^{\prime }|\to X$ 是 $X$ 的两个三角剖分，则 $\chi (K)=\chi (K^{\prime })$，因此可以用任意三角剖分的 $\chi (K)$ 来定义 $X$ 的欧拉示性数。

概念：欧拉示性数的拓扑不变性（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

Since the Betti numbers are topological invariants,  $\chi(K)$  is also conserved under a homeomorphism. In particular, if  $f: |K| \to X$  and  $g: |K'| \to X$  are two triangulations of  $X$ , we have  $\chi(K) = \chi(K')$ . Thus, it makes sense to define the Euler characteristic of  $X$  by  $\chi(K)$  for any triangulation  $(K, f)$  of  $X$ .

PDF 文件页：138；来源：nakahara-mineru-bd76b709；单元：nakahara-3:u0361；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

其中 $B_{-1}(K)$ 被定义为平凡的。我们还有

$$\begin{array}{l}{b}_r(K)=\dim H_r(K;\mathbb{R})=\dim \left(Z_r(K;\mathbb{R})/B_r(K;\mathbb{R})\right)\\ =\dim Z_r(K;\mathbb{R})-\dim B_r(K;\mathbb{R}).\end{array}$$

由这些关系，我们得到

$$\begin{array}{l}\chi (K)={\sum }_{r=0}^n(-1{)}^r{I}_r={\sum }_{r=0}^n(-1{)}^r(\dim Z_r(K;\mathbb{R})+\dim B_{r-1}(K;\mathbb{R}))\\ ={\sum }_{r=0}^n\left\{(-1{)}^r\dim Z_r(K;\mathbb{R})-(-1{)}^r\dim B_r(K;\mathbb{R})\right\}\\ ={\sum }_{r=0}^n(-1{)}^r{b}_r(K).\end{array}$$

由于贝蒂数是拓扑不变量，$\chi (K)$ 在同胚下也是保持不变的。特别地，如果 $f:|K|\to X$ 和 $g:|K^{\prime }|\to X$ 是 $X$ 的两个三角剖分，我们有 $\chi (K)=\chi (K^{\prime })$。因此，对于 $X$ 的任意三角剖分 $(K,f)$，用 $\chi (K)$ 来定义 $X$ 的欧拉示性数是有意义的。

未能定位的关系（46）

• 使用 · 群同态：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 使用 · 商群：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 使用 · 模H的等价关系（临时）：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 使用 · 商群：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 使用 · 商群：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 使用 · 同态基本定理（临时）：同一单元中没有引用同一原文的陈述
• 使用 · 商群：同一单元中没有引用同一原文的陈述
• 使用 · 有限生成（临时）：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 使用 · 自由阿贝尔群（临时）：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 使用 · 循环群（临时）：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 使用 · 有限生成阿贝尔群基本定理（临时）：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 使用 · 引理3.2（临时）：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 使用 · 单形（临时）：同一单元中没有引用同一原文的陈述
• 细化 · 面（临时）：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 使用 · 重心坐标（临时）：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 使用 · 单纯复形（临时）：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 使用 · 多面体（临时）：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 使用 · 可三角剖分空间（临时）：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 使用 · 有向单形的定向关系（临时）：同一单元中没有引用同一原文的陈述
• 使用 · 排列符号关系（临时）：同一单元中没有引用同一原文的陈述
• 使用 · 单纯复形（临时）：同一单元中没有引用同一原文的陈述
• 细化 · 链群（临时）：同一单元中没有引用同一原文的陈述
• 细化 · 边界定向符号规则（临时）：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 使用 · 边界群（临时）：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 使用 · 边界群（临时）：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 细化 · 同调群：同一单元中没有引用同一原文的陈述
• 使用 · 同态基本定理（临时）：同一单元中没有引用同一原文的陈述
• 使用 · 同态基本定理（临时）：同一单元中没有引用同一原文的陈述
• 使用 · 四面体表面的三角剖分（临时）：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 使用 · 连通单纯复形的零维同调群（临时）：同一单元中没有引用同一原文的陈述
• 回指 · 同态基本定理（临时）：同一单元中没有引用同一原文的陈述
• 使用 · 莫比乌斯带的一维同调群（临时）：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 使用 · 莫比乌斯带的一维同调群（临时）：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 回指 · 莫比乌斯带的一维同调群（临时）：同一单元中没有引用同一原文的陈述
• 细化 · 射影平面的二维同调群计算（临时）：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 细化 · 射影平面的二维同调群计算（临时）：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 使用 · 射影平面的一维同调群（临时）：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 回指 · 射影平面的二维同调群计算（临时）：同一单元中没有引用同一原文的陈述
• 使用 · 亏格 g 曲面的同调群（临时）：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 回指 · 克莱因瓶同调群计算的开始（临时）：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 细化 · 克莱因瓶同调群计算的开始（临时）：同一单元中没有引用同一原文的陈述
• 使用 · 挠子群（临时）：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 使用 · 贝蒂数：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 使用 · 欧拉-庞加莱定理（临时）：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 细化 · 欧拉示性数：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 使用 · 欧拉示性数的拓扑不变性（临时）：本书中尚无关于该概念的更早陈述