自由真空振幅的高斯形式（临时概念）

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原文用语： $⟨ Φ∣0 ⟩$ ； $∣0 ⟩$ ； $E (x, y)$ ；Gaussian

可能与下列概念是同一概念，尚未判定：自由真空与自由量子场（临时）。

按作者与版本查阅

推导：考虑自由理论并限制到 $∣ f ⟩ = ∣ i ⟩ = ∣0 ⟩$ ，这足以导出 $i ε$ ；真空振幅 $⟨ Φ∣0 ⟩$ 中 $∣0 ⟩$ 由 $a_{p} ∣0 ⟩ = 0$ 定义。单谐振子基态波函数为 $ϕ (x) = ⟨ x ∣0 ⟩ = e^{- \frac{1}{2} x^{2}}$ （相差常数），自由场论版本也是高斯的： $⟨ 0∣Φ ⟩ = N exp (- \frac{1}{2} \int d^{3} x d^{3} y E (x, y) ϕ (x) ϕ (y))$ ，其中 $E (x, y) = \int \frac{d ^{3} p}{( 2 π ) ^{3}} e^{i p (x - y)} ω_{p}$ 。
回指：此时已有式 (14.67)： $⟨ 0∣Φ (t = + \infty)⟩ ⟨ Φ (t = - \infty) ∣0 ⟩ = ∣ N ∣^{2} exp (- \frac{1}{2} \int d^{3} x d^{3} y [ϕ (x, \infty) ϕ (y, \infty) + ϕ (x, - \infty) ϕ (y, - \infty)] E (x, y))$ 。
推导：真空振幅于是为式 (14.70)： $⟨ 0∣0 ⟩ = lim_{ε \to 0^{+}} ∣ N ∣^{2} \int D ϕ \times exp (\frac{- i}{2} \int d^{4} x \int d^{3} y \int \frac{d ^{3} p}{( 2 π ) ^{3}} e^{i p (x - y)} ϕ (y, t) (□ + m^{2} - i ε ω_{p}) ϕ (x, t))$ ；对于 $ε \to 0$ ， $i ε ω_{p}$ 可替换为 $i ε$ ，得到式 (14.71)： $⟨ 0∣0 ⟩ = lim_{ε \to 0^{+}} ∣ N ∣^{2} \int D ϕ exp (\frac{- i}{2} \int d^{4} x ϕ (x) (□ + m^{2} - i ε) ϕ (x))$ 。

来源与记录

建立于 Schwartz · local-experiment 的书内身份 c-c91ca2543b00b74df743。

永久标识：urn:uuid:2affb5c6-aef4-47b9-9e70-f73b665d50f0；机器入库总览