Schwartz 第 14 章：路径积分 · 机器入库陈述

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路径积分表述

引入 · 存在一种完全不同的做量子场论的方法，称为路径积分表述。

概念：路径积分

原文（OCR，未逐页核实）

There is a completely different way to do quantum field theory called the path integral formulation.

PDF 文件页：145；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-14:u0000；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

到目前为止，我们一直使用正则量子化方法来研究量子场论，该方法基于产生和湮灭算符。还有一种完全不同的做量子场论的方法，称为路径积分表述。它说

$$⟨\Omega |T\left\{\varphi \left(x_1\right)\dots \varphi \left(x_n\right)\right\}|\Omega ⟩=\frac{\int \mathcal{D}\varphi \varphi \left(x_1\right)\cdots \varphi \left(x_n\right)e^{iS[\varphi ]}}{\int \mathcal{D}\varphi e^{iS[\varphi ]}}.\text{\hspace{1em}(14.1)}$$

左边正是我们用来计算 $S$ 矩阵元的那种时间排序乘积。右边的 $\mathcal{D}\varphi$ 表示对所有可能的经典场构型 $\varphi (\vec{x},t)$ 积分，其相位由在该场构型下求值的经典作用量给出。

惠更斯原理

引入 · 惠更斯在 1678 年提出，为了计算波的传播，可以把波前上的每一点视为一个新扰动的中心以及波的新源。

概念：惠更斯原理（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

Huygens proposed in 1678 that to calculate the propagation of waves you can treat each point in the wavefront as the center of a fresh disturbance and a new source for the waves.

PDF 文件页：145；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-14:u0000；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

经典物理中有一个非常类似的东西，称为惠更斯原理。惠更斯在 1678 年提出，为了计算波的传播，你可以把波前上的每一点视为一个新扰动的中心以及波的新源。一个非常直观的例子是存在障碍物的区域中的表面波，如图 14.2 所示。当波穿过屏障之间的间隙时，一个新波从间隙开始并继续传播。这很有用，例如，在思考衍射时，你可以把平面波传播到缝处，然后从每条缝重新开始传播波。实际上，直到 1816 年，菲涅耳才意识到，你可以把波的振幅相加，并按照距离除以波长给出的相位加权，以解释经典双缝允许在初始点和最终点之间有两条路径。增加更多的屏和更多的缝允许更多样的路径。无限多的屏和缝使振幅成为所有可能路径之和，正如路径积分所概括的那样。

路径积分量子化

引入 · 路径积分量子化在许多方面比正则量子化更简单，但它掩盖了一些物理。

概念：路径积分量子化（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

Path integral quantization is in many ways simpler than canonical quantization, but it obscures some of the physics.

PDF 文件页：146；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-14:u0000；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

思考路径积分的一种方式是，它们把物质的波性视为首要的，而正则方法则完全关于粒子。路径积分量子化在许多方面比正则量子化更简单，但它掩盖了一些物理。如今，人们常常直接从路径积分出发，用它来定义量子理论。路径积分对于量化非微扰效应特别有用。例子包括格点 QCD、瞬子、黑洞等。另一方面，对于离散量（如能量本征态）的计算，以及许多非相对论问题，正则形式要实用得多。

路径积分推导

引入 · 在本章中，作者将首先以传统方式从正则方法推导路径积分，然后进行两种替代推导：证明路径积分重现时间排序乘积的同一微扰级数（费曼规则），并证明施温格-戴森方程得到满足；作为应用，将非微扰地证明QED中的规范不变性和沃德恒等式。

概念：路径积分推导（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

In this chapter, we will first derive the path integral from the canonical approach in the traditional way.

reproduce the same perturbation series for time-ordered products (Feynman rules), and also show that the Schwinger-Dyson equations are satisfied.

PDF 文件页：146, 147；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-14:u0013；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

在本章中，我们将首先以传统方式从正则方法推导路径积分。然后我们将进行两种替代推导：我们将证明我们重现时间排序乘积的同一微扰级数（费曼规则），并且还证明施温格-戴森方程得到满足。作为应用，我们将通过在 QED 中非微扰地证明规范不变性和沃德恒等式，来展示路径积分的威力。

费曼传播子的历史来源

回指 · 费曼传播子来自费曼关于粒子在时间中前进和后退的愿景以及他的路径积分；费曼知道可以把推迟传播子和超前传播子求和成一个对象（费曼传播子），而施温格和朝永则会分别把它们相加。

概念：费曼传播子的历史来源（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

The diagrams, with loops, and Feynman propagators came from Feynman's vision of particles going forwards and backwards in time, and from his path integral.

Feynman knew that you could sum the retarded and advanced propagators together into one object (the Feynman propagator), while Schwinger and Tomonaga would add them separately.

PDF 文件页：147；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-14:u0013；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

大约在1950年之前，大多数QED计算只是用老式的微扰理论完成的。施温格（以及差不多同时期的朝永振一郎）弄清楚了如何使用相互作用绘景系统地进行计算，并将该理论应用于辐射修正。特别是，这种方法被用于1947/8年兰姆位移和电子磁矩的开创性计算中。当时没有图。带有圈和费曼传播子的图来自费曼关于粒子在时间中前进和后退的愿景，以及来自他的路径积分。例如，费曼知道你可以把推迟传播子和超前传播子求和成一个对象（费曼传播子），而施温格和朝永则会分别把它们相加。

路径积分推导计划

引入 · 推导路径积分最简单的方法是从非相对论量子力学开始；在推导之前，将先推导一个用于高斯积分的简单数学公式，该公式几乎在每一个路径积分计算中都会用到；然后重现非相对论量子力学中路径积分的推导，量子场论的推导则或多或少是到连续统的直截了当的推广。

概念：路径积分推导计划（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

The easiest way to derive the path integral is to start with non-relativistic quantum mechanics.

Before deriving it, we will work out a simple mathematical formula for Gaussian integrals that is used in practically every path integral calculation.

PDF 文件页：148；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-14:u0013；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

推导路径积分最简单的方法是从非相对论量子力学开始。在推导它之前，我们将推导出一个用于高斯积分的简单数学公式，它几乎在每一个路径积分计算中都会用到。然后我们重现非相对论量子力学中路径积分的推导，你很可能已经见过。量子场论的推导则或多或少是到连续统的直截了当的推广。

高斯积分

引入 · 一般的一维高斯积分定义为 $\mathcal{I}={\int }_{-\infty }^{\infty }dp{e}^{-\frac{1}{2}a{p}^2+Jp}$。

概念：高斯积分（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

A general one-dimensional Gaussian integral is defined as

\mathcal {I} = \int_ {- \infty} ^ {\infty} d p e ^ {- \frac {1}{2} a p ^ {2} + J p}.

PDF 文件页：148；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-14:u0025；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

一般的一维高斯积分定义为

$$\mathcal{I}={\int }_{-\infty }^{\infty }dp{e}^{-\frac{1}{2}a{p}^2+Jp}.\text{\hspace{1em}(14.2)}$$

为计算这个积分，我们首先配方

$$\mathcal{I}={\int }_{-\infty }^{\infty }dp{e}^{-\frac{1}{2}a{\left(p-\frac{J}{a}\right)}^2+\frac{J^2}{2a}},\text{\hspace{1em}(14.3)}$$

然后作平移 $p\to p+\frac{J}{a}$。测度在此平移下不变，这意味着

$$\mathcal{I}=e^{\frac{J^2}{2a}}{\int }_{-\infty }^{\infty }dp{e}^{-\frac{1}{2}a{p}^2}=\frac{1}{\sqrt{a}}{e}^{\frac{J^2}{2a}}\int dp{e}^{-\frac{1}{2}{p}^2}.\text{\hspace{1em}(14.4)}$$

后文使用：高斯积分。

高斯积分

回指 · 对于多维积分，只需推广到多个 $p_i$（可为复数），$a{p}^2$ 替换为 $p_i^{\star }{a}_{ij}{p}_j={\vec{p}}^{†}\mathbf{A}\vec{p}$，其中 $\mathbf{A}$ 为矩阵；对角化 $\mathbf{A}$ 后积分变为对 $p_i$ 的积分的乘积，结果是一维高斯积分的乘积，其中 $a$ 被 $\mathbf{A}$ 的一个本征值取代。

概念：高斯积分（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

For multi-dimensional integrals, we need only generalize to many  $p_i$ , which may be complex.

After diagonalizing  $\mathbf{A}$  the integral becomes just a product of integrals over the  $p_i$ , and the result is the product of one-dimensional Gaussian integrals, with  $a$  being replaced by an eigenvalue of  $\mathbf{A}$ .

PDF 文件页：149；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-14:u0036；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

现在我们用一个技巧来计算它：

$$\begin{array}{l}{\left[\int dp{e}^{-\frac{1}{2}{p}^2}\right]}^2=\int dx\int dy{e}^{-\frac{1}{2}{x}^2}{e}^{-\frac{1}{2}{y}^2}\\ =2\pi {\int }_0^{\infty }rdr{e}^{-\frac{1}{2}{r}^2}=\pi {\int }_0^{\infty }d{r}^2{e}^{-\frac{1}{2}{r}^2}=2\pi ,\end{array}\text{\hspace{1em}(14.5)}$$

所以，

$${\int }_{-\infty }^{\infty }dp{e}^{-\frac{1}{2}a{p}^2+Jp}=\sqrt{\frac{2\pi }{a}}{e}^{\frac{J^2}{2a}}.\text{\hspace{1em}(14.6)}$$

对于多维积分，我们只需推广到多个 $p_i$，它们可以是复数。于是 $a{p}^2\to p_i^{\star }{a}_{ij}{p}_j={\vec{p}}^{†}\mathbf{A}\vec{p}$，其中 $\mathbf{A}$ 是一个矩阵。在对角化 $\mathbf{A}$ 之后，积分就变成对 $p_i$ 的积分的乘积，而结果是一维高斯积分的乘积，其中 $a$ 被 $\mathbf{A}$ 的一个本征值所取代。也就是说，

$${\int }_{-\infty }^{\infty }d\vec{p}{e}^{-\frac{1}{2}{\vec{p}}^{†}\mathbf{A}\vec{p}+{\vec{J}}^{†}\vec{p}}=\sqrt{\frac{(2\pi {)}^n}{\det \mathbf{A}}}{e}^{\frac{1}{2}{\vec{J}}^{†}{\mathbf{A}}^{-1}\vec{J}},\text{\hspace{1em}(14.7)}$$

其中 $\mathbf{A}$ 来自对角基中本征值的乘积，而 $n$ 是 $\vec{p}$ 的维数。

使用前文：高斯积分。模型判断为使用；原文：the result is the product of one-dimensional Gaussian integrals

后文使用：高斯积分。

量子力学中的路径积分

引入 · 本节考虑一维非相对论量子力学，其哈密顿量为 $\hat{H}(t)=\frac{{\hat{p}}^2}{2m}+V(\hat{x},t)$，其中 $\hat{H},\hat{p}$ 和 $\hat{x}$ 是作用在希尔伯特空间上的算符，$t$ 只是一个数。

概念：量子力学中的路径积分（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

Consider one-dimensional non-relativistic quantum mechanics with the Hamiltonian given by

Here  $\hat{H},\hat{p}$  and  $\hat{x}$  are operators acting on the Hilbert space, and  $t$  is just a number.

PDF 文件页：149；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-14:u0036；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

考虑一维非相对论量子力学，其哈密顿量由下式给出

$$\hat{H}(t)=\frac{{\hat{p}}^2}{2m}+V(\hat{x},t).\text{\hspace{1em}(14.8)}$$

这里 $\hat{H},\hat{p}$ 和 $\hat{x}$ 是作用在希尔伯特空间上的算符，而 $t$ 只是一个数。

时间切片

引入 · 若 $\tilde{H}(t)$ 只是 $t$ 的光滑函数，则只能对无穷小时间间隔解出矩阵元；因此将时间分解为 $n$ 个小区间 $\delta t$，并定义 $t_j=t_i+j\delta t$ 和 $t_n=t_f$。

概念：时间切片（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

If instead we only assume  $\tilde{H}(t)$  is a smooth function of  $t$ , then we can only solve for the matrix element this way for infinitesimal time intervals.

So, let us break this down into  $n$  small time intervals  $\delta t$  and define  $t_j = t_i + j\delta t$  and  $t_n = t_f$ .

PDF 文件页：149；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-14:u0036；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

假设我们的初始态 $|i⟩=|x_i⟩$ 在时刻 $t_i$ 定域于 $x_i$，而我们想把它投影到在时刻 $t_f$ 定域于 $x_f$ 的末态 $⟨f|=⟨x_f|$ 上。如果 $\hat{H}$ 不依赖于 $t$，那么我们就可以直接按如下方式解出矩阵元

$$⟨f|i⟩=⟨x_f|e^{-i\left(t_f-t_i\right)\hat{H}}|x_i⟩.\text{\hspace{1em}(14.9)}$$

反之，如果我们只假设 $\tilde{H}(t)$ 是 $t$ 的光滑函数，那么我们就只能对无穷小时间间隔按这种方式解出矩阵元。所以，让我们把它分解为 $n$ 个小区间 $\delta t$，并定义 $t_j=t_i+j\delta t$ 和 $t_n=t_f$。那么，

$$⟨f|i⟩=\int d{x}_n\dots d{x}_1⟨x_f|e^{-iH\left(t_f\right)\delta t}|x_n⟩⟨x_n|\dots |x_2⟩⟨x_2|e^{-iH\left(t_2\right)\delta t}|x_1⟩⟨x_1|e^{-iH\left(t_1\right)\delta t}|x_i⟩.\text{\hspace{1em}(14.10)}$$

每个矩阵元都可以通过插入一组完备的动量本征态并利用 $⟨p|x⟩=e^{-ipx}$ 来求值：

$$\begin{array}{l}⟨x_{j+1}|e^{-iH\delta t}|x_j⟩=\int \frac{dp}{2\pi }⟨x_{j+1}|p⟩⟨p|e^{-i\left[\frac{{\dot{p}}^2}{2m}+V({\hat{x}}_j,t_j)\right]\delta t}|x_j⟩\\ =e^{-iV\left(x_j,t_j\right)\delta t}\int \frac{dp}{2\pi }{e}^{-i\frac{p^2}{2m}\delta t}{e}^{ip\left(x_{j+1}-x_j\right)}.\end{array}\text{\hspace{1em}(14.11)}$$

现在我们可以利用式 (14.6) 中的高斯积分 $\int dp\exp \left(-\frac{1}{2}a{p}^2+Jp\right)=\sqrt{\frac{2\pi }{a}}\exp \left(\frac{J^2}{2a}\right)$，取 $a=i\frac{\delta t}{m}$ 和 $J=i(x_{j+1}-x_j)$，得到

高斯积分

回指 · 利用式 (14.6) 中的高斯积分 $\int dp\exp \left(-\frac{1}{2}a{p}^2+Jp\right)=\sqrt{\frac{2\pi }{a}}\exp \left(\frac{J^2}{2a}\right)$，取 $a=i\frac{\delta t}{m}$ 和 $J=i(x_{j+1}-x_j)$，可计算矩阵元。

概念：高斯积分（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

Now we can use the Gaussian integral in Eq. (14.6),  $\int dp\exp \left(-\frac{1}{2} ap^2 +Jp\right) = \sqrt{\frac{2\pi}{a}}\exp \left(\frac{J^2}{2a}\right)$ , with  $a = i\frac{\delta t}{m}$  and  $J = i(x_{j + 1} - x_j)$  to get

PDF 文件页：150；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-14:u0047；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

反之，如果我们只假设 $\tilde{H}(t)$ 是 $t$ 的光滑函数，那么我们就只能对无穷小时间间隔按这种方式解出矩阵元。所以，让我们把它分解为 $n$ 个小区间 $\delta t$，并定义 $t_j=t_i+j\delta t$ 和 $t_n=t_f$。那么，

$$⟨f|i⟩=\int d{x}_n\dots d{x}_1⟨x_f|e^{-iH\left(t_f\right)\delta t}|x_n⟩⟨x_n|\dots |x_2⟩⟨x_2|e^{-iH\left(t_2\right)\delta t}|x_1⟩⟨x_1|e^{-iH\left(t_1\right)\delta t}|x_i⟩.\text{\hspace{1em}(14.10)}$$

每个矩阵元都可以通过插入一组完备的动量本征态并利用 $⟨p|x⟩=e^{-ipx}$ 来求值：

$$\begin{array}{l}⟨x_{j+1}|e^{-iH\delta t}|x_j⟩=\int \frac{dp}{2\pi }⟨x_{j+1}|p⟩⟨p|e^{-i\left[\frac{{\dot{p}}^2}{2m}+V({\hat{x}}_j,t_j)\right]\delta t}|x_j⟩\\ =e^{-iV\left(x_j,t_j\right)\delta t}\int \frac{dp}{2\pi }{e}^{-i\frac{p^2}{2m}\delta t}{e}^{ip\left(x_{j+1}-x_j\right)}.\end{array}\text{\hspace{1em}(14.11)}$$

现在我们可以利用式 (14.6) 中的高斯积分 $\int dp\exp \left(-\frac{1}{2}a{p}^2+Jp\right)=\sqrt{\frac{2\pi }{a}}\exp \left(\frac{J^2}{2a}\right)$，取 $a=i\frac{\delta t}{m}$ 和 $J=i(x_{j+1}-x_j)$，得到

$$⟨x_{j+1}|e^{-iH\delta t}|x_j⟩=N{e}^{-iV(x_j,t_j)\delta t}{e}^{i\frac{m}{2}\delta t\frac{(x_{j+1}-x_j{)}^2}{(\delta t{)}^2}}=N{e}^{iL(x,\dot{x})\delta t},\text{\hspace{1em}(14.12)}$$

其中 $N$ 是一个与 $x$ 和 $t$ 无关的归一化常数，我们稍后将说明为什么可以忽略它，并且

$$L(x,\dot{x})=\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2-V(x,t)\text{\hspace{1em}(14.13)}$$

是拉格朗日量。我们看到，高斯积分实现了一个勒让德变换，从 $H(x,p)$ 变到 $L(x,\dot{x})$。

使用前文：高斯积分。模型判断为使用；原文：Now we can use the Gaussian integral in Eq. (14.6)

后文使用：拉格朗日量与勒让德变换。

拉格朗日量与勒让德变换

推导 · 高斯积分实现了一个勒让德变换，从 $H(x,p)$ 变到 $L(x,\dot{x})$；其中 $L(x,\dot{x})=\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2-V(x,t)$ 是拉格朗日量。

概念：Legendre变换

原文（OCR，未逐页核实）

is the Lagrangian. We see that the Gaussian integral effected a Legendre transform to go from  $H(x,p)$  to  $L(x,\dot{x})$ .

PDF 文件页：150；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-14:u0047；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

现在我们可以利用式 (14.6) 中的高斯积分 $\int dp\exp \left(-\frac{1}{2}a{p}^2+Jp\right)=\sqrt{\frac{2\pi }{a}}\exp \left(\frac{J^2}{2a}\right)$，取 $a=i\frac{\delta t}{m}$ 和 $J=i(x_{j+1}-x_j)$，得到

$$⟨x_{j+1}|e^{-iH\delta t}|x_j⟩=N{e}^{-iV(x_j,t_j)\delta t}{e}^{i\frac{m}{2}\delta t\frac{(x_{j+1}-x_j{)}^2}{(\delta t{)}^2}}=N{e}^{iL(x,\dot{x})\delta t},\text{\hspace{1em}(14.12)}$$

其中 $N$ 是一个与 $x$ 和 $t$ 无关的归一化常数，我们稍后将说明为什么可以忽略它，并且

$$L(x,\dot{x})=\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2-V(x,t)\text{\hspace{1em}(14.13)}$$

是拉格朗日量。我们看到，高斯积分实现了一个勒让德变换，从 $H(x,p)$ 变到 $L(x,\dot{x})$。

后文使用：拉格朗日量与勒让德变换。

路径积分表达式

引入 · 取极限 $\delta t\to 0$ 后，$⟨f|i⟩=N{\int }_{x(t_i)=x_i}^{x(t_f)=x_f}\mathcal{D}x(t)e^{iS[x]}$，其中 $\mathcal{D}x$ 表示对所有满足正确边界条件的路径 $x(t)$ 求和，作用量为 $S[x]=\int dt\mathcal{L}[x(t),\dot{x}(t)]$；$N$ 已被重新定义且形式上是无穷大，但会从物理量中消去。

概念：路径积分表达式（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

where  $\mathcal{D}x$  means sum over all paths  $x(t)$  with the correct boundary conditions and the action is  $S[x] = \int dt\mathcal{L}[x(t),\dot{x} (t)]$ . Note that  $N$  has been redefined and is now formally infinite, but it will drop out of any physical quantities, as we will see in the path integral case.

PDF 文件页：150；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-14:u0047；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

利用式 (14.12)，式 (14.10) 中的每一项都变成一个数，乘积简化为

$$⟨f|i⟩=N^n\int d{x}_n\dots d{x}_1{e}^{iL\left(x_n,{\dot{x}}_n\right)\delta t}\dots e^{iL\left(x_1,{\dot{x}}_1\right)\delta t}.\text{\hspace{1em}(14.14)}$$

最后，取极限 $\delta t\to 0$，指数合并为对 $dt$ 的积分，我们得到

$$⟨f|i⟩=N{\int }_{x\left(t_i\right)=x_i}^{x\left(t_f\right)=x_f}\mathcal{D}x(t)e^{iS[x]},\text{\hspace{1em}(14.15)}$$

其中 $\mathcal{D}x$ 表示对所有满足正确边界条件的路径 $x(t)$ 求和，而作用量为 $S[x]=\int dt\mathcal{L}[x(t),\dot{x}(t)]$。注意，$N$ 已被重新定义，现在形式上是无穷大，但它会从任何物理量中消去，正如我们将在路径积分情形中看到的那样。

后文使用：量子场论中的路径积分。

薛定谔绘景场

引入 · 在场论中，$\hat{x}$ 的对应物是薛定谔绘景场 $\hat{\varphi }(\vec{x})$，它在任意时刻 $t$ 可以按式 (14.16) 展开；每个场包含无穷多个算符，在每一点 $\vec{x}$ 处各有一个，加帽子表示它是算符。

概念：薛定谔绘景

原文（OCR，未逐页核实）

In field theory, the equivalents of  $\hat{x}$  are the Schrödinger picture fields  $\hat{\phi}(\vec{x})$ , which at any time  $t$  can be written as

Each field comprises an infinite number of operators, one at each point  $\vec{x}$ . We put the hat on  $\phi$  to remind you that it is an operator.

PDF 文件页：150；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-14:u0059；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

场论中的推导非常相似，但中间态的集合更为复杂。我们将从计算真空矩阵元 $⟨0;t_f|0;t_i⟩$ 开始。在量子力学中，我们将振幅分解为对中间时刻的 $|x⟩⟨x|$ 的积分，其中态 $|x⟩$ 是 $\hat{x}$ 算符的本征态。在场论中，$\hat{x}$ 的对应物是薛定谔绘景场 $\hat{\varphi }(\vec{x})$，它在任意时刻 $t$ 可以写成

$$\hat{\varphi }(\vec{x})=\int \frac{d^{3}p}{(2\pi {)}^3}\frac{1}{\sqrt{2{\omega }_p}}\left(a_p{e}^{i\vec{p}\vec{x}}+a_p^{†}{e}^{-i\vec{p}\vec{x}}\right).\text{\hspace{1em}(14.16)}$$

每个场包含无穷多个算符，在每一点 $\vec{x}$ 处各有一个。我们在 $\varphi$ 上加帽子，以提醒你它是一个算符。

后文使用：场算符插入。

正则共轭算符

引入 · 哈密顿量不应含有时间导数，而应依赖于正则共轭算符；正则共轭算符 $\hat{\pi }(\vec{x})$ 由式 (14.17) 定义，并满足式 (14.18) 的正则对易关系。

概念：正则共轭算符（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

Instead of  $\partial_t\phi$  the Hamiltonian should depend on canonical conjugate operators, which we introduced in Section 2.3.3 as

and satisfy

PDF 文件页：151；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-14:u0059；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

到目前为止，我们一直将哈密顿量和拉格朗日量视为场及其导数的泛函。严格来说，哈密顿量中不应含有时间导数，因为它应当生成时间平移。哈密顿量不应依赖于 ${\partial }_t\varphi$，而应依赖于正则共轭算符，我们在第 2.3.3 节中将其引入为

$$\hat{\pi }(\vec{x})\equiv -i\int \frac{d^{3}p}{(2\pi {)}^3}\sqrt{\frac{{\omega }_p}{2}}\left(a_p{e}^{i\vec{p}\vec{x}}-a_p^{†}{e}^{-i\vec{p}\vec{x}}\right),\text{\hspace{1em}(14.17)}$$

并满足

$$\left[\hat{\varphi }(\vec{x}),\hat{\pi }(\vec{y})\right]=i{\delta }^3(\vec{x}-\vec{y}).\text{\hspace{1em}(14.18)}$$

这些正则对易关系以及生成时间平移的哈密顿量定义了量子理论。

后文使用：正则共轭算符。

场本征态

引入 · $|x⟩$ 的对应物是 $\hat{\varphi }$ 的一组完备本征态，满足式 (14.19)：$\hat{\varphi }(\vec{x})|\Phi ⟩=\Phi (\vec{x})|\Phi ⟩$。

概念：场本征态（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

The equivalent of  $|x\rangle$  is a complete set of eigenstates of  $\hat{\phi}$ :

PDF 文件页：151；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-14:u0059；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

$|x⟩$ 的对应物是 $\hat{\varphi }$ 的一组完备本征态：

$$\hat{\varphi }(\vec{x})|\Phi ⟩=\Phi (\vec{x})|\Phi ⟩.\text{\hspace{1em}(14.19)}$$

本征值是空间 $\Phi (\vec{x})$ 的函数。$|p⟩$ 的对应物是 $\hat{\pi }(\vec{x})$ 的本征态，它们满足

$$\hat{\pi }(\vec{x})|\Pi ⟩=\Pi (\vec{x})|\Pi ⟩.\text{\hspace{1em}(14.20)}$$

$|\Pi ⟩$ 态与 $|\Phi ⟩$ 态共轭，并且满足

场本征态

回指 · 本征值是空间 $\Phi (\vec{x})$ 的函数；$|p⟩$ 的对应物是 $\hat{\pi }(\vec{x})$ 的本征态，满足 $\hat{\pi }(\vec{x})|\Pi ⟩=\Pi (\vec{x})|\Pi ⟩$。

概念：场本征态（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

The eigenvalues are functions of space  $\Phi (\vec{x})$ . The equivalents of  $|p\rangle$  are the eigenstates of  $\hat{\pi} (\vec{x})$  that satisfy

PDF 文件页：151；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-14:u0070；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

$|x⟩$ 的对应物是 $\hat{\varphi }$ 的一组完备本征态：

$$\hat{\varphi }(\vec{x})|\Phi ⟩=\Phi (\vec{x})|\Phi ⟩.\text{\hspace{1em}(14.19)}$$

本征值是空间 $\Phi (\vec{x})$ 的函数。$|p⟩$ 的对应物是 $\hat{\pi }(\vec{x})$ 的本征态，它们满足

$$\hat{\pi }(\vec{x})|\Pi ⟩=\Pi (\vec{x})|\Pi ⟩.\text{\hspace{1em}(14.20)}$$

$|\Pi ⟩$ 态与 $|\Phi ⟩$ 态共轭，并且满足

$$⟨\Pi |\Phi ⟩=\exp \left(-i\int d^{3}x\Pi (\vec{x})\Phi (\vec{x})\right),\text{\hspace{1em}(14.21)}$$

这是 $⟨\vec{p}|\vec{x}⟩=e^{-i\vec{p}\vec{x}}$ 的对应物。两个 $|\Phi ⟩$ 态的内积为

后文使用：场本征态（湮灭算符部分）。

$\hat{\pi }$ 本征态

引入 · $|\Pi ⟩$ 态是 $\hat{\pi }(\vec{x})$ 的本征态，满足 $\hat{\pi }(\vec{x})|\Pi ⟩=\Pi (\vec{x})|\Pi ⟩$；它们与 $|\Phi ⟩$ 态共轭，且 $⟨\Pi |\Phi ⟩=\exp \left(-i\int d^{3}x\Pi (\vec{x})\Phi (\vec{x})\right)$。

概念：$\hat{\pi }$ 本征态（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

The equivalents of  $|p\rangle$  are the eigenstates of  $\hat{\pi} (\vec{x})$  that satisfy

The  $|\Pi \rangle$  states are conjugate to the  $|\Phi \rangle$  states, and satisfy

PDF 文件页：151；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-14:u0070；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

$|x⟩$ 的对应物是 $\hat{\varphi }$ 的一组完备本征态：

$$\hat{\varphi }(\vec{x})|\Phi ⟩=\Phi (\vec{x})|\Phi ⟩.\text{\hspace{1em}(14.19)}$$

本征值是空间 $\Phi (\vec{x})$ 的函数。$|p⟩$ 的对应物是 $\hat{\pi }(\vec{x})$ 的本征态，它们满足

$$\hat{\pi }(\vec{x})|\Pi ⟩=\Pi (\vec{x})|\Pi ⟩.\text{\hspace{1em}(14.20)}$$

$|\Pi ⟩$ 态与 $|\Phi ⟩$ 态共轭，并且满足

$$⟨\Pi |\Phi ⟩=\exp \left(-i\int d^{3}x\Pi (\vec{x})\Phi (\vec{x})\right),\text{\hspace{1em}(14.21)}$$

这是 $⟨\vec{p}|\vec{x}⟩=e^{-i\vec{p}\vec{x}}$ 的对应物。两个 $|\Phi ⟩$ 态的内积为

$$⟨{\Phi }^{\prime }|\Phi ⟩=\int \mathcal{D}\Pi ⟨{\Phi }^{\prime }|\Pi ⟩⟨\Pi |\Phi ⟩=\int \mathcal{D}\Pi \exp \left(-i\int d^{3}x\Pi (\vec{x})[\Phi (\vec{x})-{\Phi }^{\prime }(\vec{x})]\right),\text{\hspace{1em}(14.22)}$$

这是 $⟨{\vec{x}}^{\prime }|\vec{x}⟩=\delta (\vec{x}-{\vec{x}}^{\prime })=\int \frac{dp}{2\pi }\exp (-i\vec{p}(\vec{x}-{\vec{x}}^{\prime }))$ 的推广。你可以在习题 14.4 中显式构造这些态并检验这些内积。

正则共轭算符

回指 · 利用 $\hat{\varphi }$ 和 $\hat{\pi }$ 可以重写哈密顿量，使其不包含任何时间导数。

概念：正则共轭算符（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

Using  $\hat{\phi}$  and  $\hat{\pi}$  one can rewrite the Hamiltonian so as not to include any time derivatives.

PDF 文件页：151；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-14:u0070；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

利用 $\hat{\varphi }$ 和 $\hat{\pi }$，人们可以重写哈密顿量，使其不包含任何时间导数。我们在式 (8.16) 中发现，实标量场的能量密度为

$$\mathcal{E}=\frac{1}{2}{\left({\partial }_t\varphi \right)}^2+\frac{1}{2}(\vec{\nabla }\varphi {)}^2+\frac{1}{2}{m}^2{\varphi }^2.\text{\hspace{1em}(14.23)}$$

这与哈密顿量密度相同

$$\hat{\mathcal{H}}=\frac{1}{2}{\hat{\pi }}^2+\frac{1}{2}(\nabla \hat{\varphi }{)}^2+\frac{1}{2}{m}^2{\hat{\varphi }}^2\text{\hspace{1em}(14.24)}$$

1 在某些场论文献中，路径积分不是用 $\hat{\varphi }$ 的本征态构造的，而是用 $\hat{\varphi }$ 中只涉及湮灭算符的那一部分 ${\hat{\varphi }}_{-}$ 的本征态构造的。记 $\hat{\varphi }={\hat{\varphi }}_{-}+{\hat{\varphi }}_{+}$，这些本征态为 $|\Phi ⟩=\exp \left(\int d^{3}y{\hat{\varphi }}_{+}(\vec{y})\Phi (\vec{y})\right)|0⟩$。它们满足 ${\varphi }_{-}(\vec{x})|\Phi ⟩=\Phi (\vec{x})|\Phi ⟩$，是单个谐振子相干态在场论中的版本。例如可参见 [Altland and Simons, 2010; Brown, 1992; Itzykson and Zuber, 1980]。

使用前文：正则共轭算符。模型判断为使用；原文：Using $\hat{\phi}$ and $\hat{\pi}$ one can rewrite the Hamiltonian so as not to include any time derivatives.

后文使用：正则共轭算符。

场本征态（湮灭算符部分）

回指 · 在某些场论文献中，路径积分是用 $\hat{\varphi }$ 中只涉及湮灭算符的部分 ${\hat{\varphi }}_{-}$ 的本征态构造的；记 $\hat{\varphi }={\hat{\varphi }}_{-}+{\hat{\varphi }}_{+}$，这些本征态为 $|\Phi ⟩=\exp \left(\int d^{3}y{\hat{\varphi }}_{+}(\vec{y})\Phi (\vec{y})\right)|0⟩$，满足 ${\varphi }_{-}(\vec{x})|\Phi ⟩=\Phi (\vec{x})|\Phi ⟩$，是单个谐振子相干态在场论中的版本。

概念：场本征态（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

In some field theory texts the path integral is constructed using eigenstates not of  $\hat{\phi}$  but of the part of  $\hat{\phi}$  that involves only annihilation operators,  $\hat{\phi}_{-}$ . Writing  $\hat{\phi} = \hat{\phi}_{-} + \hat{\phi}_{+}$ , these eigenstates are  $|\Phi\rangle = \exp\left(\int d^{3}y\hat{\phi}_{+}(\vec{y})\Phi(\vec{y})\right)|0\rangle$ . These satisfy  $\phi_{-}(\vec{x})|\Phi\rangle = \Phi(\vec{x})|\Phi\rangle$  and are the field theory version of coherent states for a single harmonic oscillator.

PDF 文件页：151；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-14:u0081；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

利用 $\hat{\varphi }$ 和 $\hat{\pi }$，人们可以重写哈密顿量，使其不包含任何时间导数。我们在式 (8.16) 中发现，实标量场的能量密度为

$$\mathcal{E}=\frac{1}{2}{\left({\partial }_t\varphi \right)}^2+\frac{1}{2}(\vec{\nabla }\varphi {)}^2+\frac{1}{2}{m}^2{\varphi }^2.\text{\hspace{1em}(14.23)}$$

这与哈密顿量密度相同

$$\hat{\mathcal{H}}=\frac{1}{2}{\hat{\pi }}^2+\frac{1}{2}(\nabla \hat{\varphi }{)}^2+\frac{1}{2}{m}^2{\hat{\varphi }}^2\text{\hspace{1em}(14.24)}$$

1 在某些场论文献中，路径积分不是用 $\hat{\varphi }$ 的本征态构造的，而是用 $\hat{\varphi }$ 中只涉及湮灭算符的那一部分 ${\hat{\varphi }}_{-}$ 的本征态构造的。记 $\hat{\varphi }={\hat{\varphi }}_{-}+{\hat{\varphi }}_{+}$，这些本征态为 $|\Phi ⟩=\exp \left(\int d^{3}y{\hat{\varphi }}_{+}(\vec{y})\Phi (\vec{y})\right)|0⟩$。它们满足 ${\varphi }_{-}(\vec{x})|\Phi ⟩=\Phi (\vec{x})|\Phi ⟩$，是单个谐振子相干态在场论中的版本。例如可参见 [Altland and Simons, 2010; Brown, 1992; Itzykson and Zuber, 1980]。

使用前文：场本征态。模型判断为细化；原文：In some field theory texts the path integral is constructed using eigenstates not of $\hat{\phi}$ but of the part of $\hat{\phi}$ that involves only annihilation operators, $\hat{\phi}_{-}$ .

后文使用：反向推导中的场插入。

后文使用：场本征态。

正则共轭算符

回指 · 在将 $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ({\partial }_t\hat{\varphi })}={\partial }_t\varphi$ 替换为 $\hat{\pi }$ 之后（如同在勒让德变换中那样），哈密顿量密度可写为 $\hat{\mathcal{H}}=\frac{1}{2}{\hat{\pi }}^2+\mathcal{V}(\hat{\varphi })$。

概念：正则共轭算符（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

after the replacement of  $\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_t\hat{\phi})} = \partial_t\phi$  by  $\hat{\pi}$  (as in a Legendre transform).

PDF 文件页：152；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-14:u0081；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

在将 $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ({\partial }_t\hat{\varphi })}={\partial }_t\varphi$ 替换为 $\hat{\pi }$ 之后（如同在勒让德变换中那样）。更一般地，让我们写出

$$\hat{\mathcal{H}}=\frac{1}{2}{\hat{\pi }}^2+\mathcal{V}(\hat{\varphi }),\text{\hspace{1em}(14.25)}$$

其中 $\mathcal{V}(\hat{\varphi })$ 可以包含相互作用。人们可以考虑更一般的哈密顿量，只要它们是厄米的且正定的，但为简单起见我们坚持这种形式。我们还将写出 $\hat{H}(t)=\int d^{3}x\hat{\mathcal{H}}$，其中 $\hat{H}(t)$ 对 $t$ 的依赖来自场算符在完整相互作用理论中如何随时间变化。${}^2$ 现在我们像在量子力学中那样，通过插入完备的中间态集合来计算真空矩阵元：

$$⟨0;t_f|0;t_i⟩=\int \mathcal{D}{\Phi }_1(x)\dots \mathcal{D}{\Phi }_n(x)⟨0|e^{-i\delta t\hat{H}\left(t_n\right)}|{\Phi }_n⟩⟨{\Phi }_n|\dots |{\Phi }_1⟩⟨{\Phi }_1|e^{-i\delta t\hat{H}\left(t_0\right)}|0⟩.\text{\hspace{1em}(14.26)}$$

使用前文：正则共轭算符。模型判断为使用；原文：after the replacement of $\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_t\hat{\phi})} = \partial_t\phi$ by $\hat{\pi}$ (as in a Legendre transform).

后文使用：哈密顿量的外尔排序。

拉格朗日量与勒让德变换

推导 · 对 ${\Pi }_j$ 执行高斯积分后，矩阵元可写为 $N\exp \left(i\delta t\int d^{3}x\mathcal{L}[{\Phi }_j,{\partial }_t{\Phi }_j]\right)$，其中 $\mathcal{L}[{\Phi }_j,{\partial }_t{\Phi }_j]=\frac{1}{2}({\partial }_t{\Phi }_j{)}^2-\mathcal{V}[{\Phi }_j]$。

概念：Legendre变换

原文（OCR，未逐页核实）

Now we perform the Gaussian integral over  $\Pi_j$  to give

where

PDF 文件页：152；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-14:u0081；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

现在我们像在量子力学中那样，通过插入完备的中间态集合来计算真空矩阵元：

$$⟨0;t_f|0;t_i⟩=\int \mathcal{D}{\Phi }_1(x)\dots \mathcal{D}{\Phi }_n(x)⟨0|e^{-i\delta t\hat{H}\left(t_n\right)}|{\Phi }_n⟩⟨{\Phi }_n|\dots |{\Phi }_1⟩⟨{\Phi }_1|e^{-i\delta t\hat{H}\left(t_0\right)}|0⟩.\text{\hspace{1em}(14.26)}$$

这些片段中的每一个都变为

$$\begin{array}{l}⟨{\Phi }_{j+1}|e^{-i\delta t\hat{H}(t_j)}|{\Phi }_j⟩=\int \mathcal{D}{\Pi }_j⟨{\Phi }_{j+1}|{\Pi }_j⟩⟨{\Pi }_j|\exp \left[-i\delta t\int d^{3}x\left(\frac{1}{2}{\hat{\pi }}^2+\mathcal{V}(\hat{\varphi })\right)\right]|{\Phi }_j⟩\\ =\int d{\Pi }_j\exp \left(i\int d^{3}x{\Pi }_j(\vec{x})[{\Phi }_{j+1}(\vec{x})-{\Phi }_j(\vec{x})]\right)\\ \times \exp \left(-i\delta t\int d^{3}x\left(\frac{1}{2}{\Pi }_j^2(\vec{x})+\mathcal{V}\left({\Phi }_j\right)\right)\right).\end{array}\text{\hspace{1em}(14.27)}$$

现在我们执行对 ${\Pi }_j$ 的高斯积分，得到

$$\begin{array}{l}⟨{\Phi }_{j+1}\mid e^{-i\delta t\hat{H}(t_j)}\mid {\Phi }_j⟩=N\exp \left(-i\delta t\int d^{3}x\left[\mathcal{V}\left[{\Phi }_j\right]-\frac{1}{2}{\left(\frac{{\Phi }_{j+1}(\vec{x})-{\Phi }_j(\vec{x})}{\delta t}\right)}^2\right]\right)\\ =N\exp \left(i\delta t\int d^{3}x\mathcal{L}\left[{\Phi }_j,{\partial }_t{\Phi }_j\right]\right),\end{array}\text{\hspace{1em}(14.28)}$$

其中

$$\mathcal{L}\left[{\Phi }_j,{\partial }_t{\Phi }_j\right]=\frac{1}{2}{\left({\partial }_t{\Phi }_j\right)}^2-\mathcal{V}\left[{\Phi }_j\right].\text{\hspace{1em}(14.29)}$$

将式 (14.26) 的各部分合并起来得到

$$⟨0;t_f|0;t_i⟩=N\int \mathcal{D}\Phi (\vec{x},t)e^{iS[\Phi ]},\text{\hspace{1em}(14.30)}$$

其中 $S[\Phi ]=\int d^{4}x\mathcal{L}[\Phi ]$，时间积分从 $t_i$ 到 $t_f$。对于 $S$ 矩阵元，我们取 $t_i=-\infty$ 和 $t_f=+\infty$，此时 $S[\Phi ]=\int d^{4}x\mathcal{L}[\Phi ]$ 中的积分遍及整个时空。

使用前文：拉格朗日量与勒让德变换。模型判断为使用；原文：Now we perform the Gaussian integral over $\Pi_j$ to give

使用前文：高斯积分。模型判断为回指；原文：Now we perform the Gaussian integral over $\Pi_j$ to give

量子场论中的路径积分

回指 · 合并式 (14.26) 的各部分得到 $⟨0;t_f|0;t_i⟩=N\int \mathcal{D}\Phi (\vec{x},t)e^{iS[\Phi ]}$，其中 $S[\Phi ]=\int d^{4}x\mathcal{L}[\Phi ]$，时间积分从 $t_i$ 到 $t_f$；对于 $S$ 矩阵元，取 $t_i=-\infty$ 和 $t_f=+\infty$，此时积分遍及整个时空。

概念：路径积分表达式（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

Collapsing up the pieces of Eq. (14.26) gives

where  $S[\Phi] = \int d^4 x \mathcal{L}[\Phi]$  with the time integral going from  $t_i$  to  $t_f$ . For  $S$ -matrix elements, we take  $t_i = -\infty$  and  $t_f = +\infty$ , in which case the integral in  $S[\Phi] = \int d^4 x \mathcal{L}[\Phi]$  is over all space-time.

PDF 文件页：152；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-14:u0093；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

现在我们执行对 ${\Pi }_j$ 的高斯积分，得到

$$\begin{array}{l}⟨{\Phi }_{j+1}\mid e^{-i\delta t\hat{H}(t_j)}\mid {\Phi }_j⟩=N\exp \left(-i\delta t\int d^{3}x\left[\mathcal{V}\left[{\Phi }_j\right]-\frac{1}{2}{\left(\frac{{\Phi }_{j+1}(\vec{x})-{\Phi }_j(\vec{x})}{\delta t}\right)}^2\right]\right)\\ =N\exp \left(i\delta t\int d^{3}x\mathcal{L}\left[{\Phi }_j,{\partial }_t{\Phi }_j\right]\right),\end{array}\text{\hspace{1em}(14.28)}$$

其中

$$\mathcal{L}\left[{\Phi }_j,{\partial }_t{\Phi }_j\right]=\frac{1}{2}{\left({\partial }_t{\Phi }_j\right)}^2-\mathcal{V}\left[{\Phi }_j\right].\text{\hspace{1em}(14.29)}$$

将式 (14.26) 的各部分合并起来得到

$$⟨0;t_f|0;t_i⟩=N\int \mathcal{D}\Phi (\vec{x},t)e^{iS[\Phi ]},\text{\hspace{1em}(14.30)}$$

其中 $S[\Phi ]=\int d^{4}x\mathcal{L}[\Phi ]$，时间积分从 $t_i$ 到 $t_f$。对于 $S$ 矩阵元，我们取 $t_i=-\infty$ 和 $t_f=+\infty$，此时 $S[\Phi ]=\int d^{4}x\mathcal{L}[\Phi ]$ 中的积分遍及整个时空。

使用前文：路径积分表达式。模型判断为细化；原文：Collapsing up the pieces of Eq. (14.26) gives / where $S[\Phi] = \int d^4 x \mathcal{L}[\Phi]$ with the time integral going from $t_i$ to $t_f$ .

后文使用：路径积分的经典极限。

后文使用：带场插入的路径积分。

哈密顿量的外尔排序

限定 · 如果 $\mathcal{V}$ 依赖于 $\hat{\pi }$ 和 $\hat{\varphi }$，可能存在排序歧义；与非相对论情形一样，通常将哈密顿量定义为外尔排序，即所有 $\hat{\pi }$ 算符都在 $\hat{\varphi }$ 算符的左边。

概念：哈密顿量的外尔排序（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

2 If  $\mathcal{V}$  depended on  $\hat{\pi}$  and  $\hat{\phi}$ , there might be an ordering ambiguity; this is no different than in the non-relativistic case and it is conventional to define the Hamiltonian to be Weyl ordered with the  $\hat{\pi}$  operators all to the left of the  $\hat{\phi}$  operators.

PDF 文件页：152；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-14:u0093；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

所以路径积分告诉我们，要对所有经典场构型 $\Phi$ 积分。注意 $\Phi$ 并不只由单粒子态组成，它还可以包含双粒子态等等。我们可以通过为路径画图——包括不连通的泡泡——来记住这一点，如2 如果 $\mathcal{V}$ 依赖于 $\hat{\pi }$ 和 $\hat{\varphi }$，就可能存在排序歧义；这与非相对论情形并无不同，通常将哈密顿量定义为外尔排序，即所有 $\hat{\pi }$ 算符都在 $\hat{\varphi }$ 算符的左边。

使用前文：正则共轭算符。模型判断为使用；原文：2 If $\mathcal{V}$ depended on $\hat{\pi}$ and $\hat{\phi}$ , there might be an ordering ambiguity; this is no different than in the non-relativistic case and it is conventional to define the Hamiltonian to be Weyl ordered with the $\hat{\pi}$ operators all to the left of the $\hat{\phi}$ operators.

路径积分的经典极限

推导 · 取经典极限时需放回 $\hslash$，得到 $⟨0;t_f|0;t_i⟩=N\int \mathcal{D}\Phi (\vec{x},t)e^{\frac{i}{\hslash }S[\Phi ]}$；在 $\hslash \to 0$ 极限下，用稳相法可知积分由使 $S[\Phi ]$ 取极值的 $\Phi$ 主导，而 $\delta S=0$ 正是经典场的欧拉-拉格朗日方程，因此经典极限下唯一有贡献的构型是运动方程的经典解。

概念：稳相近似

原文（OCR，未逐页核实）

As a first check on the path integral, we can take the classical limit. To do that, we need to put back  $\hbar$ , which can be done by dimensional analysis. Since  $\hbar$  has dimensions of action, it appears as

Using the method of stationary phase we see that, in the limit  $\hbar \rightarrow 0$ , this integral is dominated by the value of  $\Phi$  for which  $S[\Phi]$  has an extremum. But  $\delta S = 0$  is precisely the condition that determines the Euler-Lagrange equations which a classical field satisfies. Therefore, the only configuration that contributes in the classical limit is the classical solution to the equations of motion.

PDF 文件页：153；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-14:u0093；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

作为对路径积分的第一个检验，我们可以取经典极限。为此，我们需要把 $\hslash$ 放回去，这可以通过量纲分析完成。由于 $\hslash$ 具有作用量的量纲，它出现为

$$⟨0;t_f|0;t_i⟩=N\int \mathcal{D}\Phi (\vec{x},t)e^{\frac{i}{\hslash }S[\Phi ]}.\text{\hspace{1em}(14.31)}$$

使用稳相法我们看到，在极限 $\hslash \to 0$ 下，该积分由使 $S[\Phi ]$ 取极值的 $\Phi$ 值主导。但 $\delta S=0$ 正是确定经典场所满足的欧拉-拉格朗日方程的条件。因此，在经典极限下唯一有贡献的构型是运动方程的经典解。

使用前文：量子场论中的路径积分。模型判断为使用；原文：As a first check on the path integral, we can take the classical limit.

带场插入的路径积分

回指 · 在路径积分中插入固定位置和时间的场，得到 $\mathcal{I}=\int \mathcal{D}\Phi e^{iS[\Phi ]}\Phi ({\vec{x}}_j,t_j)$；该积分可表示为式 (14.34)，其中 $\Phi ({\vec{x}}_j,t_j)$ 被替换为 ${\Phi }_j({\vec{x}}_j)$，因为下标 $j$ 指时间。

概念：路径积分表达式（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

Suppose we insert a field at fixed position and time into the path integral:

with  $\Phi (\vec{x}_j,t_j)$  getting replaced by  $\Phi_j(\vec{x}_j)$  since the  $j$  subscript on  $\Phi_j(\vec{x})$  refers to the time.

PDF 文件页：153, 154；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-14:u0105；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

假设我们在路径积分中插入一个固定位置和时间的场：

$$\mathcal{I}=\int \mathcal{D}\Phi e^{iS[\Phi ]}\Phi \left({\vec{x}}_j,t_j\right).\text{\hspace{1em}(14.33)}$$

这代表什么？

回顾我们的推导，这个积分可以写成

$$\begin{array}{l}\mathcal{I}=\int \mathcal{D}{\Phi }_1(\vec{x})\dots \mathcal{D}{\Phi }_n(\vec{x})\\ \times ⟨0|e^{-iH\left(t_n\right)\delta t}|{\Phi }_n⟩\dots ⟨{\Phi }_2|e^{-iH\left(t_2\right)\delta t}|{\Phi }_1⟩⟨{\Phi }_1|e^{-iH\left(t_1\right)\delta t}|0⟩{\Phi }_j({\vec{x}}_j),\end{array}\text{\hspace{1em}(14.34)}$$

其中 $\Phi ({\vec{x}}_j,t_j)$ 被替换为 ${\Phi }_j({\vec{x}}_j)$，因为 ${\Phi }_j(\vec{x})$ 上的 $j$ 下标指的是时间。现在我们想把 ${\Phi }_j({\vec{x}}_j)$ 替换为一个算符。由于 $\Phi$ 上的下标只是它的时间点，我们有

$$\int \mathcal{D}{\Phi }_j(\vec{x})\left\{e^{-iH\left(t_n\right)\delta t}\mid {\Phi }_j⟩{\Phi }_j\left({\vec{x}}_j\right)⟨{\Phi }_j\mid \right\}=\hat{\varphi }(x_j)\int \mathcal{D}{\Phi }_j(\vec{x})e^{-iH\left(t_n\right)\delta t}\mid {\Phi }_j⟩⟨{\Phi }_j|.\text{\hspace{1em}(14.35)}$$

所以我们得以把 $\Phi (x_j)$ 替换为在时间 $t_j$ 放入的算符 $\hat{\varphi }(x_j)$。然后我们可以把所有积分合并起来，得到

$$N\int \mathcal{D}\Phi (\vec{x},t)e^{iS[\Phi ]}\Phi ({\vec{x}}_j,t_j)=⟨0|\hat{\varphi }({\vec{x}}_j,t_j)|0⟩.\text{\hspace{1em}(14.36)}$$

如果你觉得合并积分令人困惑，只需反向思考推导。插入 $\hat{\varphi }({\vec{x}}_j,t_j)$ 最终会通过 $|{\Phi }_j⟩⟨{\Phi }_j|$，产生本征值 $\Phi ({\vec{x}}_j,t_j)$。

使用前文：量子场论中的路径积分。模型判断为使用；原文：Suppose we insert a field at fixed position and time into the path integral:

场算符插入

引入 · 在路径积分中，${\Phi }_j({\vec{x}}_j)$ 可被替换为算符 $\hat{\varphi }(x_j)$，如式 (14.35) 所示；合并所有积分后得到式 (14.36)：$N\int \mathcal{D}\Phi e^{iS[\Phi ]}\Phi ({\vec{x}}_j,t_j)=⟨0|\hat{\varphi }({\vec{x}}_j,t_j)|0⟩$。

概念：场算符插入（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

So we get to replace  $\Phi(x_j)$  by the operator  $\hat{\phi}(x_j)$  put in at the time  $t_j$ . Then we can collapse up all the integrals to give

PDF 文件页：154；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-14:u0105；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

回顾我们的推导，这个积分可以写成

$$\begin{array}{l}\mathcal{I}=\int \mathcal{D}{\Phi }_1(\vec{x})\dots \mathcal{D}{\Phi }_n(\vec{x})\\ \times ⟨0|e^{-iH\left(t_n\right)\delta t}|{\Phi }_n⟩\dots ⟨{\Phi }_2|e^{-iH\left(t_2\right)\delta t}|{\Phi }_1⟩⟨{\Phi }_1|e^{-iH\left(t_1\right)\delta t}|0⟩{\Phi }_j({\vec{x}}_j),\end{array}\text{\hspace{1em}(14.34)}$$

其中 $\Phi ({\vec{x}}_j,t_j)$ 被替换为 ${\Phi }_j({\vec{x}}_j)$，因为 ${\Phi }_j(\vec{x})$ 上的 $j$ 下标指的是时间。现在我们想把 ${\Phi }_j({\vec{x}}_j)$ 替换为一个算符。由于 $\Phi$ 上的下标只是它的时间点，我们有

$$\int \mathcal{D}{\Phi }_j(\vec{x})\left\{e^{-iH\left(t_n\right)\delta t}\mid {\Phi }_j⟩{\Phi }_j\left({\vec{x}}_j\right)⟨{\Phi }_j\mid \right\}=\hat{\varphi }(x_j)\int \mathcal{D}{\Phi }_j(\vec{x})e^{-iH\left(t_n\right)\delta t}\mid {\Phi }_j⟩⟨{\Phi }_j|.\text{\hspace{1em}(14.35)}$$

所以我们得以把 $\Phi (x_j)$ 替换为在时间 $t_j$ 放入的算符 $\hat{\varphi }(x_j)$。然后我们可以把所有积分合并起来，得到

$$N\int \mathcal{D}\Phi (\vec{x},t)e^{iS[\Phi ]}\Phi ({\vec{x}}_j,t_j)=⟨0|\hat{\varphi }({\vec{x}}_j,t_j)|0⟩.\text{\hspace{1em}(14.36)}$$

如果你觉得合并积分令人困惑，只需反向思考推导。插入 $\hat{\varphi }({\vec{x}}_j,t_j)$ 最终会通过 $|{\Phi }_j⟩⟨{\Phi }_j|$，产生本征值 $\Phi ({\vec{x}}_j,t_j)$。

使用前文：薛定谔绘景场。模型判断为使用；原文：So we get to replace $\Phi(x_j)$ by the operator $\hat{\phi}(x_j)$ put in at the time $t_j$ .

后文使用：双场插入的路径积分。

反向推导中的场插入

诠释 · 反向思考推导：插入 $\hat{\varphi }({\vec{x}}_j,t_j)$ 最终会通过 $|{\Phi }_j⟩⟨{\Phi }_j|$，产生本征值 $\Phi ({\vec{x}}_j,t_j)$。

概念：反向推导中的场插入（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

An insertion of  $\hat{\phi} (\vec{x}_j,t_j)$  will end up by  $|\Phi_j\rangle \langle \Phi_j|$ , producing the eigenvalue  $\Phi (\vec{x}_j,t_j)$ .

PDF 文件页：154；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-14:u0105；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

其中 $\Phi ({\vec{x}}_j,t_j)$ 被替换为 ${\Phi }_j({\vec{x}}_j)$，因为 ${\Phi }_j(\vec{x})$ 上的 $j$ 下标指的是时间。现在我们想把 ${\Phi }_j({\vec{x}}_j)$ 替换为一个算符。由于 $\Phi$ 上的下标只是它的时间点，我们有

$$\int \mathcal{D}{\Phi }_j(\vec{x})\left\{e^{-iH\left(t_n\right)\delta t}\mid {\Phi }_j⟩{\Phi }_j\left({\vec{x}}_j\right)⟨{\Phi }_j\mid \right\}=\hat{\varphi }(x_j)\int \mathcal{D}{\Phi }_j(\vec{x})e^{-iH\left(t_n\right)\delta t}\mid {\Phi }_j⟩⟨{\Phi }_j|.\text{\hspace{1em}(14.35)}$$

所以我们得以把 $\Phi (x_j)$ 替换为在时间 $t_j$ 放入的算符 $\hat{\varphi }(x_j)$。然后我们可以把所有积分合并起来，得到

$$N\int \mathcal{D}\Phi (\vec{x},t)e^{iS[\Phi ]}\Phi ({\vec{x}}_j,t_j)=⟨0|\hat{\varphi }({\vec{x}}_j,t_j)|0⟩.\text{\hspace{1em}(14.36)}$$

如果你觉得合并积分令人困惑，只需反向思考推导。插入 $\hat{\varphi }({\vec{x}}_j,t_j)$ 最终会通过 $|{\Phi }_j⟩⟨{\Phi }_j|$，产生本征值 $\Phi ({\vec{x}}_j,t_j)$。

使用前文：场本征态（湮灭算符部分）。模型判断为使用；原文：An insertion of $\hat{\phi} (\vec{x}_j,t_j)$ will end up by $|\Phi_j\rangle \langle \Phi_j|$ , producing the eigenvalue $\Phi (\vec{x}_j,t_j)$ .

双场插入的路径积分

回指 · 在路径积分中插入两个场，得到式 (14.37)：$\int \mathcal{D}\Phi (\vec{x},t)e^{iS[\Phi ]}\Phi ({\vec{x}}_1,t_1)\Phi ({\vec{x}}_2,t_2)$；这些场被插入到相应的矩阵元中，且较早的场总是出现在较晚的场的右边。

概念：场算符插入（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

Now say we insert two fields:

The fields will be inserted in the appropriate matrix element. In particular, the earlier field will always come out on the right of the later field.

PDF 文件页：154；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-14:u0117；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

现在假设我们插入两个场：

$$\int \mathcal{D}\Phi (\vec{x},t)e^{iS[\Phi ]}\Phi ({\vec{x}}_1,t_1)\Phi ({\vec{x}}_2,t_2).\text{\hspace{1em}(14.37)}$$

这些场将被插入到相应的矩阵元中。特别地，较早的场总是出现在较晚的场的右边。于是我们得到

$$N\int \mathcal{D}\Phi (x)e^{iS[\Phi ]}\Phi \left(x_1\right)\Phi \left(x_2\right)=⟨0|T\{\hat{\varphi }\left(x_1\right)\hat{\varphi }\left(x_2\right)\}|0⟩.\text{\hspace{1em}(14.38)}$$

一般地，

$$N\int \mathcal{D}\Phi (x)e^{iS[\Phi ]}\Phi \left(x_1\right)\dots \Phi \left(x_n\right)=⟨0|T\left\{\hat{\varphi }\left(x_1\right)\dots \hat{\varphi }\left(x_n\right)\right\}|0⟩.\text{\hspace{1em}(14.39)}$$

因此，我们在路径积分中免费得到了时间排序！

使用前文：场算符插入。模型判断为细化；原文：Now say we insert two fields:

路径积分中的时间排序

推导 · 由双场插入得到式 (14.38)：$N\int \mathcal{D}\Phi (x)e^{iS[\Phi ]}\Phi (x_1)\Phi (x_2)=⟨0|T\{\hat{\varphi }(x_1)\hat{\varphi }(x_2)\}|0⟩$；一般地得到式 (14.39)：$N\int \mathcal{D}\Phi (x)e^{iS[\Phi ]}\Phi (x_1)\dots \Phi (x_n)=⟨0|T\{\hat{\varphi }(x_1)\dots \hat{\varphi }(x_n)\}|0⟩$。因此，我们在路径积分中免费得到了时间排序。

概念：路径积分中的时间排序（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

So we get

In general,

Thus, we get time ordering for free in the path integral!

PDF 文件页：154；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-14:u0117；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

现在假设我们插入两个场：

$$\int \mathcal{D}\Phi (\vec{x},t)e^{iS[\Phi ]}\Phi ({\vec{x}}_1,t_1)\Phi ({\vec{x}}_2,t_2).\text{\hspace{1em}(14.37)}$$

这些场将被插入到相应的矩阵元中。特别地，较早的场总是出现在较晚的场的右边。于是我们得到

$$N\int \mathcal{D}\Phi (x)e^{iS[\Phi ]}\Phi \left(x_1\right)\Phi \left(x_2\right)=⟨0|T\{\hat{\varphi }\left(x_1\right)\hat{\varphi }\left(x_2\right)\}|0⟩.\text{\hspace{1em}(14.38)}$$

一般地，

$$N\int \mathcal{D}\Phi (x)e^{iS[\Phi ]}\Phi \left(x_1\right)\dots \Phi \left(x_n\right)=⟨0|T\left\{\hat{\varphi }\left(x_1\right)\dots \hat{\varphi }\left(x_n\right)\right\}|0⟩.\text{\hspace{1em}(14.39)}$$

因此，我们在路径积分中免费得到了时间排序！

无时间排序的反例

限定 · 若答案是没有时间排序的式 (14.40)：$N\int \mathcal{D}\Phi (x)e^{iS[\Phi ]}\Phi (x_1)\Phi (x_2)=⟨0|\hat{\varphi }(x_1)\hat{\varphi }(x_2)|0⟩$，则左边不区分 $\Phi (x_1)\Phi (x_2)$ 与 $\Phi (x_2)\Phi (x_1)$（经典场），而右边区分 $\hat{\varphi }(x_1)\hat{\varphi }(x_2)$ 与 $\hat{\varphi }(x_2)\hat{\varphi }(x_1)$（在类时间隔下场不对易），故式 (14.40) 不可能正确；左边的唯一可能等价物应使算符实际上对易，例如时间排序操作。

概念：无时间排序的反例（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

Why does this work? As a quick cross check, suppose the answer were

without the time ordering. The left-hand side does not care whether we write  $\Phi(x_1)\Phi(x_2)$  or  $\Phi(x_2)\Phi(x_1)$ , since these are classical fields, but the right-hand side does distinguish  $\hat{\phi}(x_1)\hat{\phi}(x_2)$  from  $\hat{\phi}(x_2)\hat{\phi}(x_1)$ , since the fields do not commute (at timelike separation). Thus, Eq. (14.40) cannot be correct. The only possible equivalent of the left-hand side would be something in which the operators effectively commute, such as the time-ordering operation.

PDF 文件页：154；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-14:u0117；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

为什么这能成立？作为一个快速的交叉检验，假设答案曾是

$$N\int \mathcal{D}\Phi (x)e^{iS[\Phi ]}\Phi (x_1)\Phi (x_2)=⟨0|\hat{\varphi }(x_1)\hat{\varphi }(x_2)|0⟩\text{\hspace{1em}(14.40)}$$

而没有时间排序。左边不关心我们写的是 $\Phi (x_1)\Phi (x_2)$ 还是 $\Phi (x_2)\Phi (x_1)$，因为这些是经典场，但右边确实区分 $\hat{\varphi }(x_1)\hat{\varphi }(x_2)$ 与 $\hat{\varphi }(x_2)\hat{\varphi }(x_1)$，因为（在类时间隔下）这些场不对易。因此，式 (14.40) 不可能是正确的。左边的唯一可能等价物应当是某种使算符实际上对易的东西，例如时间排序操作。

生成泛函

引入 · 存在外经典源 $J(x)$ 时的真空振幅是一个称为生成泛函的泛函，记作 $Z[J]$。

概念：生成泛函（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

The vacuum amplitude in the presence of this source is then a functional called the generating functional and is denoted by  $Z[J]$ :

PDF 文件页：155；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-14:u0127；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

有一种利用流计算路径积分的绝佳方法。考虑存在外经典源 $J(x)$ 时的作用量。存在该源时的真空振幅是一个称为生成泛函的泛函，记作 $Z[J]$：

$$Z[J]=\int \mathcal{D}\varphi \exp \left\{iS[\varphi ]+i\int d^{4}xJ(x)\varphi (x)\right\}.\text{\hspace{1em}(14.42)}$$

在 $J=0$ 时，它约化为无源时的真空振幅：

$$Z[0]=\int \mathcal{D}\varphi e^{i\int d^{4}x\mathcal{L}[\varphi ]}.\text{\hspace{1em}(14.43)}$$

接下来我们引入变分偏导数。由于 $J(y)=\int d^{4}x\delta (x-y)J(x)$，自然可以定义

后文使用：通过导数计算时间排序乘积。

后文使用：生成泛函。

变分偏导数

引入 · 由于 $J(y)=\int d^{4}x\delta (x-y)J(x)$，自然可以定义变分偏导数，使得 $\frac{\partial J(x)}{\partial J(y)}={\delta }^4(x-y)$。

概念：变分偏导数（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

We next introduce the variational partial derivative. Since  $J(y) = \int d^4 x \delta(x - y) J(x)$  it is natural to define

PDF 文件页：155；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-14:u0127；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

有一种利用流计算路径积分的绝佳方法。考虑存在外经典源 $J(x)$ 时的作用量。存在该源时的真空振幅是一个称为生成泛函的泛函，记作 $Z[J]$：

$$Z[J]=\int \mathcal{D}\varphi \exp \left\{iS[\varphi ]+i\int d^{4}xJ(x)\varphi (x)\right\}.\text{\hspace{1em}(14.42)}$$

在 $J=0$ 时，它约化为无源时的真空振幅：

$$Z[0]=\int \mathcal{D}\varphi e^{i\int d^{4}x\mathcal{L}[\varphi ]}.\text{\hspace{1em}(14.43)}$$

接下来我们引入变分偏导数。由于 $J(y)=\int d^{4}x\delta (x-y)J(x)$，自然可以定义

$$\frac{\partial J(x)}{\partial J(y)}={\delta }^4(x-y).\text{\hspace{1em}(14.44)}$$

这个偏导数可以看作是在 $y$ 处改变 $J$ 的值，同时保持 $J$ 的所有其他值固定不变。这个方程意味着

$$\frac{\partial }{\partial J\left(x_1\right)}\int d^{4}xJ(x)\varphi (x)=\varphi \left(x_1\right).\text{\hspace{1em}(14.45)}$$

那么，

通过导数计算时间排序乘积

推导 · 类似地，$(-i{)}^n\frac{1}{Z[0]}{\frac{{\partial }^{n}Z}{\partial J(x_1)\cdots \partial J(x_n)}|}_{J=0}=⟨\Omega |T\{\hat{\varphi }(x_1)\dots \hat{\varphi }(x_n)\}|\Omega ⟩$；因此可以一劳永逸地计算 $Z[J]$，再通过取导数得到时间排序乘积。

概念：通过导数计算时间排序乘积（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

So this is a nice way of calculating time-ordered products - we can calculate  $Z[J]$  once and for all, and then to get time-ordered products all we have to do is take derivatives.

PDF 文件页：156；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-14:u0139；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

因此，

$$-i\frac{1}{Z[0]}{\frac{\partial Z}{\partial J(x_1)}|}_{J=0}=\frac{\int \mathcal{D}\varphi \exp \{iS[\varphi ]\}\varphi (x_1)}{\int \mathcal{D}\varphi e^{i\int d^{4}x\mathcal{L}[\varphi ]}}=⟨\Omega |\hat{\varphi }(x_1)|\Omega ⟩.\text{\hspace{1em}(14.47)}$$

类似地，

$$(-i{)}^n\frac{1}{Z[0]}{\frac{{\partial }^{n}Z}{\partial J(x_1)\cdots \partial J(x_n)}|}_{J=0}=⟨\Omega |T\{\hat{\varphi }(x_1)\dots \hat{\varphi }(x_n)\}|\Omega ⟩.\text{\hspace{1em}(14.48)}$$

所以这是计算时间排序乘积的一种好方法——我们可以一劳永逸地计算出 $Z[J]$，然后要得到时间排序乘积，我们只需取导数。

使用前文：生成泛函。模型判断为使用；原文：we can calculate $Z[J]$ once and for all

生成泛函

回指 · 生成泛函是统计力学中配分函数在量子场论中的类比，它告诉我们关于一个系统我们可能想知道的一切；若对某理论有 $Z[J]$ 的精确闭式表达式，则该理论被完全解决。

概念：生成泛函（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

The generating functional is the quantum field theory analog of the partition function in statistical mechanics - it tells us everything we could possibly want to know about a system. The generating functional is the holy grail of any particular field theory: if you have an exact closed-form expression for  $Z[J]$  for a particular theory, you have solved it completely.

PDF 文件页：156；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-14:u0139；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

生成泛函是统计力学中配分函数在量子场论中的类比——它告诉我们关于一个系统我们可能想知道的一切。生成泛函是任何特定场论的圣杯：如果你对某个特定理论拥有 $Z[J]$ 的精确闭式表达式，你就完全解决了它。

使用前文：生成泛函。模型判断为回指；原文：The generating functional is the quantum field theory analog of the partition function in statistical mechanics

自由理论生成泛函

回指 · 在自由理论中，生成泛函可以精确计算；对于实标量场，拉格朗日量为 $\mathcal{L}=-\frac{1}{2}\varphi (\square +m^2)\varphi$，并用 $Z_0[J]$ 表示自由理论中的生成泛函。

概念：生成泛函（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

In the free theory, we can calculate the generating functional exactly. For a real scalar field, the Lagrangian is

Then, using the notation  $Z_0[J]$  for the generating functional in the free theory,

PDF 文件页：156；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-14:u0149；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

在自由理论中，我们可以精确地计算生成泛函。对于实标量场，拉格朗日量为

$$\mathcal{L}=-\frac{1}{2}\varphi (\square +m^2)\varphi .\text{\hspace{1em}(14.49)}$$

然后，使用记号 $Z_0[J]$ 表示自由理论中的生成泛函，

$$Z_0[J]=\int \mathcal{D}\varphi \exp \left\{i\int d^{4}x\left(-\frac{1}{2}\varphi (\square +m^2)\varphi +J(x)\varphi (x)\right)\right\}.\text{\hspace{1em}(14.50)}$$

我们可以精确求解它，因为它在场中是二次的。我们只需要使用我们的关系式

$${\int }_{-\infty }^{\infty }d\vec{p}{e}^{-\frac{1}{2}\vec{p}A\vec{p}+\vec{J}\vec{p}}=\sqrt{\frac{(2\pi {)}^n}{\det A}}{e}^{\frac{1}{2}\vec{J}{A}^{-1}\vec{J}}\text{\hspace{1em}(14.51)}$$

其中 $A=i(\square +m^2)$。为了计算 $A^{-1}$，我们需要取 $-(\square +m^2)$ 的逆并乘以 $i$。这个逆是一个函数 $\Pi (x-y)$，满足

后文使用：自由理论生成泛函。

传播子 $\Pi (x-y)$

引入 · 为计算 $A^{-1}$，需取 $-(\square +m^2)$ 的逆并乘以 $i$；该逆为函数 $\Pi (x-y)$，满足 $({\square }_x+m^2)\Pi (x-y)=-\delta (x-y)$，并由传播子 $\Pi (x-y)=\int \frac{d^{4}p}{(2\pi {)}^4}\frac{1}{p^2-m^2}{e}^{ip(x-y)}$ 解出。

概念：传播子 $\Pi (x-y)$（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

To compute  $A^{-1}$  we need to take the inverse of  $-( \square + m^2 )$  and multiply by  $i$ . This inverse is a function  $\Pi (x - y)$  satisfying

As we know, this equation is solved by the propagator

PDF 文件页：156；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-14:u0149；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

然后，使用记号 $Z_0[J]$ 表示自由理论中的生成泛函，

$$Z_0[J]=\int \mathcal{D}\varphi \exp \left\{i\int d^{4}x\left(-\frac{1}{2}\varphi (\square +m^2)\varphi +J(x)\varphi (x)\right)\right\}.\text{\hspace{1em}(14.50)}$$

我们可以精确求解它，因为它在场中是二次的。我们只需要使用我们的关系式

$${\int }_{-\infty }^{\infty }d\vec{p}{e}^{-\frac{1}{2}\vec{p}A\vec{p}+\vec{J}\vec{p}}=\sqrt{\frac{(2\pi {)}^n}{\det A}}{e}^{\frac{1}{2}\vec{J}{A}^{-1}\vec{J}}\text{\hspace{1em}(14.51)}$$

其中 $A=i(\square +m^2)$。为了计算 $A^{-1}$，我们需要取 $-(\square +m^2)$ 的逆并乘以 $i$。这个逆是一个函数 $\Pi (x-y)$，满足

$$\left({\square }_x+m^2\right)\Pi (x-y)=-\delta (x-y).\text{\hspace{1em}(14.52)}$$

正如我们所知，这个方程由传播子解出

$$\Pi (x-y)=\int \frac{d^{4}p}{(2\pi {)}^4}\frac{1}{p^2-m^2}{e}^{ip(x-y)}\text{\hspace{1em}(14.53)}$$

直到边界条件。因此，

$$Z_0[J]=N\exp \left\{i\int d^{4}x\int d^{4}y\frac{1}{2}J(x)\Pi (x-y)J(y)\right\}\text{\hspace{1em}(14.54)}$$

于是，

后文使用：传播子 $\Pi (x-y)$。

传播子 $\Pi (x-y)$

回指 · 自由生成泛函 $Z_0[J]$ 由式 (14.54) 给出，其中 $\Pi (x-y)$ 是传播子；由式 (14.55)，$⟨0|T\{{\hat{\varphi }}_0(x){\hat{\varphi }}_0(y)\}|0⟩=i\Pi (x-y)=\int \frac{d^{4}p}{(2\pi {)}^4}\frac{i}{p^2-m^2}{e}^{ip(x-y)}$。

概念：传播子 $\Pi (x-y)$（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

Z _ {0} [ J ] = N \exp \left\{i \int d ^ {4} x \int d ^ {4} y \frac {1}{2} J (x) \Pi (x - y) J (y) \right\}

\langle 0 | T \{\hat {\phi} _ {0} (x) \hat {\phi} _ {0} (y) \} | 0 \rangle = (- i) ^ {2} \frac {1}{Z _ {0} [ 0 ]} \left. \frac {\partial^ {2} Z _ {0} [ J ]}{\partial J (x) \partial J (y)} \right| _ {J = 0}

PDF 文件页：156；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-14:u0160；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

$$\left({\square }_x+m^2\right)\Pi (x-y)=-\delta (x-y).\text{\hspace{1em}(14.52)}$$

正如我们所知，这个方程由传播子解出

$$\Pi (x-y)=\int \frac{d^{4}p}{(2\pi {)}^4}\frac{1}{p^2-m^2}{e}^{ip(x-y)}\text{\hspace{1em}(14.53)}$$

直到边界条件。因此，

$$Z_0[J]=N\exp \left\{i\int d^{4}x\int d^{4}y\frac{1}{2}J(x)\Pi (x-y)J(y)\right\}\text{\hspace{1em}(14.54)}$$

于是，

$$\begin{array}{l}⟨0|T\{{\hat{\varphi }}_0(x){\hat{\varphi }}_0(y)\}|0⟩=(-i{)}^2\frac{1}{Z_0[0]}{\frac{{\partial }^2{Z}_0[J]}{\partial J(x)\partial J(y)}|}_{J=0}\\ =i\Pi (x-y)\\ =\int \frac{d^{4}p}{(2\pi {)}^4}\frac{i}{p^2-m^2}{e}^{ip(x-y)},\end{array}\text{\hspace{1em}(14.55)}$$

其中 $|0⟩$ 被用来代替 $|\Omega ⟩$ 表示自由真空，而 ${\hat{\varphi }}_0(x)$ 是自由量子场。这与我们用产生和湮灭算符计算出的费曼传播子一致，只差一个 $i\epsilon$ 因子，这将在第 14.4 节讨论。

使用前文：传播子 $\Pi (x-y)$。模型判断为使用；原文：Z _ {0} [ J ] = N \exp \left\{i \int d ^ {4} x \int d ^ {4} y \frac {1}{2} J (x) \Pi (x - y) J (y) \right\}

与费曼传播子一致（差 $i\epsilon$ 因子）

限定 · 式 (14.55) 的结果与用产生和湮灭算符计算出的费曼传播子一致，只差一个 $i\epsilon$ 因子；该因子将在第 14.4 节讨论。

概念：与费曼传播子一致（差 $i\epsilon$ 因子）（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

This agrees with the Feynman propagator that we calculated using creation and annihilation operators, up to the factor of  $i\varepsilon$ , which will be discussed in Section 14.4.

PDF 文件页：157；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-14:u0160；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

直到边界条件。因此，

$$Z_0[J]=N\exp \left\{i\int d^{4}x\int d^{4}y\frac{1}{2}J(x)\Pi (x-y)J(y)\right\}\text{\hspace{1em}(14.54)}$$

于是，

$$\begin{array}{l}⟨0|T\{{\hat{\varphi }}_0(x){\hat{\varphi }}_0(y)\}|0⟩=(-i{)}^2\frac{1}{Z_0[0]}{\frac{{\partial }^2{Z}_0[J]}{\partial J(x)\partial J(y)}|}_{J=0}\\ =i\Pi (x-y)\\ =\int \frac{d^{4}p}{(2\pi {)}^4}\frac{i}{p^2-m^2}{e}^{ip(x-y)},\end{array}\text{\hspace{1em}(14.55)}$$

其中 $|0⟩$ 被用来代替 $|\Omega ⟩$ 表示自由真空，而 ${\hat{\varphi }}_0(x)$ 是自由量子场。这与我们用产生和湮灭算符计算出的费曼传播子一致，只差一个 $i\epsilon$ 因子，这将在第 14.4 节讨论。

后文使用：路径积分中的 $i\epsilon$ 与时间排序边界条件。

后文使用：自由费曼传播子。

自由真空与自由量子场

引入 · 在式 (14.55) 中，用 $|0⟩$ 代替 $|\Omega ⟩$ 表示自由真空，${\hat{\varphi }}_0(x)$ 是自由量子场。

概念：自由真空与自由量子场（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

where  $|0\rangle$  is used instead of  $|\Omega \rangle$  for the free vacuum and  $\hat{\phi}_0(x)$  are the free quantum fields.

PDF 文件页：157；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-14:u0160；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

直到边界条件。因此，

$$Z_0[J]=N\exp \left\{i\int d^{4}x\int d^{4}y\frac{1}{2}J(x)\Pi (x-y)J(y)\right\}\text{\hspace{1em}(14.54)}$$

于是，

$$\begin{array}{l}⟨0|T\{{\hat{\varphi }}_0(x){\hat{\varphi }}_0(y)\}|0⟩=(-i{)}^2\frac{1}{Z_0[0]}{\frac{{\partial }^2{Z}_0[J]}{\partial J(x)\partial J(y)}|}_{J=0}\\ =i\Pi (x-y)\\ =\int \frac{d^{4}p}{(2\pi {)}^4}\frac{i}{p^2-m^2}{e}^{ip(x-y)},\end{array}\text{\hspace{1em}(14.55)}$$

其中 $|0⟩$ 被用来代替 $|\Omega ⟩$ 表示自由真空，而 ${\hat{\varphi }}_0(x)$ 是自由量子场。这与我们用产生和湮灭算符计算出的费曼传播子一致，只差一个 $i\epsilon$ 因子，这将在第 14.4 节讨论。

四点函数

推导 · 通过计算 $Z_0[J]$ 的四阶导数并在 $J=0$ 处取值，得到自由场四点时间排序乘积，结果为三项费曼传播子乘积之和：$D_{34}{D}_{12}+D_{23}{D}_{14}+D_{13}{D}_{24}$。

概念：四点函数（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

Four-point function

We can also compute higher-order products:

Before we continue, let us simplify the notation by replacing arguments by subscripts. Then

Thus,

PDF 文件页：157；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-14:u0165；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

14.3.2 四点函数

我们也可以计算更高阶的乘积：

$$\begin{array}{l}⟨0|T\left\{{\hat{\varphi }}_0(x_1){\hat{\varphi }}_0(x_2){\hat{\varphi }}_0(x_3){\hat{\varphi }}_0(x_4)\right\}|0⟩=(-i{)}^4\frac{1}{Z_0[0]}\frac{{\partial }^4{Z}_0}{\partial J(x_1)\cdots \partial J(x_4)}{|}_{J=0}\\ =\frac{1}{Z_0[0]}\frac{{\partial }^4}{\partial J(x_1)\cdots \partial J(x_4)}{e}^{-\frac{1}{2}\int d^{4}x\int d^{4}yJ(x)D_F(x-y)J(y)}{|}_{J=0}\\ =\frac{1}{Z_0[0]}\frac{{\partial }^3}{\partial J(x_1)\partial J(x_2)\partial J(x_3)}\\ \times \left(-\int d^{4}z{D}_F\left(x_4-z\right)J(z)\right)e^{-\frac{1}{2}\int d^{4}x\int d^{4}yJ(x)D_F(x-y)J(y)}{|}_{J=0}.\end{array}\text{\hspace{1em}(14.56)}$$

在继续之前，让我们通过用下标替换自变量来简化记号。于是

$$\begin{array}{l}{\frac{{\partial }^4}{\partial J_1\partial J_2\partial J_3\partial J_4}{e}^{-\frac{1}{2}{J}_x{D}_{xy}{J}_y}|}_{J=0}={\frac{{\partial }^3}{\partial J_1\partial J_2\partial J_3}(-J_z{D}_{z4})e^{-\frac{1}{2}{J}_x{D}_{xy}{J}_y}|}_{J=0}\\ =\frac{{\partial }^2}{\partial J_1\partial J_2}(-D_{34}+J_z{D}_{z3}{J}_w{D}_{w4})e^{-\frac{1}{2}{J}_x{D}_{xy}{J}_y}{|}_{J=0}\\ =\frac{\partial }{\partial J_1}\left(D_{34}{J}_z{D}_{z2}+D_{23}{J}_w{D}_{w4}+J_z{D}_{z3}{D}_{24}-J_z{D}_{z3}{J}_w{D}_{w4}{J}_r{D}_{r2}\right)e^{-\frac{1}{2}{J}_x{D}_{xy}{J}_y}{|}_{J=0}\\ =D_{34}{D}_{12}+D_{23}{D}_{14}+D_{13}{D}_{24}.\end{array}\text{\hspace{1em}(14.57)}$$

因此，

$$⟨0|T\left\{{\hat{\varphi }}_0\left(x_1\right){\hat{\varphi }}_0\left(x_2\right){\hat{\varphi }}_0\left(x_3\right){\hat{\varphi }}_0\left(x_4\right)\right\}|0⟩=\underset{x_2}{\overset{x_1}{⨁}}\underset{x_4}{\overset{x_3+x_1}{⨁}}\underset{x_2}{\overset{x_3+x_1}{⨁}}+\underset{x_4}{\overset{x_3}{⨁}}.\text{\hspace{1em}(14.58)}$$

这些就是我们在第 7 章的正则方法中找到的同样三个收缩（参见式 (7.17)）。更一般地，每个导数既可以消灭一个 $J$ 因子，也可以从指数中拉下一个 $J$ 因子。最后，我们令 $J=0$，所以消灭必须与拉下配对。$Z_0[0]$ 因子给出真空泡，它们从 $S$ 矩阵的连通部分中脱落，正如在第 7.2 节给出的费曼规则的哈密顿量推导中那样。

后文使用：与第 7 章正则方法中的收缩一致。

后文使用：真空泡从 S 矩阵连通部分中脱落。

真空泡从 S 矩阵连通部分中脱落

限定 · $Z_0[0]$ 因子给出真空泡，它们从 $S$ 矩阵的连通部分中脱落，正如第 7.2 节费曼规则的哈密顿量推导中那样。

概念：真空泡从 S 矩阵连通部分中脱落（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

The  $Z_0[0]$  factor gives the vacuum bubbles that drop out of the connected part of the  $S$ -matrix, as they did in the Hamiltonian derivation of the Feynman rules presented in Section 7.2.

PDF 文件页：157；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-14:u0165；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

在继续之前，让我们通过用下标替换自变量来简化记号。于是

$$\begin{array}{l}{\frac{{\partial }^4}{\partial J_1\partial J_2\partial J_3\partial J_4}{e}^{-\frac{1}{2}{J}_x{D}_{xy}{J}_y}|}_{J=0}={\frac{{\partial }^3}{\partial J_1\partial J_2\partial J_3}(-J_z{D}_{z4})e^{-\frac{1}{2}{J}_x{D}_{xy}{J}_y}|}_{J=0}\\ =\frac{{\partial }^2}{\partial J_1\partial J_2}(-D_{34}+J_z{D}_{z3}{J}_w{D}_{w4})e^{-\frac{1}{2}{J}_x{D}_{xy}{J}_y}{|}_{J=0}\\ =\frac{\partial }{\partial J_1}\left(D_{34}{J}_z{D}_{z2}+D_{23}{J}_w{D}_{w4}+J_z{D}_{z3}{D}_{24}-J_z{D}_{z3}{J}_w{D}_{w4}{J}_r{D}_{r2}\right)e^{-\frac{1}{2}{J}_x{D}_{xy}{J}_y}{|}_{J=0}\\ =D_{34}{D}_{12}+D_{23}{D}_{14}+D_{13}{D}_{24}.\end{array}\text{\hspace{1em}(14.57)}$$

因此，

$$⟨0|T\left\{{\hat{\varphi }}_0\left(x_1\right){\hat{\varphi }}_0\left(x_2\right){\hat{\varphi }}_0\left(x_3\right){\hat{\varphi }}_0\left(x_4\right)\right\}|0⟩=\underset{x_2}{\overset{x_1}{⨁}}\underset{x_4}{\overset{x_3+x_1}{⨁}}\underset{x_2}{\overset{x_3+x_1}{⨁}}+\underset{x_4}{\overset{x_3}{⨁}}.\text{\hspace{1em}(14.58)}$$

这些就是我们在第 7 章的正则方法中找到的同样三个收缩（参见式 (7.17)）。更一般地，每个导数既可以消灭一个 $J$ 因子，也可以从指数中拉下一个 $J$ 因子。最后，我们令 $J=0$，所以消灭必须与拉下配对。$Z_0[0]$ 因子给出真空泡，它们从 $S$ 矩阵的连通部分中脱落，正如在第 7.2 节给出的费曼规则的哈密顿量推导中那样。

使用前文：四点函数。模型判断为回指；原文：These are the same three contractions we found in the canonical approach in Chapter 7 (cf. Eq. (7.17)).

后文使用：路径积分中的 $i\epsilon$ 与时间排序边界条件。

与第 7 章正则方法中的收缩一致

回指 · 式 (14.58) 中的三个收缩与第 7 章正则方法中找到的同样三个收缩相同（参见式 (7.17)）。

概念：与第 7 章正则方法中的收缩一致（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

These are the same three contractions we found in the canonical approach in Chapter 7 (cf. Eq. (7.17)).

PDF 文件页：157；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-14:u0165；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

在继续之前，让我们通过用下标替换自变量来简化记号。于是

$$\begin{array}{l}{\frac{{\partial }^4}{\partial J_1\partial J_2\partial J_3\partial J_4}{e}^{-\frac{1}{2}{J}_x{D}_{xy}{J}_y}|}_{J=0}={\frac{{\partial }^3}{\partial J_1\partial J_2\partial J_3}(-J_z{D}_{z4})e^{-\frac{1}{2}{J}_x{D}_{xy}{J}_y}|}_{J=0}\\ =\frac{{\partial }^2}{\partial J_1\partial J_2}(-D_{34}+J_z{D}_{z3}{J}_w{D}_{w4})e^{-\frac{1}{2}{J}_x{D}_{xy}{J}_y}{|}_{J=0}\\ =\frac{\partial }{\partial J_1}\left(D_{34}{J}_z{D}_{z2}+D_{23}{J}_w{D}_{w4}+J_z{D}_{z3}{D}_{24}-J_z{D}_{z3}{J}_w{D}_{w4}{J}_r{D}_{r2}\right)e^{-\frac{1}{2}{J}_x{D}_{xy}{J}_y}{|}_{J=0}\\ =D_{34}{D}_{12}+D_{23}{D}_{14}+D_{13}{D}_{24}.\end{array}\text{\hspace{1em}(14.57)}$$

因此，

$$⟨0|T\left\{{\hat{\varphi }}_0\left(x_1\right){\hat{\varphi }}_0\left(x_2\right){\hat{\varphi }}_0\left(x_3\right){\hat{\varphi }}_0\left(x_4\right)\right\}|0⟩=\underset{x_2}{\overset{x_1}{⨁}}\underset{x_4}{\overset{x_3+x_1}{⨁}}\underset{x_2}{\overset{x_3+x_1}{⨁}}+\underset{x_4}{\overset{x_3}{⨁}}.\text{\hspace{1em}(14.58)}$$

这些就是我们在第 7 章的正则方法中找到的同样三个收缩（参见式 (7.17)）。更一般地，每个导数既可以消灭一个 $J$ 因子，也可以从指数中拉下一个 $J$ 因子。最后，我们令 $J=0$，所以消灭必须与拉下配对。$Z_0[0]$ 因子给出真空泡，它们从 $S$ 矩阵的连通部分中脱落，正如在第 7.2 节给出的费曼规则的哈密顿量推导中那样。

使用前文：四点函数。模型判断为回指；原文：These are the same three contractions we found in the canonical approach in Chapter 7 (cf. Eq. (7.17)).

后文使用：从路径积分重现费曼规则。

相互作用

引入 · 现在假设有相互作用，拉格朗日量为 $\mathcal{L}=-\frac{1}{2}\varphi (\square +m^2)\varphi +\frac{g}{3!}{\varphi }^3$。

概念：相互作用（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

Now suppose we have interactions

PDF 文件页：158；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-14:u0173；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

现在假设我们有相互作用

$$\mathcal{L}=-\frac{1}{2}\varphi (\square +m^2)\varphi +\frac{g}{3!}{\varphi }^3.\text{\hspace{1em}(14.59)}$$

那么，我们可以写出

$$\begin{array}{l}Z[J]=\int \mathcal{D}\varphi e^{i\int d^{4}x\left[\frac{1}{2}\varphi (-\square -m^2)\varphi +J(x)\varphi (x)+\frac{g}{3!}{\varphi }^3\right]}\\ =\int \mathcal{D}\varphi e^{i\int d^{4}x\left[\frac{1}{2}\varphi (-\square -m^2)\varphi +J(x)\varphi (x)\right]}{e}^{i\int d^{4}x\frac{g}{3!}{\varphi }^3}\\ =\int \mathcal{D}\varphi e^{i\int d^{4}x\left[\frac{1}{2}\varphi (-\square -m^2)\varphi +J(x)\varphi (x)\right]}\\ \times \left[1+\frac{ig}{3!}\int d^{4}z{\varphi }^3(z)+{\left(\frac{ig}{3!}\right)}^2\frac{1}{2}\int d^{4}z\int d^{4}w{\varphi }^3(z){\varphi }^3(w)+\dots \right].\end{array}\text{\hspace{1em}(14.60)}$$

这个展开中的每一项都是自由理论中的一个路径积分。因此我们可以写出

自由理论生成泛函

回指 · 在式 (14.61) 中，$Z_0[J]$ 是自由理论中的生成泛函。

概念：生成泛函（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

where  $Z_{0}[J]$  is the generating functional in the free theory.

PDF 文件页：158；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-14:u0173；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

那么，我们可以写出

$$\begin{array}{l}Z[J]=\int \mathcal{D}\varphi e^{i\int d^{4}x\left[\frac{1}{2}\varphi (-\square -m^2)\varphi +J(x)\varphi (x)+\frac{g}{3!}{\varphi }^3\right]}\\ =\int \mathcal{D}\varphi e^{i\int d^{4}x\left[\frac{1}{2}\varphi (-\square -m^2)\varphi +J(x)\varphi (x)\right]}{e}^{i\int d^{4}x\frac{g}{3!}{\varphi }^3}\\ =\int \mathcal{D}\varphi e^{i\int d^{4}x\left[\frac{1}{2}\varphi (-\square -m^2)\varphi +J(x)\varphi (x)\right]}\\ \times \left[1+\frac{ig}{3!}\int d^{4}z{\varphi }^3(z)+{\left(\frac{ig}{3!}\right)}^2\frac{1}{2}\int d^{4}z\int d^{4}w{\varphi }^3(z){\varphi }^3(w)+\dots \right].\end{array}\text{\hspace{1em}(14.60)}$$

这个展开中的每一项都是自由理论中的一个路径积分。因此我们可以写出

$$\begin{array}{l}Z[J]=Z_0[J]+\frac{ig}{3!}\int d^{4}z(-i{)}^3\frac{{\partial }^3{Z}_0[J]}{(\partial J(z){)}^3}\\ +{\left(\frac{ig}{3!}\right)}^2\frac{1}{2}\int d^{4}z\int d^{4}w(-i{)}^6\frac{{\partial }^6{Z}_0[J]}{{\left(\partial J(z)\right)}^3{\left(\partial J(w)\right)}^3}+\dots ,\end{array}\text{\hspace{1em}(14.61)}$$

其中 $Z_0[J]$ 是自由理论中的生成泛函。

使用前文：自由理论生成泛函。模型判断为使用；原文：where $Z_{0}[J]$ is the generating functional in the free theory.

从路径积分重现费曼规则

推导 · 这个展开重现了在正则图像中计算出的费曼规则；例如，取两个导数形成两点函数并用 $Z[0]$ 归一化，得到式 (14.62)，与第 7 章的式 (7.64) 一致。

概念：从路径积分重现费曼规则（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

This expansion reproduces the Feynman rules we calculated in the canonical picture. For example, taking two derivatives to form the 2-point function and normalizing by  $Z[0]$  we find

which agrees with Eq. (7.64) from Chapter 7. So we have reproduced the Feynman rules from the path integral.

PDF 文件页：158；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-14:u0173；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

这个展开重现了我们在正则图像中计算出的费曼规则。例如，取两个导数以形成两点函数，并用 $Z[0]$ 归一化，我们得到

$$\begin{array}{l}⟨\Omega |T\{\hat{\varphi }(x_1)\hat{\varphi }(x_2)\}|\Omega ⟩=\frac{1}{Z[0]}⟨0|T\{{\hat{\varphi }}_0(x_1){\hat{\varphi }}_0(x_2)\}|0⟩\\ +\frac{ig}{3!}\frac{1}{Z[0]}\int d^{4}z⟨0|T\{{\hat{\varphi }}_0(x_1){\hat{\varphi }}_0(x_2){\hat{\varphi }}_0(z{)}^3\}|0⟩+\dots \\ =\frac{⟨0|T\left\{{\hat{\varphi }}_0\left(x_1\right){\hat{\varphi }}_0\left(x_2\right)e^{i\int d^{4}z\frac{g}{3!}{\hat{\varphi }}_0(z{)}^3}\right\}|0⟩}{⟨0|T\left\{e^{i\int d^{4}z\frac{g}{3!}{\hat{\varphi }}_0(z{)}^3}\right\}|0⟩},\end{array}\text{\hspace{1em}(14.62)}$$

这与第 7 章的式 (7.64) 一致。因此我们从路径积分重现了费曼规则。

使用前文：与第 7 章正则方法中的收缩一致。模型判断为回指；原文：which agrees with Eq. (7.64) from Chapter 7.

路径积分中的 $i\epsilon$ 与时间排序边界条件

引入 · 在路径积分的推导中，传播子似乎以 $\frac{1}{p^2-m^2}$ 的形式出现而没有 $i\epsilon$；没有 $i\epsilon$，路径积分在物理上和数学上都没有定义。从物理角度看，此前只讨论了关联函数而非 $S$ 矩阵元；正如正则方法中那样，时间排序作为相关边界条件的出现与因果过程（如散射，初态在末态之前）的重要性有关。在路径积分中，$i\epsilon$ 可以通过对用于 $S$ 矩阵计算的路径积分施加适当的边界条件来导出。

概念：路径积分中的 $i\epsilon$ 与时间排序边界条件（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

In the derivation of the path integral, propagators seemed to come out as  $\frac{1}{p^2 - m^2}$  without the  $i\varepsilon$ . What happened to the  $i\varepsilon$ , which was supposed to tell us about time ordering? Without the  $i\varepsilon$  the path integral is actually undefined, both physically (for example, not specifying

In the path integral, the  $i\varepsilon$  can be derived by including the appropriate boundary conditions on the path integral for  $S$ -matrix calculations, as we will now show.

PDF 文件页：158, 159；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-14:u0184；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

在路径积分的推导中，传播子似乎以 $\frac{1}{p^2-m^2}$ 的形式出现，而没有 $i\epsilon$。那个本应告诉我们时间排序的 $i\epsilon$ 到哪里去了？没有 $i\epsilon$，路径积分实际上是没有定义的，无论是在物理上（例如，没有指定传播子是超前、推迟、费曼还是别的什么），还是在数学上（它不收敛）。从物理的角度看，我们到目前为止只讨论了关联函数，而不是 $S$ 矩阵元。正如在正则方法中那样，时间排序作为相关边界条件的出现与因果过程的重要性有关，例如散射，其中初态在末态之前。在路径积分中，$i\epsilon$ 可以通过对用于 $S$ 矩阵计算的路径积分施加适当的边界条件来导出，正如我们现在将要展示的。

使用前文：与费曼传播子一致（差 $i\epsilon$ 因子）。模型判断为回指；原文：In the derivation of the path integral, propagators seemed to come out as $\frac{1}{p^2 - m^2}$ without the $i\varepsilon$ .

使用前文：真空泡从 S 矩阵连通部分中脱落。模型判断为回指；原文：From the physical point of view, we have so far only been talking about correlation functions, not $S$ -matrix elements.

后文使用：路径积分中的 $i\epsilon$ 与时间排序边界条件。

路径积分中的 S 矩阵与边界条件

引入 · 在用路径积分计算 $S$ 矩阵元时，被积分的场必须在 $t=\pm \infty$ 处与自由场匹配；$S$ 矩阵可写成 $⟨f|S|i⟩={\int }_{\varphi (t=\pm \infty )\text{ constrained}}\mathcal{D}\varphi e^{iS[\varphi ]}$，也可写成 $⟨f|S|i⟩=\int \mathcal{D}\varphi e^{iS[\varphi ]}⟨f|\varphi (t=+\infty )⟩⟨\varphi (t=-\infty )|i⟩$。

概念：路径积分中的 S 矩阵与边界条件（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

In using the path integral to calculate  $S$ -matrix elements, the fields being integrated over must match onto the free fields at  $t = \pm \infty$ . We can write the  $S$ -matrix in terms of the path integral as

In the path integral, the requirement is that the functions  $\phi (x)$  that are being integrated over match onto the free fields at  $t = \pm \infty$ .

PDF 文件页：159；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-14:u0187；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

在用路径积分计算 $S$ 矩阵元时，被积分的场必须在 $t=\pm \infty$ 处与自由场匹配。我们可以把 $S$ 矩阵用路径积分写成

$$⟨f|S|i⟩={\int }_{\varphi (t=\pm \infty )\text{c o n s t r a i n e d}}\mathcal{D}\varphi e^{iS[\varphi ]}.\text{\hspace{1em}(14.63)}$$

这种记号与非相对论路径积分中施加边界条件的方式一致：在那里对 $x(t)$ 积分，并约束路径满足 $x(t_i)=x_i$ 和 $x(t_f)=x_f$。在路径积分中，要求是被积分的函数 $\varphi (x)$ 在 $t=\pm \infty$ 处与自由场匹配。为了更精确，我们可以把约束写成对以 $\varphi (\vec{x})$ 为本征值的态的投影：

$$⟨f|S|i⟩=\int \mathcal{D}\varphi e^{iS[\varphi ]}⟨f|\varphi (t=+\infty )⟩⟨\varphi (t=-\infty )|i⟩.\text{\hspace{1em}(14.64)}$$

这里我们恢复了第 14.2.3 节的记号：$|\varphi ⟩$ 是场算符 $\hat{\varphi }(\vec{x})$ 的本征态，如式 (14.19) 那样：$\hat{\varphi }(\vec{x})|\varphi ⟩=\varphi (\vec{x})|\varphi ⟩$。式 (14.64) 说明，路径积分被限制为对具有散射问题正确边界条件的场组态积分。

后文使用：场算符本征态 $|\varphi ⟩$。

场算符本征态 $|\varphi ⟩$

回指 · 恢复第 14.2.3 节的记号：$|\varphi ⟩$ 是场算符 $\hat{\varphi }(\vec{x})$ 的本征态，如式 (14.19) 那样 $\hat{\varphi }(\vec{x})|\varphi ⟩=\varphi (\vec{x})|\varphi ⟩$；式 (14.64) 说明路径积分被限制为对具有散射问题正确边界条件的场组态积分。

概念：场算符本征态 $|\varphi ⟩$（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

Here, we have reinstated the notation from Section 14.2.3 that  $|\phi \rangle$  is the eigenstate of the field operator  $\hat{\phi}(\vec{x})$ , as in Eq. (14.19):  $\hat{\phi}(\vec{x}) |\phi\rangle = \phi(\vec{x}) |\phi\rangle$ .

PDF 文件页：159；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-14:u0187；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

在用路径积分计算 $S$ 矩阵元时，被积分的场必须在 $t=\pm \infty$ 处与自由场匹配。我们可以把 $S$ 矩阵用路径积分写成

$$⟨f|S|i⟩={\int }_{\varphi (t=\pm \infty )\text{c o n s t r a i n e d}}\mathcal{D}\varphi e^{iS[\varphi ]}.\text{\hspace{1em}(14.63)}$$

这种记号与非相对论路径积分中施加边界条件的方式一致：在那里对 $x(t)$ 积分，并约束路径满足 $x(t_i)=x_i$ 和 $x(t_f)=x_f$。在路径积分中，要求是被积分的函数 $\varphi (x)$ 在 $t=\pm \infty$ 处与自由场匹配。为了更精确，我们可以把约束写成对以 $\varphi (\vec{x})$ 为本征值的态的投影：

$$⟨f|S|i⟩=\int \mathcal{D}\varphi e^{iS[\varphi ]}⟨f|\varphi (t=+\infty )⟩⟨\varphi (t=-\infty )|i⟩.\text{\hspace{1em}(14.64)}$$

这里我们恢复了第 14.2.3 节的记号：$|\varphi ⟩$ 是场算符 $\hat{\varphi }(\vec{x})$ 的本征态，如式 (14.19) 那样：$\hat{\varphi }(\vec{x})|\varphi ⟩=\varphi (\vec{x})|\varphi ⟩$。式 (14.64) 说明，路径积分被限制为对具有散射问题正确边界条件的场组态积分。

使用前文：路径积分中的 S 矩阵与边界条件。模型判断为使用；原文：Here, we have reinstated the notation from Section 14.2.3 that $|\phi \rangle$ is the eigenstate of the field operator $\hat{\phi}(\vec{x})$ , as in Eq. (14.19): $\hat{\phi}(\vec{x}) |\phi\rangle = \phi(\vec{x}) |\phi\rangle$ .

自由真空振幅的高斯形式

推导 · 考虑自由理论并限制到 $|f⟩=|i⟩=|0⟩$，这足以导出 $i\epsilon$；真空振幅 $⟨\Phi |0⟩$ 中 $|0⟩$ 由 $a_p|0⟩=0$ 定义。单谐振子基态波函数为 $\varphi (x)=⟨x|0⟩=e^{-\frac{1}{2}{x}^2}$（相差常数），自由场论版本也是高斯的：$⟨0|\Phi ⟩=\mathcal{N}\exp \left(-\frac{1}{2}\int d^3\vec{x}{d}^3\vec{y}\mathcal{E}(\vec{x},\vec{y})\varphi (\vec{x})\varphi (\vec{y})\right)$，其中 $\mathcal{E}(\vec{x},\vec{y})=\int \frac{d^{3}p}{(2\pi {)}^3}{e}^{i\vec{p}(\vec{x}-\vec{y})}{\omega }_p$。

概念：自由真空振幅的高斯形式（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

Let us consider the free theory, and restrict to the case where  $|f\rangle = |i\rangle = |0\rangle$ , which is enough to derive the  $i\varepsilon$ . For the vacuum amplitude, we need to evaluate  $\langle \Phi |0\rangle$  with  $|0\rangle$  defined by  $a_{p}|0\rangle = 0$ .

where  $\mathcal{N}$  is some constant and

PDF 文件页：159；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-14:u0187；模型：deepseek-v4.1-flash。

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让我们考虑自由理论，并限制到 $|f⟩=|i⟩=|0⟩$ 的情形，这足以导出 $i\epsilon$。对于真空振幅，我们需要计算 $⟨\Phi |0⟩$，其中 $|0⟩$ 由 $a_p|0⟩=0$ 定义。对于单个谐振子，真空被基态取代，你可能记得，基态的波函数是 $\varphi (x)=⟨x|0⟩=e^{-\frac{1}{2}{x}^2}$，相差一些常数。自由场论版本也是高斯的：

$$⟨0|\Phi ⟩=\mathcal{N}\exp \left(-\frac{1}{2}\int d^3\vec{x}{d}^3\vec{y}\mathcal{E}(\vec{x},\vec{y})\varphi (\vec{x})\varphi (\vec{y})\right),\text{\hspace{1em}(14.65)}$$

其中 $\mathcal{N}$ 是某个常数，并且

$$\mathcal{E}(\vec{x},\vec{y})=\int \frac{d^{3}p}{(2\pi {)}^3}{e}^{i\vec{p}(\vec{x}-\vec{y})}{\omega }_p.\text{\hspace{1em}(14.66)}$$

在习题 14.3 中你可以推导这一点，也可以找到用 Hankel 函数表示的 $\mathcal{E}(\vec{x},\vec{y})$ 的显式表达式。我们既不给出推导，也不给出显式形式，因为二者都与最终答案无关。

自由真空振幅的高斯形式

回指 · 此时已有式 (14.67)：$⟨0|\Phi (t=+\infty )⟩⟨\Phi (t=-\infty )|0⟩={\left|\mathcal{N}\right|}^2\exp \left(-\frac{1}{2}\int d^3\vec{x}{d}^3\vec{y}[\varphi (\vec{x},\infty )\varphi (\vec{y},\infty )+\varphi (\vec{x},-\infty )\varphi (\vec{y},-\infty )]\mathcal{E}(\vec{x},\vec{y})\right)$。

概念：自由真空振幅的高斯形式（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

At this point, we have

PDF 文件页：160；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-14:u0198；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

此时，我们有

$$\begin{array}{l}⟨0|\Phi (t=+\infty )⟩⟨\Phi (t=-\infty )|0⟩\\ ={\left|\mathcal{N}\right|}^2\exp \left(-\frac{1}{2}\int d^3\vec{x}{d}^3\vec{y}[\varphi (\vec{x},\infty )\varphi (\vec{y},\infty )+\varphi (\vec{x},-\infty )\varphi (\vec{y},-\infty )]\mathcal{E}(\vec{x},\vec{y})\right).\end{array}\text{\hspace{1em}(14.67)}$$

为了把它改写成在路径积分中看起来更像局域相互作用的形式，我们需要插入一个 $dt$ 积分。我们可以用恒等式（见习题 14.4）做到这一点

$$f(\infty )+f(-\infty )=\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }\epsilon {\int }_{-\infty }^{\infty }dtf(t)e^{-\epsilon |t|},\text{\hspace{1em}(14.68)}$$

它对任意光滑函数 $f(\tau )$ 都成立（这里 $\epsilon \to 0^{+}$ 表示 $\epsilon$ 从上方趋于零）。于是

后文使用：真空振幅的路径积分形式。

路径积分中的 $i\epsilon$ 与时间排序边界条件

推导 · 为把式 (14.67) 改写成路径积分中更像局域相互作用的形式，插入 $dt$ 积分；利用恒等式 $f(\infty )+f(-\infty )={\lim }_{\epsilon \to 0^{+}}\epsilon {\int }_{-\infty }^{\infty }dtf(t)e^{-\epsilon |t|}$（对任意光滑函数 $f(\tau )$ 成立，$\epsilon \to 0^{+}$ 表示从上方趋于零），得到式 (14.69)；其中令 $e^{-\epsilon |t|}=1$，因为只关心 $\epsilon \to 0$ 时的领头项。

概念：路径积分中的 $i\epsilon$ 与时间排序边界条件（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

To massage this into a form that looks more like a local interaction in the path integral, we need to insert a  $dt$  integral. We can do that with the identity (see Problem 14.4)

which holds for any smooth function  $f(\tau)$  (here,  $\varepsilon \to 0^+$  means  $\varepsilon$  is taken to zero from above). Then

where we set  $e^{-\varepsilon |t|} = 1$  since we only care about the leading term as  $\varepsilon \to 0$ .

PDF 文件页：160；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-14:u0198；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

此时，我们有

$$\begin{array}{l}⟨0|\Phi (t=+\infty )⟩⟨\Phi (t=-\infty )|0⟩\\ ={\left|\mathcal{N}\right|}^2\exp \left(-\frac{1}{2}\int d^3\vec{x}{d}^3\vec{y}[\varphi (\vec{x},\infty )\varphi (\vec{y},\infty )+\varphi (\vec{x},-\infty )\varphi (\vec{y},-\infty )]\mathcal{E}(\vec{x},\vec{y})\right).\end{array}\text{\hspace{1em}(14.67)}$$

为了把它改写成在路径积分中看起来更像局域相互作用的形式，我们需要插入一个 $dt$ 积分。我们可以用恒等式（见习题 14.4）做到这一点

$$f(\infty )+f(-\infty )=\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }\epsilon {\int }_{-\infty }^{\infty }dtf(t)e^{-\epsilon |t|},\text{\hspace{1em}(14.68)}$$

它对任意光滑函数 $f(\tau )$ 都成立（这里 $\epsilon \to 0^{+}$ 表示 $\epsilon$ 从上方趋于零）。于是

$$\begin{array}{l}⟨\Phi (-\infty )|0⟩⟨0|\Phi (+\infty )⟩\\ ={\lim }_{\epsilon \to 0^{+}}|\mathcal{N}{|}^2\exp \left(-\frac{1}{2}\epsilon \int dt\frac{d^{3}p}{(2\pi {)}^3}\int d^3\vec{x}{d}^3\vec{y}\varphi (\vec{x},t)\varphi (\vec{y},t)e^{i\vec{p}(\vec{x}-\vec{y})}{\omega }_p\right),\end{array}\text{\hspace{1em}(14.69)}$$

其中我们令 $e^{-\epsilon |t|}=1$，因为我们只关心 $\epsilon \to 0$ 时的领头项。

使用前文：路径积分中的 $i\epsilon$ 与时间排序边界条件。模型判断为使用；原文：we need to insert a $dt$ integral

真空振幅的路径积分形式

推导 · 真空振幅于是为式 (14.70)：$⟨0|0⟩={\lim }_{\epsilon \to 0^{+}}|\mathcal{N}{|}^2\int \mathcal{D}\varphi \times \exp \left(\frac{-i}{2}\int d^{4}x\int d^{3}y\int \frac{d^{3}p}{(2\pi {)}^3}{e}^{i\vec{p}(\vec{x}-\vec{y})}\varphi (\vec{y},t)\left(\square +m^2-i\epsilon {\omega }_p\right)\varphi (\vec{x},t)\right)$；对于 $\epsilon \to 0$，$i\epsilon {\omega }_p$ 可替换为 $i\epsilon$，得到式 (14.71)：$⟨0|0⟩={\lim }_{\epsilon \to 0^{+}}{\left|\mathcal{N}\right|}^2\int \mathcal{D}\varphi \exp \left(\frac{-i}{2}\int d^{4}x\varphi (x)\left(\square +m^2-i\epsilon \right)\varphi (x)\right)$。

概念：自由真空振幅的高斯形式（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

The vacuum amplitude is then

For  $\varepsilon \to 0$  the  $i\varepsilon \omega_{p}$  can be replaced with  $i\varepsilon$  giving

PDF 文件页：160；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-14:u0198；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

真空振幅于是为

$$\begin{array}{l}⟨0|0⟩={\lim }_{\epsilon \to 0^{+}}|\mathcal{N}{|}^2\int \mathcal{D}\varphi \\ \times \exp \left(\frac{-i}{2}\int d^{4}x\int d^{3}y\int \frac{d^{3}p}{(2\pi {)}^3}{e}^{i\vec{p}(\vec{x}-\vec{y})}\varphi (\vec{y},t)\left(\square +m^2-i\epsilon {\omega }_p\right)\varphi (\vec{x},t)\right).\end{array}\text{\hspace{1em}(14.70)}$$

对于 $\epsilon \to 0$，$i\epsilon {\omega }_p$ 可以替换为 $i\epsilon$，得到

$$⟨0|0⟩=\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }{\left|\mathcal{N}\right|}^2\int \mathcal{D}\varphi \exp \left(\frac{-i}{2}\int d^{4}x\varphi (x)\left(\square +m^2-i\epsilon \right)\varphi (x)\right).\text{\hspace{1em}(14.71)}$$

将场插入关联函数后的推导完全相同。于是我们推出自由传播子为

$$⟨0|T\{{\hat{\varphi }}_0(x){\hat{\varphi }}_0(y)\}|0⟩=\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }\int \frac{d^{4}p}{(2\pi {)}^4}\frac{i}{p^2-m^2+i\epsilon }{e}^{ip(x-y)},\text{\hspace{1em}(14.72)}$$

这正是通常的费曼传播子。更多细节参见 [Weinberg, 1995, 第 9.1 节]。

使用前文：自由真空振幅的高斯形式。模型判断为细化；原文：The vacuum amplitude is then

自由费曼传播子

推导 · 将场插入关联函数后的推导完全相同，由此推出自由传播子为式 (14.72)：$⟨0|T\{{\hat{\varphi }}_0(x){\hat{\varphi }}_0(y)\}|0⟩={\lim }_{\epsilon \to 0^{+}}\int \frac{d^{4}p}{(2\pi {)}^4}\frac{i}{p^2-m^2+i\epsilon }{e}^{ip(x-y)}$，这正是通常的费曼传播子。

概念：与费曼传播子一致（差 $i\epsilon$ 因子）（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

The derivation with fields inserted into the correlation function is identical. So we derive that the free propagator is

which is the normal Feynman propagator.

PDF 文件页：160；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-14:u0209；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

真空振幅于是为

$$\begin{array}{l}⟨0|0⟩={\lim }_{\epsilon \to 0^{+}}|\mathcal{N}{|}^2\int \mathcal{D}\varphi \\ \times \exp \left(\frac{-i}{2}\int d^{4}x\int d^{3}y\int \frac{d^{3}p}{(2\pi {)}^3}{e}^{i\vec{p}(\vec{x}-\vec{y})}\varphi (\vec{y},t)\left(\square +m^2-i\epsilon {\omega }_p\right)\varphi (\vec{x},t)\right).\end{array}\text{\hspace{1em}(14.70)}$$

对于 $\epsilon \to 0$，$i\epsilon {\omega }_p$ 可以替换为 $i\epsilon$，得到

$$⟨0|0⟩=\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }{\left|\mathcal{N}\right|}^2\int \mathcal{D}\varphi \exp \left(\frac{-i}{2}\int d^{4}x\varphi (x)\left(\square +m^2-i\epsilon \right)\varphi (x)\right).\text{\hspace{1em}(14.71)}$$

将场插入关联函数后的推导完全相同。于是我们推出自由传播子为

$$⟨0|T\{{\hat{\varphi }}_0(x){\hat{\varphi }}_0(y)\}|0⟩=\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }\int \frac{d^{4}p}{(2\pi {)}^4}\frac{i}{p^2-m^2+i\epsilon }{e}^{ip(x-y)},\text{\hspace{1em}(14.72)}$$

这正是通常的费曼传播子。更多细节参见 [Weinberg, 1995, 第 9.1 节]。

使用前文：与费曼传播子一致（差 $i\epsilon$ 因子）。模型判断为细化；原文：The derivation with fields inserted into the correlation function is identical. So we derive that the free propagator is / which is the normal Feynman propagator.

后文使用：自由标量场理论中两点函数的施温格-戴森方程。

反射正定性

引入 · 数学物理学家指出 $i\epsilon$ 是反射正定性条件所要求的：在时间反演下，场应当具有正能量；更确切地说，具有正能量的物理场的受限希尔伯特空间 $\varphi (\vec{x},t)$ 在关于时间 $\varphi (\vec{x},-t)$ 反射时生成另一个正能量场的希尔伯特空间（该限制排除了如 $\varphi (\vec{x},t)-\varphi (\vec{x},-t)$ 这样在反射下本征值为 $-1$ 的场）。反射正定性是对正定哈密顿量和幺正理论要求的简洁概括；$i\epsilon$ 的推导先在欧几里得空间定义反射正定性，再解析延拓到闵可夫斯基空间，其中 $i\epsilon$ 来自靠近实 $t$ 轴的围道。

概念：反射正定性（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

Mathematical physicists will tell you that the  $i \varepsilon$  is required by the condition of reflection positivity.

Reflection positivity is a succinct encapsulation of the requirement for a positive definite Hamiltonian and a unitary theory.

PDF 文件页：160, 161；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-14:u0209；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

数学物理学家会告诉你，$i\epsilon$ 是反射正定性条件所要求的。该条件要求：在时间反演下，场应当具有正能量。更确切地说，具有正能量的物理场的受限希尔伯特空间 $\varphi (\vec{x},t)$，在关于时间 $\varphi (\vec{x},-t)$ 反射时生成另一个正能量场的希尔伯特空间（这一限制排除了诸如 $\varphi (\vec{x},t)-\varphi (\vec{x},-t)$ 这样的场，它们在反射下将具有本征值 $-1$）。反射正定性是对正定哈密顿量和幺正理论这一要求的简洁概括。$i\epsilon$ 的推导首先在欧几里得空间中定义反射正定性，然后解析延拓到闵可夫斯基空间，其中 $i\epsilon$ 来自靠近实 $t$ 轴的围道。

$i\epsilon$ 的符号与因果性

限定 · 没有 $i\epsilon$ 时路径积分不收敛；为使其收敛可做 $\epsilon$ 量级的微小形变，定义式 (14.73)。尽管这是证明 $i\epsilon$ 因子合理性的最快方式，它并未解释为何出现 $i\epsilon$ 而非 $-i\epsilon$（后者对应反时间排序）。事实上 $\pm i\epsilon$ 都是同样有效的路径积分，但只有 $+i\epsilon$ 导致因果散射（$-i\epsilon$ 给出反时间排序的乘积）。

概念：$i\epsilon$ 的符号与因果性（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

A quick way to see how consistency affects the path integral is that without the  $i\varepsilon$  the path integral is not convergent.

In fact, both  $\pm i\varepsilon$  are equally valid path integrals, although only  $+i\varepsilon$  leads to causal scattering ( $-i\varepsilon$  gives anti-time-ordered products).

PDF 文件页：161；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-14:u0209；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

要快速看出自洽性如何影响路径积分，可以注意到：没有 $i\epsilon$ 时路径积分不收敛。为使其收敛，我们可以做一个 $\epsilon$ 量级的微小形变，定义

$$\begin{array}{l}{Z}_0[J]=\int \mathcal{D}\varphi \exp \left\{i\int d^{4}x\left[-\frac{1}{2}\varphi (\square +m^2)\varphi +J(x)\varphi (x)\right]\right\}\exp \left\{-\frac{\epsilon }{2}\int d^{4}x{\varphi }^2)\right\}\\ =\int \mathcal{D}\varphi \exp \left\{i\int d^{4}x\left[\frac{1}{2}\varphi (-\square -m^2+i\epsilon )\varphi +J(x)\varphi (x)\right]\right\}.\end{array}\text{\hspace{1em}(14.73)}$$

尽管这是证明 $i\epsilon$ 因子合理性的最快方式，但它并未解释为什么出现的是 $i\epsilon$ 而不是 $-i\epsilon$，后者将对应反时间排序。事实上，$\pm i\epsilon$ 两者都是同样有效的路径积分，尽管只有 $+i\epsilon$ 导致因果散射（$-i\epsilon$ 给出反时间排序的乘积）。

规范不变性与 $\xi$ 无关性

引入 · 作者在此处提出要证明规范不变性，即规范不变算符的矩阵元与协变规范参数 $\xi$ 无关；并说明将用场重定义来证明。

概念：规范不变性与 $\xi$ 无关性（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

Now we will justify that prescription, and prove gauge-invariance: any matrix element of gauge-invariant operators will be independent of  $\xi$ .

PDF 文件页：162；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-14:u0221；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

回忆一下，无质量自旋为1的粒子的拉格朗日量为 $\mathcal{L}=-\frac{1}{4}{F}_{\mu \nu }^2+J_{\mu }{A}_{\mu }$，它给出动量空间中的运动方程：

$$\left(k^2{g}_{\mu \nu }-k_{\mu }{k}_{\nu }\right)A_{\nu }=J_{\mu }.\text{\hspace{1em}(14.74)}$$

这些方程不可逆，因为算符 $k^2{g}_{\mu \nu }-k_{\mu }{k}_{\nu }$ 的行列式为零（它有一个本征值为0的本征矢量 $k_{\mu }$）。它不可逆的物理原因在于，由于规范不变性，我们无法由 $J_{\mu }$ 唯一地解出 $A_{\mu }$：

$$A_{\mu }\to A_{\mu }+{\partial }_{\mu }\alpha (x).\text{\hspace{1em}(14.75)}$$

换句话说，许多矢量场对应同一个流。我们之前的解决办法是通过在拉格朗日量中加入项 $\frac{1}{2\xi }({\partial }_{\mu }{A}_{\mu }{)}^2$ 来规范固定。现在我们将证明该做法的合理性，并证明规范不变性：规范不变算符的任何矩阵元都将与 $\xi$ 无关。更确切地说，对于一般的场 ${\varphi }_i$ 和相互作用，我们将证明关联函数

$$⟨\Omega |T\left\{\mathcal{O}\left(x_1\dots x_n\right)\right\}|\Omega ⟩=\frac{1}{Z[0]}\int \mathcal{D}{A}_{\mu }\mathcal{D}{\varphi }_i\mathcal{D}{\varphi }_i^{\star }{e}^{i\int d^{4}x\mathcal{L}[A,{\varphi }_i]}\mathcal{O}\left(x_1\dots x_n\right)\text{\hspace{1em}(14.76)}$$

与 $\xi$ 无关，其中 $\mathcal{O}(x_1\cdots x_n)$ 指任何规范不变的场集合。

规范固定项

回指 · 作者回忆之前的解决办法是在拉格朗日量中加入规范固定项 $\frac{1}{2\xi }({\partial }_{\mu }{A}_{\mu }{)}^2$。

概念：规范固定项（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

Our previous solution was to gauge-fix by adding the term  $\frac{1}{2\xi} (\partial_{\mu}A_{\mu})^{2}$  to the Lagrangian.

PDF 文件页：162；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-14:u0221；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

回忆一下，无质量自旋为1的粒子的拉格朗日量为 $\mathcal{L}=-\frac{1}{4}{F}_{\mu \nu }^2+J_{\mu }{A}_{\mu }$，它给出动量空间中的运动方程：

$$\left(k^2{g}_{\mu \nu }-k_{\mu }{k}_{\nu }\right)A_{\nu }=J_{\mu }.\text{\hspace{1em}(14.74)}$$

这些方程不可逆，因为算符 $k^2{g}_{\mu \nu }-k_{\mu }{k}_{\nu }$ 的行列式为零（它有一个本征值为0的本征矢量 $k_{\mu }$）。它不可逆的物理原因在于，由于规范不变性，我们无法由 $J_{\mu }$ 唯一地解出 $A_{\mu }$：

$$A_{\mu }\to A_{\mu }+{\partial }_{\mu }\alpha (x).\text{\hspace{1em}(14.75)}$$

换句话说，许多矢量场对应同一个流。我们之前的解决办法是通过在拉格朗日量中加入项 $\frac{1}{2\xi }({\partial }_{\mu }{A}_{\mu }{)}^2$ 来规范固定。现在我们将证明该做法的合理性，并证明规范不变性：规范不变算符的任何矩阵元都将与 $\xi$ 无关。更确切地说，对于一般的场 ${\varphi }_i$ 和相互作用，我们将证明关联函数

$$⟨\Omega |T\left\{\mathcal{O}\left(x_1\dots x_n\right)\right\}|\Omega ⟩=\frac{1}{Z[0]}\int \mathcal{D}{A}_{\mu }\mathcal{D}{\varphi }_i\mathcal{D}{\varphi }_i^{\star }{e}^{i\int d^{4}x\mathcal{L}[A,{\varphi }_i]}\mathcal{O}\left(x_1\dots x_n\right)\text{\hspace{1em}(14.76)}$$

与 $\xi$ 无关，其中 $\mathcal{O}(x_1\cdots x_n)$ 指任何规范不变的场集合。

规范轨道路径积分

引入 · 作者引入函数 $f(\xi )$，并说明它代表沿规范轨道的路径积分，将从完整路径积分中因子化出来。

概念：规范轨道路径积分（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

As we will show, this represents the path integral over gauge orbits which will factor out of the full path integral.

PDF 文件页：162；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-14:u0221；模型：deepseek-v4.1-flash。

候选译文（机器生成，未审阅）

回忆一下，我们总能进入一个满足 ${\partial }_{\mu }{A}_{\mu }=0$ 的规范。由于在规范变换下 ${\partial }_{\mu }{A}_{\mu }\to {\partial }_{\mu }{A}_{\mu }+\square \alpha$，我们总能找到一个函数 $\alpha$ 使得 $\square \alpha ={\partial }_{\mu }{A}_{\mu }$。我们将把这个函数写作 $\alpha =\frac{1}{\square }{\partial }_{\mu }{A}_{\mu }$。现在考虑以下函数：

$$f(\xi )=\int \mathcal{D}\pi e^{-i\int d^{4}x\frac{1}{2\xi }(\square \pi {)}^2},\text{\hspace{1em}(14.77)}$$

它只是 $\xi$ 的某个函数，可能是无穷大。正如我们将要展示的，这代表了沿规范轨道的路径积分，它将从完整路径积分中因子化出来。为了看清这一点，将场平移

$$\pi (x)\to \pi (x)-\alpha (x)=\pi (x)-\frac{1}{\square }{\partial }_{\mu }{A}_{\mu }.\text{\hspace{1em}(14.78)}$$

这只是一个平移，因此积分测度不变。于是，

$$f(\xi )=\int \mathcal{D}\pi e^{-i\int d^{4}x\frac{1}{2\xi }{\left(\square \pi -{\partial }_{\mu }{A}_{\mu }\right)}^2}.\text{\hspace{1em}(14.79)}$$

这仍然是 $\xi$ 的同一个函数，尽管表面上看起来并非如此，但它与 $A_{\mu }$ 无关。我们可以用两种不同形式的 $f(\xi )$ 分别乘除式 (14.76)，得到

后文使用：规范轨道路径积分。

规范轨道路径积分

回指 · 作者指出 $f(\xi )$ 仍然是 $\xi$ 的同一个函数，尽管表面上看起来并非如此，但它与 $A_{\mu }$ 无关。

概念：规范轨道路径积分（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

This is still just the same function of  $\xi$ , which despite appearances is independent of  $A_{\mu}$ .

PDF 文件页：162；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-14:u0233；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

它只是 $\xi$ 的某个函数，可能是无穷大。正如我们将要展示的，这代表了沿规范轨道的路径积分，它将从完整路径积分中因子化出来。为了看清这一点，将场平移

$$\pi (x)\to \pi (x)-\alpha (x)=\pi (x)-\frac{1}{\square }{\partial }_{\mu }{A}_{\mu }.\text{\hspace{1em}(14.78)}$$

这只是一个平移，因此积分测度不变。于是，

$$f(\xi )=\int \mathcal{D}\pi e^{-i\int d^{4}x\frac{1}{2\xi }{\left(\square \pi -{\partial }_{\mu }{A}_{\mu }\right)}^2}.\text{\hspace{1em}(14.79)}$$

这仍然是 $\xi$ 的同一个函数，尽管表面上看起来并非如此，但它与 $A_{\mu }$ 无关。我们可以用两种不同形式的 $f(\xi )$ 分别乘除式 (14.76)，得到

$$\begin{array}{l}⟨\Omega |T\{\mathcal{O}(x_1\dots x_n)\}|\Omega ⟩=\frac{1}{Z[0]}\frac{1}{f(\xi )}\int \mathcal{D}\pi \mathcal{D}{A}_{\mu }\mathcal{D}{\varphi }_i\mathcal{D}{\varphi }_i^{\star }\\ \times e^{i\int d^{4}x\left[\mathcal{L}[A,{\varphi }_i]-\frac{1}{2\xi }(\square \pi -{\partial }_{\mu }{A}_{\mu }{)}^2\right]}\mathcal{O}\left(x_1\dots x_n\right).\end{array}\text{\hspace{1em}(14.80)}$$

现在让我们使用“Stueckelberg 技巧”，并以 $\pi (x)$ 作为规范参数进行规范变换平移：

$$A_{\mu }=A_{\mu }^{\prime }+{\partial }_{\mu }\pi ,{\varphi }_i=e^{i\pi }{\varphi }_i^{\prime }.\text{\hspace{1em}(14.81)}$$

同样，测度 $\mathcal{D}\pi \mathcal{D}{A}_{\mu }\mathcal{D}{\varphi }_i$、作用量 $\mathcal{L}[A,{\varphi }_i]$ 以及按假设为规范不变的算符 $\mathcal{O}$ 都不变。我们得出结论：路径积分在相差一个归一化因子的意义下与规范固定版本相同：

使用前文：规范轨道路径积分。模型判断为使用；原文：We can multiply and divide Eq. (14.76) by $f(\xi)$ in the two different forms, giving

Stueckelberg 技巧

引入 · 作者引入“Stueckelberg 技巧”，即以 $\pi (x)$ 为规范参数进行规范变换平移。

概念：Stueckelberg 技巧（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

Now let us do the "Stueckelberg trick" and perform a gauge transformation shift, with  $\pi(x)$  as our gauge parameter:

PDF 文件页：162；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-14:u0233；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

这只是一个平移，因此积分测度不变。于是，

$$f(\xi )=\int \mathcal{D}\pi e^{-i\int d^{4}x\frac{1}{2\xi }{\left(\square \pi -{\partial }_{\mu }{A}_{\mu }\right)}^2}.\text{\hspace{1em}(14.79)}$$

这仍然是 $\xi$ 的同一个函数，尽管表面上看起来并非如此，但它与 $A_{\mu }$ 无关。我们可以用两种不同形式的 $f(\xi )$ 分别乘除式 (14.76)，得到

$$\begin{array}{l}⟨\Omega |T\{\mathcal{O}(x_1\dots x_n)\}|\Omega ⟩=\frac{1}{Z[0]}\frac{1}{f(\xi )}\int \mathcal{D}\pi \mathcal{D}{A}_{\mu }\mathcal{D}{\varphi }_i\mathcal{D}{\varphi }_i^{\star }\\ \times e^{i\int d^{4}x\left[\mathcal{L}[A,{\varphi }_i]-\frac{1}{2\xi }(\square \pi -{\partial }_{\mu }{A}_{\mu }{)}^2\right]}\mathcal{O}\left(x_1\dots x_n\right).\end{array}\text{\hspace{1em}(14.80)}$$

现在让我们使用“Stueckelberg 技巧”，并以 $\pi (x)$ 作为规范参数进行规范变换平移：

$$A_{\mu }=A_{\mu }^{\prime }+{\partial }_{\mu }\pi ,{\varphi }_i=e^{i\pi }{\varphi }_i^{\prime }.\text{\hspace{1em}(14.81)}$$

同样，测度 $\mathcal{D}\pi \mathcal{D}{A}_{\mu }\mathcal{D}{\varphi }_i$、作用量 $\mathcal{L}[A,{\varphi }_i]$ 以及按假设为规范不变的算符 $\mathcal{O}$ 都不变。我们得出结论：路径积分在相差一个归一化因子的意义下与规范固定版本相同：

$$\begin{array}{l}⟨\Omega |T\left\{\mathcal{O}\left(x_1\dots x_n\right)\right\}|\Omega ⟩=\frac{1}{Z[0]}\left[\frac{1}{f(\xi )}\int \mathcal{D}\pi \right]\int \mathcal{D}{A}_{\mu }\mathcal{D}{\varphi }_i\mathcal{D}{\varphi }_i^{\star }\\ \times e^{i\int d^{4}x\mathcal{L}[A,{\varphi }_i]-\frac{1}{2\xi }{\left({\partial }_{\mu }{A}_{\mu }\right)}^2}\mathcal{O}\left(x_1\dots x_n\right).\end{array}\text{\hspace{1em}(14.82)}$$

方便的是，当我们对 $Z[0]$ 进行同样的操作时，会出现相同的归一化因子：

格拉斯曼代数

引入 · 格拉斯曼代数是由基 $\{{\theta }_i\}$ 生成的一组对象 $\mathcal{G}$，其中 ${\theta }_i$ 是格拉斯曼数，彼此反对易、可交换地相加，并可与复数相乘；该代数还含有零元素。

概念：格拉斯曼代数

原文（OCR，未逐页核实）

A Grassmann algebra is a set of objects  $\mathcal{G}$  that are generated by a basis  $\{\theta_i\}$ . These  $\theta_i$  are Grassmann numbers, which anticommute with each other,  $\theta_i\theta_j = -\theta_j\theta_i$ , add commutatively,  $\theta_i + \theta_j = \theta_j + \theta_i$ , and can be multiplied by complex numbers,  $a\theta \in \mathcal{G}$  for  $\theta \in \mathcal{G}$  and  $a \in \mathbb{C}$ . The algebra must also have an element 0 so that  $\theta_i + 0 = \theta_i$ .

PDF 文件页：163；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-14:u0247；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

格拉斯曼代数是由基 $\{{\theta }_i\}$ 生成的一组对象 $\mathcal{G}$。这些 ${\theta }_i$ 是格拉斯曼数，它们彼此反对易，即 ${\theta }_i{\theta }_j=-{\theta }_j{\theta }_i$；可交换地相加，即 ${\theta }_i+{\theta }_j={\theta }_j+{\theta }_i$；并且可以与复数相乘，即当 $\theta \in \mathcal{G}$ 且 $a\in \mathbb{C}$ 时 $a\theta \in \mathcal{G}$。该代数还必须含有一个元素 0，使得 ${\theta }_i+0={\theta }_i$。

偶次与奇次子代数

引入 · 代数中含有偶数个 ${\theta }_i$ 的元素与所有元素对易，构成偶次（玻色）子代数；含奇数个 ${\theta }_i$ 的元素构成奇次（费米）子代数，其内部反对易但与玻色子代数对易，且费米子代数不封闭。

概念：偶次与奇次子代数（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

Elements of the algebra that have an even number of  $\theta_{i}$  commute with all elements of the algebra, so they compose the even-graded or bosonic subalgebra. Similarly, the odd-graded or fermionic subalgebra has an odd number of  $\theta_{i}$  and anticommutes within itself (but commutes with the bosonic subalgebra). The fermionic subalgebra is not closed, since  $\theta_{1}\theta_{2}$  is bosonic.

PDF 文件页：164；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-14:u0247；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

对于一个 $\theta$，该代数中最一般的元素为

$$g=a+b\theta ,a,b\in \mathbb{C},\text{\hspace{1em}(14.85)}$$

因为 ${\theta }^2=0$。对于两个 $\theta$，最一般的元素为

$$g=A+B{\theta }_1+C{\theta }_2+F{\theta }_1{\theta }_2,\text{\hspace{1em}(14.86)}$$

依此类推。代数中含有偶数个 ${\theta }_i$ 的元素与该代数的所有元素都对易，因此它们构成偶次（或玻色）子代数。类似地，奇次（或费米）子代数含有奇数个 ${\theta }_i$，其内部彼此反对易（但与玻色子代数对易）。费米子代数不封闭，因为 ${\theta }_1{\theta }_2$ 是玻色的。

格拉斯曼变量的一般函数

限定 · 文献中常通过泰勒级数定义一般函数 $f({\theta }_1,{\theta }_2,\dots )$；该记号不意味着 $f$ 是通常意义的函数，而是指 $f$ 为由 ${\theta }_i$ 生成的代数中的一个元素。

概念：格拉斯曼变量的一般函数（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

In the literature, authors often talk about general functions  $f(\theta_1, \theta_2, \ldots)$ , which are defined from their Taylor series. This notation does not mean  $f$  is a function in the usual sense, but rather that  $f$  is an element of the algebra generated by the  $\theta_i$ .

PDF 文件页：165；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-14:u0282；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

如果我们把 $A_{ij}$ 看作一个矩阵，这就是对所有元素 $\{i,j\}$ 的求和，其中每行每列各选取一次，并带有由排列顺序决定的符号。这正是计算行列式的方法。表示排列数的 $n!$ 与前面的 $\frac{1}{n!}$ 相消。因此

$$\int d{\bar{\theta }}_1\dots d{\bar{\theta }}_{n}d{\theta }_1\dots d{\theta }_n{e}^{-{\bar{\theta }}_i{A}_{ij}{\theta }_j}=\det (\mathbf{A}).\text{\hspace{1em}(14.98)}$$

注意，这与我们对普通数所得到的结果不同：

$$\int d{x}_1\dots d{x}_n{e}^{-\frac{1}{2}{x}_i{A}_{ij}{x}_j}=\sqrt{\frac{(2\pi {)}^n}{\det (\mathbf{A})}}.\text{\hspace{1em}(14.99)}$$

3 在文献中，作者们常常讨论一般函数 $f({\theta }_1,{\theta }_2,\dots )$，它们由其泰勒级数定义。这种记号并不意味着 $f$ 是通常意义上的函数，而是说 $f$ 是由 ${\theta }_i$ 生成的代数中的一个元素。这种一般性记号并没有特别大的用处，同样地，试图去解读一般函数 $f(\mathbf{dx},\mathbf{dy})$ 通常也是不必要的。

费米子路径积分的连续极限形式

引入 · 取连续极限后，将离散指标 $i$ 替换为连续变量 $x$，${\theta }_i$ 替换为 $\psi (x)$，${\bar{\theta }}_i$ 替换为 $\bar{\psi }(x)$，则 ${\theta }_i$ 和 ${\bar{\theta }}_i$ 的函数变为 $\psi (x)$ 和 $\bar{\psi }(x)$ 的泛函；费米子路径积分是对所有这类场进行的。

概念：费米子路径积分的连续极限形式（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

Now let us take the continuum limit, replacing the index  $i$  by a continuous variable  $x$ , and  $\theta_{i}$  by  $\psi (x)$  and  $\bar{\theta}_i$  by  $\bar{\psi} (x)$ . Then functions of  $\theta_{i}$  and  $\bar{\theta}_i$  become functionals of  $\psi (x)$  and  $\bar{\psi}$  ( $x$ ). The fermionic path integral is over all such fields:

PDF 文件页：166；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-14:u0292；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

现在让我们取连续极限，将指标 $i$ 替换为连续变量 $x$，并将 ${\theta }_i$ 替换为 $\psi (x)$、${\bar{\theta }}_i$ 替换为 $\bar{\psi }(x)$。于是，${\theta }_i$ 和 ${\bar{\theta }}_i$ 的函数变为 $\psi (x)$ 和 $\bar{\psi }$（$x$）的泛函。费米子路径积分是对所有这类场进行的：

$$Z[\bar{\eta },\eta ]=\int \mathcal{D}[\bar{\psi }(x)]\mathcal{D}[\psi (x)]e^{i\int d^{4}x[\bar{\psi }(i\partial /-m)\psi +\bar{\eta }\psi +\bar{\psi }\eta +i\epsilon \bar{\psi }\psi ]}.\text{\hspace{1em}(14.101)}$$

与玻色情形一样，$i\epsilon$ 来自 $t=\pm \infty$ 处的边界条件。于是我们有 $\mathbf{A}=-i(i\partial /-m+i\epsilon )$，因此

$$Z[\bar{\eta },\eta ]=\mathcal{N}{e}^{i\int d^{4}x\int d^{4}y\bar{\eta }(y)(i\partial /-m+i\epsilon {)}^{-1}\eta (x)},\text{\hspace{1em}(14.102)}$$

其中 $\mathcal{N}=\det (i\varphi -m)$ 是某个无穷大常数。

狄拉克传播子

推导 · 自由理论中两点函数经化简后得到式 (14.105)，即狄拉克传播子。

概念：狄拉克传播子（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

$$
\left\langle 0 \mid T \{\psi (x) \bar {\psi} (y) \} \mid 0 \right\rangle = \int \frac {d ^ {4} p}{(2 \pi) ^ {4}} \frac {i (\not {p} + m)}{p ^ {2} - m ^ {2} + i \varepsilon} e ^ {- i p (x - y)}, \tag {14.105}
$$

which is the Dirac propagator.

PDF 文件页：166；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-14:u0292；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

$$\begin{array}{l}⟨0\mid T\{\psi (x)\bar{\psi }(y)\}\mid 0⟩=\frac{1}{Z[0]}\frac{{\partial }^2}{\partial \bar{\eta }(x)\partial \eta (y)}Z[\bar{\eta },\eta ]{|}_{\eta =0}=\frac{i}{i/delta-m+i\epsilon }{\delta }^4(x-y)\\ =\int \frac{d^{4}p}{(2\pi {)}^4}\frac{i}{/p-m+i\epsilon }{e}^{-ip(x-y)}.\end{array}\text{\hspace{1em}(14.103)}$$

利用 $(/p-m)(/p+m)=p^2-m^2$ 可将其化简，该式意味着

$$\frac{1}{/p-m+i\epsilon }=\frac{/p+m}{p^2-m^2+i\epsilon }.\text{\hspace{1em}(14.104)}$$

所以，

$$⟨0\mid T\{\psi (x)\bar{\psi }(y)\}\mid 0⟩=\int \frac{d^{4}p}{(2\pi {)}^4}\frac{i(/p+m)}{p^2-m^2+i\epsilon }{e}^{-ip(x-y)},\text{\hspace{1em}(14.105)}$$

这就是狄拉克传播子。

Schwinger-Dyson 方程

引入 · Schwinger-Dyson 方程（式 (14.106)）断言，时间排序乘积的真空矩阵元在相差接触项的意义上满足经典运动方程；它们指定了关联函数之间的非微扰关系，并足以完全确定量子理论。

概念：Schwinger-Dyson 方程（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

The Schwinger-Dyson equations assert that vacuum matrix elements of time-ordered products satisfy the classical equations of motion up to contact terms. They specify non-perturbative relations among correlation functions. In fact, as we will see in this section, they are enough to completely specify the quantum theory.

PDF 文件页：167；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-14:u0305；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

Schwinger-Dyson 方程断言，时间排序乘积的真空矩阵元在相差接触项的意义上满足经典运动方程。它们给出了关联函数之间的非微扰关系。事实上，正如我们将在本节中看到的，它们足以完全确定量子理论。我们还将证明这些方程可由路径积分得出，因此可以用它们来证明正则方法与路径积分方法是一致的。请记住，路径积分中的经典场并不是在满足经典运动方程这一意义上的“经典”。在路径积分中，人们只是对所有场构型进行积分，无论它们是否满足运动方程。

接触项

诠释 · Schwinger-Dyson 方程中的接触项表明了量子场论如何偏离相应的经典场论，自然可猜想它们与最小作用量原理如何被修改有关。

概念：接触项（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

Since the contact terms in the Schwinger-Dyson equations indicate how the quantum field theory deviates from the corresponding classical field theory, it is natural to suspect that they are related to how the principle of least action is modified.

PDF 文件页：167；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-14:u0305；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

由于 Schwinger-Dyson 方程中的接触项表明了量子场论如何偏离相应的经典场论，很自然地会猜想它们与最小作用量原理如何被修改有关。在经典场论中，欧拉-拉格朗日方程是通过要求作用量在变分 $\varphi (x)\to \varphi (x)+\epsilon (x)$ 下取驻值得到的，其中 $\epsilon (x)$ 是任意函数。现在让我们考察这一推导在量子理论中是如何被修改的。在本节中，为简单起见我们取 $m=0$。

自由标量场理论中两点函数的施温格-戴森方程

推导 · 作者推导出式 (14.112)，即 ${\square }_z⟨\hat{\varphi }(z)\hat{\varphi }(x)⟩=-i{\delta }^4(z-x)$，指出它正是费曼传播子的格林函数方程，同时也是自由标量场理论中两点函数的施温格-戴森方程。

概念：自由标量场理论中两点函数的施温格-戴森方程（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

$$
\square_ {z} \langle \hat {\phi} (z) \hat {\phi} (x) \rangle = - i \delta^ {4} (z - x), \tag {14.112}
$$

which is of course nothing but the Green's function equation for the Feynman propagator. It is also the Schwinger-Dyson equation for the 2-point function in a free scalar field theory.

PDF 文件页：168；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-14:u0317；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

$$\int d^{4}z[\epsilon (z)]\int \mathcal{D}\varphi e^{i\int d^{4}y(-\frac{1}{2}\varphi {\square }_y\varphi )}[\varphi (x){\square }_z\varphi (z)+i{\delta }^4(z-x)]=0.\text{\hspace{1em}(14.110)}$$

由于路径积分除通过场插入外不依赖于 $z$，${\square }_z$ 可以提到积分号外。为使该等式对任意 $\epsilon (z)$ 都成立，我们必须有

$$(-i{)}^2\left({\square }_z\frac{{\partial }^{2}Z[J]}{\partial J(z)\partial J(x)}\right){|}_{J=0}=-i{\delta }^4(z-x)Z[0].\text{\hspace{1em}(14.111)}$$

用关联函数表示，这就是

$${\square }_z⟨\hat{\varphi }(z)\hat{\varphi }(x)⟩=-i{\delta }^4(z-x),\text{\hspace{1em}(14.112)}$$

这当然正是费曼传播子的格林函数方程。它也是自由标量场理论中两点函数的施温格-戴森方程。

使用前文：自由费曼传播子。模型判断为回指；原文：which is of course nothing but the Green's function equation for the Feynman propagator.

后文使用：存在相互作用时两点函数的施温格-戴森方程。

存在相互作用时两点函数的施温格-戴森方程

推导 · 作者指出式 (14.114) 是存在相互作用时两点函数的施温格-戴森方程，其中达朗贝尔算符作用于两点关联函数等于相互作用拉氏量导数与场的关联函数减去 $i{\delta }^4(z-x)$。

概念：存在相互作用时两点函数的施温格-戴森方程（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

which is the Schwinger-Dyson equation for the 2-point function in the presence of interactions.

$$
\square_ {z} \left\langle \hat {\phi} (z) \hat {\phi} (x) \right\rangle = \left\langle \mathcal {L} _ {\mathrm {i n t}} ^ {\prime} \left[ \hat {\phi} (z) \right] \hat {\phi} (x) \right\rangle - i \delta^ {4} (z - x), \tag {14.114}
$$

PDF 文件页：168；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-14:u0326；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

对于相互作用理论，让我们加上一个势，使得 $\mathcal{L}=-\frac{1}{2}\varphi \square \varphi +{\mathcal{L}}_{\mathrm{int}}[\varphi ]$。那么经典运动方程为 $\square \varphi ={\mathcal{L}}_{\mathrm{int}}^{\prime }[\varphi ]$。在路径积分中，势的加入会在式 (14.109) 的 $\{\}$ 中贡献一项 $i\int d^{4}z\epsilon (z){\mathcal{L}}_{\mathrm{int}}^{\prime }[\varphi (z)]$，而式 (14.110) 被修改为

$$\begin{array}{l}\int d^{4}z\epsilon (z)\{{\square }_z\int \mathcal{D}\varphi \left[e^{iS}\varphi (z)\varphi (x)\right]\\ -\int \mathcal{D}\varphi e^{iS}\varphi (x){\mathcal{L}}_{\mathrm{int}}^{\prime }[\varphi (z)]+i{\delta }^4(z-x)\int \mathcal{D}\varphi e^{iS}\}=0,\end{array}\text{\hspace{1em}(14.113)}$$

这可以写成正则图像中关于关联函数的一个表述：

$${\square }_z⟨\hat{\varphi }(z)\hat{\varphi }(x)⟩=⟨{\mathcal{L}}_{\mathrm{int}}^{\prime }\left[\hat{\varphi }(z)\right]\hat{\varphi }(x)⟩-i{\delta }^4(z-x),\text{\hspace{1em}(14.114)}$$

这就是存在相互作用时两点函数的施温格-戴森方程。

使用前文：自由标量场理论中两点函数的施温格-戴森方程。模型判断为细化；原文：which is the Schwinger-Dyson equation for the 2-point function in the presence of interactions.

施温格-戴森方程中的接触项

限定 · 作者说明当有更多场插入时，施温格-戴森方程会增加接触相互作用，将算符所作用的场与关联函数中的所有其他场缩并，并以三个场的式 (14.115) 为例。

概念：施温格-戴森方程中的接触项（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

If we have more field insertions, the Schwinger-Dyson equations add contact interactions, contracting the field on which the operator acts with all the other fields in the correlator. For example, with three fields:

PDF 文件页：168；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-14:u0326；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

如果我们有更多的场插入，施温格-戴森方程会增加接触相互作用，将算符所作用的场与关联函数中的所有其他场缩并。例如，对于三个场：

$${\square }_x⟨\hat{\varphi }(x)\hat{\varphi }(y)\hat{\varphi }(z)⟩=⟨{\mathcal{L}}_{\text{i n t}}^{\prime }\left[\hat{\varphi }(x)\right]\hat{\varphi }(y)\hat{\varphi }(z)⟩-i{\delta }^4(x-z)⟨\hat{\varphi }(y)⟩-i{\delta }^4(x-y)⟨\hat{\varphi }(z)⟩\text{\hspace{1em}(14.115)}$$

等等。以这种方式，可以推导出完整的施温格-戴森方程组。

QED 中规范场的施温格-戴森方程

推导 · 作者通过对 $A_{\mu }(x)$ 作变分并考虑关联函数 $⟨A^{\alpha }\bar{\psi }\psi ⟩$，推导出 QED 中规范场的施温格-戴森方程（式 (14.117)）。

概念：Schwinger-Dyson 方程（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

By varying  $A_{\mu}(x)\to A_{\mu}(x) + \varepsilon_{\mu}(x)$  and considering the correlation function  $\langle A^{\alpha}\bar{\psi}\psi\rangle$  we would find

PDF 文件页：169；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-14:u0334；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

对于含有旋量或规范玻色子的理论，类似的方程也成立。例如，将 QED 拉格朗日量写为

$$\mathcal{L}=\frac{1}{2}{A}_{\mu }{\square }^{\mu \nu }{A}_{\nu }+\bar{\psi }(i\partial /-m)\psi -e{A}_{\mu }\bar{\psi }{\gamma }^{\mu }\psi ,\text{\hspace{1em}(14.116)}$$

其中在协变规范下 ${\square }^{\mu \nu }=\square g^{\mu \nu }-(1-\frac{1}{\xi }){\partial }^{\mu }{\partial }^{\nu }$。$A^{\nu }$ 的经典运动方程为 ${\square }_{\mu \nu }{A}^{\nu }=e{j}^{\mu }=e\bar{\psi }{\gamma }^{\mu }\psi$。通过对 $A_{\mu }(x)\to A_{\mu }(x)+{\epsilon }_{\mu }(x)$ 作变分并考虑关联函数 $⟨A^{\alpha }\bar{\psi }\psi ⟩$，我们会得到

$$\begin{array}{l}{⊠}_{\mu \nu }^x⟨A^{\nu }(x)A^{\alpha }(y)\bar{\psi }(z_1)\psi (z_2)⟩\\ =e⟨j_{\mu }(x)A^{\alpha }(y)\bar{\psi }\left(z_1\right)\psi \left(z_2\right)⟩-i{\delta }^4(x-y){\delta }_{\mu }^{\alpha }⟨\bar{\psi }\left(z_1\right)\psi \left(z_2\right)⟩.\end{array}\text{\hspace{1em}(14.117)}$$

QED 的另一个施温格-戴森方程是

$$\begin{array}{l}\left(i{\gamma }_{\kappa \rho }^{\mu }{\partial }_{\mu }+m{\delta }_{\kappa \rho }\right)⟨{\bar{\psi }}_{\kappa }(x){\psi }_{\alpha }(y){\bar{\psi }}_{\beta }(z){\psi }_{\gamma }(w)⟩=-e⟨{\bar{\psi }}_{\kappa }(x)A_{\kappa \rho }{\psi }_{\alpha }(y){\bar{\psi }}_{\beta }(z){\psi }_{\gamma }(w)⟩\\ -i{\delta }_{\gamma \rho }{\delta }^4(x-w)⟨{\psi }_{\alpha }(y){\bar{\psi }}_{\beta }(z)⟩-i{\delta }_{\alpha \rho }{\delta }^4(x-y)⟨{\psi }_{\gamma }(w){\bar{\psi }}_{\beta }(z)⟩,\end{array}\text{\hspace{1em}(14.118)}$$

其中的负号来自最后一项中将 ${\bar{\psi }}_{\beta }(z)$ 反对易地移过 ${\psi }_{\gamma }(w)$。

QED 中费米子场的施温格-戴森方程

推导 · 作者给出 QED 的另一个施温格-戴森方程（式 (14.118)），其中最后一项的负号来自将 ${\bar{\psi }}_{\beta }(z)$ 反对易地移过 ${\psi }_{\gamma }(w)$。

概念：Schwinger-Dyson 方程（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

Another Schwinger-Dyson equation, for QED, is

with the minus sign coming from anticommuting  $\bar{\psi}_{\beta}(z)$  past  $\psi_{\gamma}(w)$  in the last term.

PDF 文件页：169；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-14:u0334；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

对于含有旋量或规范玻色子的理论，类似的方程也成立。例如，将 QED 拉格朗日量写为

$$\mathcal{L}=\frac{1}{2}{A}_{\mu }{\square }^{\mu \nu }{A}_{\nu }+\bar{\psi }(i\partial /-m)\psi -e{A}_{\mu }\bar{\psi }{\gamma }^{\mu }\psi ,\text{\hspace{1em}(14.116)}$$

其中在协变规范下 ${\square }^{\mu \nu }=\square g^{\mu \nu }-(1-\frac{1}{\xi }){\partial }^{\mu }{\partial }^{\nu }$。$A^{\nu }$ 的经典运动方程为 ${\square }_{\mu \nu }{A}^{\nu }=e{j}^{\mu }=e\bar{\psi }{\gamma }^{\mu }\psi$。通过对 $A_{\mu }(x)\to A_{\mu }(x)+{\epsilon }_{\mu }(x)$ 作变分并考虑关联函数 $⟨A^{\alpha }\bar{\psi }\psi ⟩$，我们会得到

$$\begin{array}{l}{⊠}_{\mu \nu }^x⟨A^{\nu }(x)A^{\alpha }(y)\bar{\psi }(z_1)\psi (z_2)⟩\\ =e⟨j_{\mu }(x)A^{\alpha }(y)\bar{\psi }\left(z_1\right)\psi \left(z_2\right)⟩-i{\delta }^4(x-y){\delta }_{\mu }^{\alpha }⟨\bar{\psi }\left(z_1\right)\psi \left(z_2\right)⟩.\end{array}\text{\hspace{1em}(14.117)}$$

QED 的另一个施温格-戴森方程是

$$\begin{array}{l}\left(i{\gamma }_{\kappa \rho }^{\mu }{\partial }_{\mu }+m{\delta }_{\kappa \rho }\right)⟨{\bar{\psi }}_{\kappa }(x){\psi }_{\alpha }(y){\bar{\psi }}_{\beta }(z){\psi }_{\gamma }(w)⟩=-e⟨{\bar{\psi }}_{\kappa }(x)A_{\kappa \rho }{\psi }_{\alpha }(y){\bar{\psi }}_{\beta }(z){\psi }_{\gamma }(w)⟩\\ -i{\delta }_{\gamma \rho }{\delta }^4(x-w)⟨{\psi }_{\alpha }(y){\bar{\psi }}_{\beta }(z)⟩-i{\delta }_{\alpha \rho }{\delta }^4(x-y)⟨{\psi }_{\gamma }(w){\bar{\psi }}_{\beta }(z)⟩,\end{array}\text{\hspace{1em}(14.118)}$$

其中的负号来自最后一项中将 ${\bar{\psi }}_{\beta }(z)$ 反对易地移过 ${\psi }_{\gamma }(w)$。

后文使用：全局对称性的施温格-戴森方程。

存在相互作用时两点函数的施温格-戴森方程

回指 · 作者提醒，式 (14.114) 中的施温格-戴森方程并不意味着式 (14.119) 成立，因为 ${\square }_z$ 只作用于 $\varphi (z)$，该等式左侧实际为零；正确的关系是式 (14.113)。

概念：存在相互作用时两点函数的施温格-戴森方程（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

For example, the Schwinger-Dyson equation in Eq. (14.114) does not imply

In fact, the left-hand side of this equation is zero, since  $\square_z$  only acts on  $\phi(z)$ . The correct relationship is Eq. (14.113).

PDF 文件页：169；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-14:u0341；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

在时间排序乘积与路径积分之间来回转换时必须非常小心。例如，式 (14.114) 中的施温格-戴森方程并不意味着

$${\square }_z\int \mathcal{D}\varphi \left[e^{iS}\varphi (z)\varphi (x)\right]-\int \mathcal{D}\varphi \left[e^{iS}{\square }_z\varphi (z)\varphi (x)\right]=-i{\delta }^4(z-x)\int \mathcal{D}\varphi e^{iS}.\text{\hspace{1em}(14.119)}$$

事实上，该等式的左侧为零，因为 ${\square }_z$ 只作用于 $\varphi (z)$。正确的关系是式 (14.113)。为避免混淆，最安全的做法是不要在两种图像之间来回转换，而是将施温格-戴森方程表达为联系可观测量之间的关系式，然后再进行比较。将可观测量系统化的自然方式是通过生成泛函，它在两种图像中都可以定义。

施温格-戴森微分方程

推导 · 作者推导出式 (14.122)，即施温格-戴森微分方程，并指出它编码了经典理论与量子理论的差异，可用来定义量子理论、证明路径积分与正则方法等价，且生成泛函 $Z[J]$ 是其唯一解。

概念：施温格-戴森微分方程（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

which is the Schwinger-Dyson differential equation.

An amazing thing about the Schwinger-Dyson differential equation is that, since it encodes the difference between the classical and quantum theories, it can be used to define the quantum theory.

PDF 文件页：170；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-14:u0341；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

与前面一样，对于任意 $\epsilon (z)$，这应当等于 $Z[J]$。因此，

$${\square }_x\int \mathcal{D}\varphi e^{i\int d^{4}y\mathcal{L}[\varphi ]+J\varphi }\varphi (x)=\int \mathcal{D}\varphi e^{i\int d^{4}y\mathcal{L}[\varphi ]+J\varphi }\frac{\partial {\mathcal{L}}_{\text{i n t}}[\varphi ]}{\partial \varphi [x]}+\int \mathcal{D}\varphi e^{i\int d^{4}y\mathcal{L}[\varphi ]+J\varphi }J(x).\text{\hspace{1em}(14.121)}$$

或者等价地，

$$-i{\square }_x\frac{\partial Z[J]}{\partial J(x)}=\left\{{\mathcal{L}}_{\text{i n t}}^{\prime }\left[-i\frac{\partial }{\partial J(x)}\right]+J(x)\right\}Z[J],\text{\hspace{1em}(14.122)}$$

这就是施温格-戴森微分方程。简洁的记号 ${\mathcal{L}}_{\mathrm{int}}^{\prime }\left[\frac{-i\partial }{\partial J(x)}\right]$ 表示以 $X=\frac{-i\partial }{\partial J(x)}$ 为自变量的泛函 ${\mathcal{L}}^{\prime }[X]$，其含义将在下文阐明。

施温格-戴森微分方程的一个奇妙之处在于，由于它编码了经典理论与量子理论之间的差异，因此可以用来定义量子理论。所以，它可以用来证明路径积分方法与正则方法是等价的。特别地，它可以用来定义生成泛函：$Z[J]$ 是该微分方程（在适当边界条件下）的唯一解。由于 $Z[J]$ 定义了所有的关联函数，而关联函数又定义了该理论，因此施温格-戴森微分方程也定义了该理论。

后文使用：施温格-戴森微分方程。

通过施温格-戴森微分方程定义生成泛函

诠释 · 作者指出，生成泛函 $Z[J]$ 是施温格-戴森微分方程（在适当边界条件下）的唯一解，并且由于 $Z[J]$ 定义了所有关联函数从而定义了理论，该微分方程也定义了理论。

概念：通过施温格-戴森微分方程定义生成泛函（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

In particular, it can be used to define the generating functional:  $Z[J]$  is the unique solution to this differential equation (with appropriate boundary conditions). Since  $Z[J]$  defines all of the correlation functions, which define the theory, the Schwinger-Dyson differential equation also defines the theory.

PDF 文件页：170；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-14:u0341；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

施温格-戴森微分方程的一个奇妙之处在于，由于它编码了经典理论与量子理论之间的差异，因此可以用来定义量子理论。所以，它可以用来证明路径积分方法与正则方法是等价的。特别地，它可以用来定义生成泛函：$Z[J]$ 是该微分方程（在适当边界条件下）的唯一解。由于 $Z[J]$ 定义了所有的关联函数，而关联函数又定义了该理论，因此施温格-戴森微分方程也定义了该理论。

正则生成泛函

引入 · 作者定义了正则生成泛函 $\hat{Z}[J]=⟨e^{i\int \hat{\varphi }J}⟩$，其中 $J(x)$ 是任意经典流，$\hat{\varphi }(x)$ 是量子算符；它像 $Z[J]$ 一样生成关联函数。

概念：正则生成泛函（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

we first define a generating function  $\hat{Z}[J]$  by

Here,  $J(x)$  is an arbitrary classical current, but now  $\hat{\phi}(x)$  is the quantum operator. This generates the correlation functions as well:

PDF 文件页：170；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-14:u0353；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

为了证明施温格-戴森方程在正则理论中成立，我们首先通过下式定义生成函数 $\hat{Z}[J]$：

$$\hat{Z}[J]=⟨e^{i\int \hat{\varphi }J}⟩.\text{\hspace{1em}(14.123)}$$

这里，$J(x)$ 是任意经典流，但现在 $\hat{\varphi }(x)$ 是量子算符。它同样生成关联函数：

$$⟨\hat{\varphi }(x_1)\dots \hat{\varphi }(x_n)⟩=\frac{1}{\hat{Z}[J]}(-i{)}^n{\frac{{\partial }^n\hat{Z}}{\partial J(x_1)\cdots \partial J(x_n)}|}_{J=0},\text{\hspace{1em}(14.124)}$$

与 $Z[J]$ 完全相同。因此，如果我们证明式 (14.122) 对 $Z[J]$ 和 $\hat{Z}[J]$ 都成立，就证明了 $Z[J]=\hat{Z}[J]$，这表明路径积分定义与正则定义是一致的。

施温格-戴森微分方程

推导 · 作者证明了施温格-戴森微分方程（式 (14.122)）在正则理论中对 $\hat{Z}[J]$ 成立，并且由于它对路径积分 $Z[J]$ 也成立，故两个生成泛函相同，从而路径积分与正则量子化等价。

概念：施温格-戴森微分方程（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

To demonstrate that Eq. (14.122) holds in the canonical theory, start with the Schwinger-Dyson equations in Eq. (14.106)

Since the Schwinger-Dyson differential equation holds for both the path integral  $Z[J]$  and the canonically defined  $\hat{Z}[J]$ , Eq. (14.123), the two generating functionals must be identical.

PDF 文件页：170, 171；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-14:u0353；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

为了证明式 (14.122) 在正则理论中成立，从式 (14.106) 中的施温格-戴森方程出发，并在与场插入相同的点处插入因子 $J$。这给出

$$\begin{array}{l}\square ⟨\hat{\varphi }(x)\hat{\varphi }(y_1)\dots \hat{\varphi }(y_n)J(y_1)\dots J(y_n)⟩=⟨{\mathcal{L}}_{\text{i n t}}^{\prime }\left[\hat{\varphi }(x)\right]\hat{\varphi }(y_1)\dots \hat{\varphi }(y_n)J(y_1)\dots J(y_n)⟩\\ -i{\sum }_j{\delta }^4(x-y_j)⟨\hat{\varphi }(y_1)\dots \hat{\varphi }(y_{j-1})\hat{\varphi }(y_{j+1})\dots \hat{\varphi }(y_n)J(y_1)\dots J(y_n)⟩.\end{array}\text{\hspace{1em}(14.125)}$$

我们将要证明的是，该表达式中的每一项都与式 (14.122) 的泰勒展开一一对应。为证明这一点，我们需要生成泛函的展开：

$$\hat{Z}[J]=⟨1+i{\int }_y\hat{\varphi }(y)J(y)+\frac{i^2}{2}{\int }_y{\int }_z\hat{\varphi }(y)J(y)\hat{\varphi }(z)J(z)+\dots ⟩,\text{\hspace{1em}(14.126)}$$

其中 ${\int }_y$ 表示 $\int d^{4}y$。此展开既可用于生成泛函的路径积分定义，也可用于其正则定义。

式 (14.122) 左侧的泰勒展开给出

$$-i\square \frac{\partial \hat{Z}[J]}{\partial J(x)}=\square ⟨\hat{\varphi }(x)+i\hat{\varphi }(x){\int }_y\hat{\varphi }(y)J(y)+\dots ⟩.\text{\hspace{1em}(14.127)}$$

这就是式 (14.125) 左侧所有可能项之和。

对于式 (14.122) 中的 ${\mathcal{L}}_{\mathrm{int}}^{\prime }$ 项，施温格的巧妙记号 ${\mathcal{L}}_{\mathrm{int}}^{\prime }\left[\frac{-i\partial }{\partial J(x)}\right]$ 最好通过一个例子来理解。假设 ${\mathcal{L}}_{\mathrm{int}}[\varphi ]=\frac{g}{3!}{\varphi }^3$，则 ${\mathcal{L}}_{\mathrm{int}}^{\prime }[\varphi ]=\frac{g}{2}{\varphi }^2$，于是

$$\begin{array}{l}{\mathcal{L}}_{\text{i n t}}^{\prime }\left[\frac{-i\partial }{\partial J(x)}\right]\hat{Z}[J]\\ =\frac{g}{2!}{\left(\frac{-i\partial }{\partial J(x)}\right)}^2⟨\cdots +\frac{i^3}{3!}{\int }_y{\int }_z{\int }_w\hat{\varphi }(y)J(y)\hat{\varphi }(z)J(z)\hat{\varphi }(w)J(w)+\dots ⟩,\end{array}\text{\hspace{1em}(14.128)}$$

其中只写出了一项。应用 $\frac{\partial }{\partial J}$ 后，这变为

$${\mathcal{L}}_{\text{i n t}}^{\prime }\left[\frac{-i\partial }{\partial J(x)}\right]\hat{Z}[J]=⟨\cdots +i\frac{g}{2!}{\hat{\varphi }}^2(x){\int }_w\hat{\varphi }(w)J(w)+\dots ⟩.\text{\hspace{1em}(14.129)}$$

然后，由于完整的相互作用量子算符满足 $\square \hat{\varphi }={\mathcal{L}}_{\mathrm{int}}^{\prime }[\hat{\varphi }]$，该表达式简化为

$${\mathcal{L}}_{\text{i n t}}^{\prime }\left[\frac{-i\partial }{\partial J(x)}\right]\hat{Z}[J]=⟨\cdots +i\square \hat{\varphi }(x){\int }_w\varphi (w)J(w)+\dots ⟩,\text{\hspace{1em}(14.130)}$$

这是由式 (14.125) 右侧第一项所给出的各项之和。最后，

$$\begin{array}{l}J(x)\hat{Z}[J]=⟨J(x)+iJ(x){\int }_y\varphi (y)J(y)⟩\\ =⟨{\int }_w\delta (w-x)J(w)+i{\int }_w{\int }_y\delta (w-x)J(w)\varphi (y)J(y)+\dots ⟩,\end{array}\text{\hspace{1em}(14.131)}$$

它包含了式 (14.125) 第二行中的所有项。因此，式 (14.122) 展开中的每一项都得到了验证，从而式 (14.122) 成立。

由于施温格-戴森微分方程对路径积分 $Z[J]$ 和正则定义的 $\hat{Z}[J]$（式 (14.123)）都成立，这两个生成泛函必定相同。因此，路径积分与正则量子化是等价的。

使用前文：施温格-戴森微分方程。模型判断为使用；原文：start with the Schwinger-Dyson equations in Eq. (14.106) and insert factors of $J$ at the same points as the field insertions.

后文使用：推广的 Ward-Takahashi 恒等式。

Ward-Takahashi 恒等式

引入 · 作者指出，在路径积分上作与诺特定理推导中类似的场变分，并遵循导出施温格-戴森方程的步骤，将得到关联函数之间的 Ward-Takahashi 恒等式；它不仅蕴含通常的 Ward 恒等式和规范不变性，而且由于是非微扰的，还将在 QED 的重整化中起重要作用。

概念：Ward-Takahashi 恒等式（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

Performing a similar variation on the path integral and following the steps that led to the Schwinger-Dyson equations will produce a general and powerful relation among correlation functions known as the Ward-Takahashi identity. The Ward-Takahashi identity not only implies the usual Ward identity and gauge invariance, but since it is non-perturbative it will also play an important role in the renormalization of QED.

PDF 文件页：172；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-14:u0377；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

回顾一下，在第 3.3 节推导诺特定理时，我们对场作了一个变分，该变分同时也是拉格朗日量的一个全局对称性。这导致存在一个经典守恒流。在路径积分上作类似的变分，并遵循导出施温格-戴森方程的步骤，将得到关联函数之间一个普遍而有力的关系，即 Ward-Takahashi 恒等式。Ward-Takahashi 恒等式不仅蕴含通常的 Ward 恒等式和规范不变性，而且由于它是非微扰的，它还将在 QED 的重整化中起重要作用。

全局对称性的施温格-戴森方程

引入 · 作者考虑在 $\psi \to e^{i\alpha }\psi$ 下具有全局对称性的理论中 $\psi (x_1)\bar{\psi }(x_2)$ 的关联函数，并在作为局域变换的场重定义下讨论测度不变而拉格朗日量不不变的情形，以推导全局对称性的施温格-戴森方程。

概念：Schwinger-Dyson 方程（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

Schwinger-Dyson equations for a global symmetry

Consider the correlation function of  $\psi (x_{1})\bar{\psi} (x_{2})$  in a theory with a global symmetry under  $\psi \rightarrow e^{i\alpha}\psi$

PDF 文件页：172；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-14:u0377；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

14.8.1 全局对称性的施温格-戴森方程

考虑在 $\psi \to e^{i\alpha }\psi$ 下具有全局对称性的理论中 $\psi (x_1)\bar{\psi }(x_2)$ 的关联函数

$$I_{12}=⟨\psi \left(x_1\right)\bar{\psi }\left(x_2\right)⟩=\int \mathcal{D}\psi \mathcal{D}\bar{\psi }\exp \left(i\int d^{4}x[\bar{\psi }(i/\partial +m)\psi +\dots ]\right)\psi \left(x_1\right)\bar{\psi }\left(x_2\right),\text{\hspace{1em}(14.132)}$$

其中 $\cdots$ 代表任意全局对称的附加项。我们不需要光子，但如果你愿意也可以加上它。在一个作为局域变换的场重定义下，

$$\psi (x)\to e^{-i\alpha (x)}\psi (x),\bar{\psi }(x)\to e^{i\alpha (x)}\bar{\psi }(x),\text{\hspace{1em}(14.133)}$$

测度是不变的。拉格朗日量不是不变的，因为我们没有对 $A_{\mu }$ 作变换（甚至没有包含它）。相反，

使用前文：QED 中费米子场的施温格-戴森方程。模型判断为细化；原文：Schwinger-Dyson equations for a global symmetry

QED 流

引入 · 作者指出 $j^{\mu }(x)=\bar{\psi }(x){\gamma }^{\mu }\psi (x)$ 是 QED 流，并且与之相关的施温格-戴森方程是与电荷守恒相关联的非微扰关系。

概念：QED 流（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

where  $j^{\mu}(x) = \bar{\psi} (x)\gamma^{\mu}\psi (x)$  is the QED current. This is the Schwinger-Dyson equation associated with charge conservation.

PDF 文件页：173；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-14:u0389；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

这意味着

$$\begin{array}{l}\int d^{4}x\alpha (x)i{\partial }_{\mu }\int \mathcal{D}\psi \mathcal{D}\bar{\psi }{e}^{iS}\bar{\psi }(x){\gamma }^{\mu }\psi (x)\psi (x_1)\bar{\psi }(x_2)\\ =\int d^{4}x\alpha (x)\left[-i\delta \left(x-x_1\right)+i\delta \left(x-x_2\right)\right]\int \mathcal{D}\psi \mathcal{D}\bar{\psi }{e}^{iS}\psi \left(x_1\right)\bar{\psi }\left(x_2\right).\end{array}\text{\hspace{1em}(14.137)}$$

该等式必须对任意 $\alpha (x)$ 成立，这意味着

$${\partial }_{\mu }⟨j^{\mu }(x)\psi \left(x_1\right)\bar{\psi }\left(x_2\right)⟩=-\delta \left(x-x_1\right)⟨\psi \left(x_1\right)\bar{\psi }\left(x_2\right)⟩+\delta \left(x-x_2\right)⟨\psi \left(x_1\right)\bar{\psi }\left(x_2\right)⟩,\text{\hspace{1em}(14.138)}$$

其中 $j^{\mu }(x)=\bar{\psi }(x){\gamma }^{\mu }\psi (x)$ 是 QED 流。这是与电荷守恒相关联的施温格-戴森方程。它是关联函数之间的一个非微扰关系。它与其他施温格-戴森方程具有相同的定性内容；经典运动方程（在此情形下为 ${\partial }_{\mu }{j}^{\mu }=0$）在编时关联函数中成立，至多相差接触相互作用。

后文使用：推广的 Ward-Takahashi 恒等式。

与电荷守恒相关联的施温格-戴森方程

推导 · 作者推导出式 (14.138)，即与电荷守恒相关联的施温格-戴森方程，指出它是关联函数之间的非微扰关系，其定性内容与其他施温格-戴森方程相同：经典运动方程 ${\partial }_{\mu }{j}^{\mu }=0$ 在编时关联函数中成立，至多相差接触相互作用。

概念：与电荷守恒相关联的施温格-戴森方程（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

This is the Schwinger-Dyson equation associated with charge conservation. It is a non-perturbative relation between correlation functions. It has the same qualitative content as the other Schwinger-Dyson equations; the classical equations of motion, in this case  $\partial_{\mu}j^{\mu} = 0$ , hold within time-ordered correlation functions up to contact interactions.

PDF 文件页：173；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-14:u0389；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

这意味着

$$\begin{array}{l}\int d^{4}x\alpha (x)i{\partial }_{\mu }\int \mathcal{D}\psi \mathcal{D}\bar{\psi }{e}^{iS}\bar{\psi }(x){\gamma }^{\mu }\psi (x)\psi (x_1)\bar{\psi }(x_2)\\ =\int d^{4}x\alpha (x)\left[-i\delta \left(x-x_1\right)+i\delta \left(x-x_2\right)\right]\int \mathcal{D}\psi \mathcal{D}\bar{\psi }{e}^{iS}\psi \left(x_1\right)\bar{\psi }\left(x_2\right).\end{array}\text{\hspace{1em}(14.137)}$$

该等式必须对任意 $\alpha (x)$ 成立，这意味着

$${\partial }_{\mu }⟨j^{\mu }(x)\psi \left(x_1\right)\bar{\psi }\left(x_2\right)⟩=-\delta \left(x-x_1\right)⟨\psi \left(x_1\right)\bar{\psi }\left(x_2\right)⟩+\delta \left(x-x_2\right)⟨\psi \left(x_1\right)\bar{\psi }\left(x_2\right)⟩,\text{\hspace{1em}(14.138)}$$

其中 $j^{\mu }(x)=\bar{\psi }(x){\gamma }^{\mu }\psi (x)$ 是 QED 流。这是与电荷守恒相关联的施温格-戴森方程。它是关联函数之间的一个非微扰关系。它与其他施温格-戴森方程具有相同的定性内容；经典运动方程（在此情形下为 ${\partial }_{\mu }{j}^{\mu }=0$）在编时关联函数中成立，至多相差接触相互作用。

Ward-Takahashi 恒等式

引入 · 作者通过傅里叶变换将流的施温格-戴森方程（式 (14.138)）转化为动量空间中的关系式 (14.143)，并将其称为 Ward-Takahashi 恒等式；该恒等式不仅适用于 S 矩阵元，也适用于一般关联函数，并蕴含通常的 Ward 恒等式。

概念：Ward-Takahashi 恒等式（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

This is known as a Ward-Takahashi identity. It has important implications. In Section 19.5, we will show that it implies that charge conservation survives renormalization, which is highly non-trivial. The reason it is so powerful is that it applies not just to  $S$ -matrix elements, but to general correlation functions. It also implies the regular Ward identity, as we will show below.

PDF 文件页：173；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-14:u0399；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

其符号表示 $e^{-}(q_1)\to e^{-}(q_2)$，从而

$$M_0\left(q_1+p,q_2\right)=\int d^{4}x{d}^4{x}_1{d}^4{x}_2{e}^{ipx}{e}^{i{q}_1{x}_1}{e}^{-i{q}_2{x}_2}{\delta }^4\left(x-x_1\right)⟨\psi \left(x_1\right)\bar{\psi }\left(x_2\right)⟩,\text{\hspace{1em}(14.142)}$$

它是式 (14.138) 右边第一项的傅里叶变换。第二项与此类似，因此式 (14.138) 意味着

$$i{p}_{\mu }{M}^{\mu }\left(p,q_1,q_2\right)=M_0\left(q_1+p,q_2\right)-M_0\left(q_1,q_2-p\right).\text{\hspace{1em}(14.143)}$$

这被称为 Ward-Takahashi 恒等式。它有着重要的含义。在第 19.5 节中，我们将证明它意味着电荷守恒在重整化后依然成立，这是高度非平凡的。它之所以如此强大，是因为它不仅适用于 $S$ 矩阵元，还适用于一般的关联函数。正如我们将在下面展示的，它还蕴含通常的 Ward 恒等式。

Ward-Takahashi 恒等式

诠释 · 作者给出了 Ward-Takahashi 恒等式的图释，指出图中的 $\otimes$ 表示通过流插入动量；这些图是关联函数（有时称为离壳 S 矩阵元）的费曼图而非在壳 S 矩阵元的费曼图，其费曼规则是位置空间费曼规则的傅里叶变换，或等价于通常动量空间费曼规则加上外线传播子且不含外偏振态。

概念：Ward-Takahashi 恒等式（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

One can give a diagrammatic interpretation of Ward-Takahashi identity:

Here, the  $\otimes$  represents the insertion of momentum through the current. Note that these are not Feynman diagrams for  $S$ -matrix elements since the momenta are not on-shell. Instead, they are Feynman diagrams for correlation functions, also sometimes called off-shell  $S$ -matrix elements.

PDF 文件页：174；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-14:u0409；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

可以给出 Ward-Takahashi 恒等式的图释：

$$p_{\mu }\left(\stackrel{p\downarrow }{\overbrace{q_1\otimes q_2}}\right)=\overbrace{q_1+p}\overbrace{q_2}-\overbrace{q_1\bullet q_2-p}.\text{\hspace{1em}(14.144)}$$

这里，$\otimes$ 表示通过流插入动量。注意，这些不是 $S$ 矩阵元的费曼图，因为动量不在壳上。相反，它们是关联函数的费曼图，有时也称为离壳 $S$ 矩阵元。相应的费曼规则是位置空间费曼规则的傅里叶变换。等价地，这些规则就是通常的动量空间费曼规则，但需为外线添加传播子，并且不含外偏振态（即不去除 LSZ 公式所去除的那些部分）。动量不一定守恒，这就是为什么对于一般的 $q_1,p$ 和 $q_2$，我们可以有 $q_1+p$ 入射而 $q_2$ 出射。

后文使用：推广的 Ward-Takahashi 恒等式。

推广的 Ward-Takahashi 恒等式

推导 · 作者定义了含 f 个费米子和 b 个流的关联函数的矩阵元及其缩并，并由此给出推广的 Ward-Takahashi 恒等式（式 (14.147)），其中求和遍及流的动量可插入费米子线的所有位置，且由于流是规范不变的，不包含通过另一电流出射的项。

概念：Ward-Takahashi 恒等式（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

For correlations function with  $f$  fermions and  $b$  currents, the matrix element can be defined as

Then, the generalized Ward-Takahashi identity is

This sum is over all places where the momentum of the current can be inserted into one of the fermion lines. There are no terms where the momentum of the current goes out through another current, since currents  $j^{\mu} = \bar{\psi}(x)\gamma^{\mu}\psi(x)$  are gauge invariant and do not contribute to the Schwinger-Dyson equation.

PDF 文件页：174；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-14:u0409；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

对于含有 $f$ 个费米子和 $b$ 个流的关联函数，矩阵元可定义为

$$\begin{array}{l}{M}^{\mu {\nu }_1\dots {\nu }_b}(p,p_1\dots p_b,q_1\dots q_f)\\ =\int d^{4}x{e}^{ipx}{e}^{i{p}_1{x}_1}{e}^{-i{q}_1{y}_1}\dots ⟨j^{\mu }(x)j^{{\nu }_1}\left(x_1\right)\dots \bar{\psi }\left(y_1\right)\dots ⟩\end{array}\text{\hspace{1em}(14.145)}$$

而缩并定义为

$$M^{{\nu }_1\dots {\nu }_b}\left(p,p_1\dots p_b,q_1\dots q_f\right)=\int d^{4}x{e}^{i{p}_1{x}_1}{e}^{-i{q}_1{y}_1}\dots ⟨j^{{\nu }_1}\left(x_1\right)\dots \bar{\psi }(y_1)\dots ⟩.\text{\hspace{1em}(14.146)}$$

那么，推广的 Ward-Takahashi 恒等式为

$$\begin{array}{l}i{p}_{\mu }{M}^{\mu {\nu }_1\dots {\nu }_b}(p,p_1\dots p_b,q_1\dots q_f)={\sum }_{\text{o u t g o i n g}}{Q}_i{M}^{{\nu }_1\dots {\nu }_n}(p_1,\dots ,q_i-p,\dots ,q_f)\\ -{\sum }_{\text{i n c o m i n g}}{Q}_i{M}^{{\nu }_1\dots {\nu }_n}\left(p_1,\dots ,q_i+p,\dots ,q_f\right).\end{array}\text{\hspace{1em}(14.147)}$$

该求和遍及流的动量可以插入某条费米子线的所有位置。不存在流的动量通过另一个流出射的项，因为流 $j^{\mu }=\bar{\psi }(x){\gamma }^{\mu }\psi (x)$ 是规范不变的，对施温格-戴森方程没有贡献。

使用前文：Ward-Takahashi 恒等式。模型判断为使用；原文：since currents $j^{\mu} = \bar{\psi}(x)\gamma^{\mu}\psi(x)$ are gauge invariant and do not contribute to the Schwinger-Dyson equation.

使用前文：QED 流。模型判断为回指；原文：currents $j^{\mu} = \bar{\psi}(x)\gamma^{\mu}\psi(x)$ are gauge invariant

使用前文：施温格-戴森微分方程。模型判断为回指；原文：do not contribute to the Schwinger-Dyson equation.

QED 中 S 矩阵元与流的时间排序乘积的等价性

推导 · 作者指出，在 QED 中，去除了外偏振态的涉及光子的 $S$ 矩阵元等于涉及流的时间排序乘积。这一性质对于不假设外动量在壳上的 $S$ 矩阵元也成立。

概念：QED 中 S 矩阵元与流的时间排序乘积的等价性（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

$S$ -matrix elements involving photons in QED with the external polarizations removed are equal to time-ordered products involving currents.

This is also true for  $S$ -matrix elements in which the external momenta  $p_i$  are not assumed to be on-shell.

PDF 文件页：175, 176；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-14:u0419；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

其中我们在第二行替换了 $-i{\delta }^4(x-x_k)=\square D_F(x,x_k)$ 以连接到微扰展开，如第 7.1 节所述。第一项代表用流替换光子场。第二项代表两个外光子彼此的缩并。用图表示为：其中 $\otimes$ 表示流插入。由于两个外光子的缩并给出一个不连通的费曼图，它对 $S$ 矩阵没有贡献。因此，

$${\square }_{\alpha \beta }^k{\square }_{\mu \nu }⟨A_{\nu }(x)\dots A_{\beta }\left(x_k\right)\dots ⟩=⟨j_{\mu }(x)\dots j_{\alpha }\left(x_k\right)\dots ⟩.\text{\hspace{1em}(14.152)}$$

这一结果是涉及光子的图的一个非常普遍且有用的性质：QED 中涉及光子且去除了外偏振态的 $S$ 矩阵元等于涉及流的时间排序乘积。

对于不假设外动量 $p_i$ 在壳上的 $S$ 矩阵元，这也是成立的。

Ward 恒等式的非微扰证明

推导 · 作者通过将外光子偏振态 ${ϵ}_{\mu }$ 替换为动量 $p_{\mu }$，利用施温格-戴森方程将光子场转化为流，并结合 Ward-Takahashi 恒等式及 LSZ 约化公式中的极点结构，证明了 Ward 恒等式。该证明是非微扰的，且不依赖于外光子是否在壳 ($p^2=0$)。

概念：Ward 恒等式的非微扰证明（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

Now let us connect the Ward-Takahashi identity to the normal Ward identity.

Note that this proof is non-perturbative, and holds whether or not the external photons are assumed to have  $p^2 = 0$  or not.

PDF 文件页：174, 176；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-14:u0419；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

现在让我们将 Ward-Takahashi 恒等式与通常的 Ward 恒等式联系起来。回顾一下，Ward 恒等式的要求是：如果在具有外光子的 $S$ 矩阵元中将 ${ϵ}_{\mu }$ 替换为 $p_{\mu }$，我们得到 0。证明背后的基本思想是，$S$ 矩阵涉及诸如 ${ϵ}_{\mu }\square ⟨A_{\mu }\cdots ⟩$ 的对象。根据施温格-戴森方程，我们可以利用 $\square A_{\mu }=J_{\mu }$（至多相差接触项）写出 ${ϵ}_{\mu }\square ⟨A_{\mu }⟩={ϵ}_{\mu }⟨J_{\mu }\cdots ⟩$；然后替换 ${ϵ}_{\mu }\to p_{\mu }$ 给出零，因为根据 Ward-Takahashi 恒等式，在壳上 ${\partial }_{\mu }⟨J_{\mu }\cdots ⟩=0$。证明中棘手的部分是表明施温格-戴森方程和 Ward-Takahashi 恒等式中的所有接触项都不贡献。

由 LSZ 约化公式，显式写出两个偏振态 $ϵ$ 和 ${ϵ}_k$ 的 $S$ 矩阵元为

$$\begin{array}{l}s⟨ϵ\dots {ϵ}_k\dots |S|\dots ⟩\\ ={ϵ}_{\mu }{ϵ}_{\alpha }^k\left[i^n\int d^{4}x{e}^{ipx}{\square }_{\mu \nu }\int d^4{x}_1{e}^{i{p}_k{x}_k}{\square }_{\alpha \beta }^k\int \dots \right]⟨A_{\nu }(x)\dots A_{\beta }(x_k)\dots ⟩,\end{array}\text{\hspace{1em}(14.148)}$$

其中 $\cdots$ 代表参与散射的其他粒子；这里的 ${\square }_{\mu \nu }$ 是光子动能项的简写。例如，在协变规范中

$${\square }_{\mu \nu }=\square g_{\mu \nu }-\left(1-\frac{1}{\xi }\right){\partial }_{\mu }{\partial }_{\nu }.\text{\hspace{1em}(14.149)}$$

光子是否经过规范固定不会影响随后的论证。

为了简化式 (14.148)，我们接下来使用光子的施温格-戴森方程：

$$\begin{array}{l}{\square }_{\alpha \beta }^k{\square }_{\mu \nu }⟨A_{\nu }(x)\dots A_{\beta }(x_k)\dots ⟩={\square }_{\alpha \beta }^k\left[⟨j_{\mu }(x)\dots A_{\beta }(x_k)\dots ⟩-i{\delta }^4(x-x_k)g_{\mu \beta }⟨\dots ⟩\right]\\ =⟨j_{\mu }(x)\dots j_{\alpha }\left(x_k\right)\dots ⟩+{\square }_{\mu \alpha }^k\square D_F\left(x,x_k\right)⟨\dots ⟩,\end{array}\text{\hspace{1em}(14.150)}$$

其中我们在第二行替换了 $-i{\delta }^4(x-x_k)=\square D_F(x,x_k)$ 以连接到微扰展开，如第 7.1 节所述。第一项代表用流替换光子场。第二项代表两个外光子彼此的缩并。用图表示为：其中 $\otimes$ 表示流插入。由于两个外光子的缩并给出一个不连通的费曼图，它对 $S$ 矩阵没有贡献。因此，

$${\square }_{\alpha \beta }^k{\square }_{\mu \nu }⟨A_{\nu }(x)\dots A_{\beta }\left(x_k\right)\dots ⟩=⟨j_{\mu }(x)\dots j_{\alpha }\left(x_k\right)\dots ⟩.\text{\hspace{1em}(14.152)}$$

这一结果是涉及光子的图的一个非常普遍且有用的性质：QED 中涉及光子且去除了外偏振态的 $S$ 矩阵元等于涉及流的时间排序乘积。

对于不假设外动量 $p_i$ 在壳上的 $S$ 矩阵元，这也是成立的。

如果我们接着将式 (14.148) 中的偏振态 ${ϵ}_{\mu }$ 替换为相关光子的动量 $p_{\mu }$，我们发现

$$\begin{array}{l}⟨p\dots {ϵ}_k\dots |S|\dots ⟩=\left[i^n\int d^{4}x{e}^{ipx}\int d^4{x}_1{e}^{i{p}_k{x}_k}\int d^4{y}_i{e}^{i{q}_{1}y}(i\partial {/}_y+m_1)\dots \right]\\ \times {\partial }_{\mu }⟨j_{\mu }(x)\dots j_{\alpha }(x_k)\dots \psi (y)\dots ⟩\\ =\left[\left(q_1^{\prime }-m_1\right)\dots \right]p_{\mu }{M}^{\mu \alpha \dots {\alpha }_b}\left(p,p_1\dots p_b,q_1\dots q_f\right),\end{array}\text{\hspace{1em}(14.153)}$$

其中 $m_i$ 是费米子的质量 $q_i^2=m_i^2$，而 $M^{\mu \alpha \dots {\alpha }_b}$ 由式 (14.145) 给出。

利用 Ward-Takahashi 恒等式，即式 (14.147)，这变为

$$⟨p\dots {ϵ}_k\dots |S|\dots ⟩=\pm e[(q_1-m_1)\dots ]\sum _j{Q}_i{M}^{\alpha \dots {\alpha }_b}\left(p_1,\dots ,q_j\pm p,\dots ,q_f\right)\text{\hspace{1em}(14.154)}$$

用图的语言，我们得到了为了得到这些图，我们首先如式 (14.151) 那样用流替换外光子，然后移除与偏振态为 ${ϵ}_{\mu }$ 的光子相关的流，并按照式 (14.147) 的规定将其动量 $p^{\mu }$ 馈入每一个可能的外费米子中。

现在，式 (14.154) 求和中的每一项在 $(q_i\pm p{)}^2=m_i^2$ 处有一个极点，而不是在 $q_i^2-m_i^2$ 处，并且当乘以预因子 $q_i^{\prime }-m_i=\frac{q_i^2-m_i^2}{q_i^{\prime }+m_i}$ 时将消失，因为 $q_i$ 是在壳上的。因此，该求和消失，Ward 恒等式得证。注意这一证明是非微扰的，并且无论是否假设外光子满足 $p^2=0$ 都成立。

协变规范参数无关性

推导 · 作者利用 Ward 恒等式证明了 $S$ 矩阵元独立于协变规范参数 $\xi$。证明依赖于外费米子在壳的条件，但不要求外光子在壳。

概念：协变规范参数无关性（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

Another consequence of the proof of the Ward identity in the previous section is that it lets us also prove gauge invariance in the sense of independence of the covariant gauge parameter  $\xi$ .

Therefore, the matrix element is independent of  $\xi$ . This proof requires the external fermions to be on-shell

PDF 文件页：177；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-14:u0419；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

上一节中 Ward 恒等式证明的另一个后果是，它让我们也能证明规范不变性，即独立于协变规范参数 $\xi$ 的意义下的规范不变性。考虑微扰论中 $e^n$ 阶的任意 $S$ 矩阵元，涉及 $b$ 个外光子和 $f$ 个外费米子。在该阶贡献的所有图都将涉及相同数量的内光子，即 $m=\frac{b-n}{2}$，因为每个外光子给出一个 $e$ 因子，而每个内光子给出两个 $e$ 因子。因此，振幅可以写成对 $m$ 个传播子的求和：

$$\begin{array}{l}\mathcal{M}=e^n{ϵ}_1^{{\alpha }_b}\dots {ϵ}_b^{{\alpha }_b}\int d^4{k}_1\dots d^4{k}_m{\Pi }_{{\mu }_1{\nu }_1}(k_1)\dots {\Pi }_{{\mu }_m{\nu }_m}(k_m)\\ \times {\mathcal{M}}^{{\mu }_1{\nu }_1\dots {\mu }_m{\nu }_m{\alpha }_1\dots {\alpha }_n}\left(\dots k_i\dots q_i\right),\end{array}\text{\hspace{1em}(14.156)}$$

其中 $q_i$ 是所有外动量，${ϵ}_i^{{\alpha }_i}$ 是外光子偏振态。这里右侧的 ${\mathcal{M}}^{{\mu }_1\dots }$ 可以写成流的时间排序乘积的矩阵元的积分，并在 $e=0$ 处取值，即在自由理论中。

根据 Ward 恒等式，我们看到它并不要求光子满足 $p^2=0$，有 $p_{{\mu }_1}{\mathcal{M}}^{{\mu }_1\dots }=0$。因此，如果我们用下式替换任意一个光子传播子

$${\Pi }_{\mu \nu }(k)\to {\Pi }_{\mu \nu }(k)+\xi k_{\mu }{k}_{\nu },\text{\hspace{1em}(14.157)}$$

修正项将会消失。因此，矩阵元独立于 $\xi$。这一证明要求外费米子在壳上，否则会有接触相互作用在右侧给出额外的矩阵元。它并不要求外光子在壳上。

福里定理

引入 · 作者陈述福里定理：若 $n$ 为奇数，则 $⟨\Omega |T\{A_{{\mu }_1}(q_1)\dots A_{{\mu }_n}(q_n)\}|\Omega ⟩=0$，并指出它是电荷共轭 $C$ 不变性的推论。

概念：福里定理（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

Furry's theorem states that  $\langle \Omega |T\{A_{\mu_1}(q_1)\dots A_{\mu_n}(q_n)\} |\Omega \rangle = 0$  if  $n$  is odd. It is a consequence of charge-conjugation  $C$  invariance.

PDF 文件页：177；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-14:u0458；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

14.2 福里定理指出，若 $n$ 为奇数，则 $⟨\Omega |T\{A_{{\mu }_1}(q_1)\dots A_{{\mu }_n}(q_n)\}|\Omega ⟩=0$。它是电荷共轭 $C$ 不变性的一个推论。

后文使用：电荷共轭不变性。

电荷共轭不变性

回指 · 作者指出电荷共轭 $C$ 不变性是福里定理的来源；在标量 QED 中，电荷共轭交换 $\varphi$ 与 ${\varphi }^{\star }$；在标准模型中，电荷共轭被弱相互作用破坏。

概念：电荷共轭不变性（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

It is a consequence of charge-conjugation  $C$  invariance.

In scalar QED, charge conjugation swaps  $\phi$  and  $\phi^{\star}$ .

In the Standard Model, charge conjugation is violated by the weak interactions.

PDF 文件页：177, 178；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-14:u0458；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

14.2 福里定理指出，若 $n$ 为奇数，则 $⟨\Omega |T\{A_{{\mu }_1}(q_1)\dots A_{{\mu }_n}(q_n)\}|\Omega ⟩=0$。它是电荷共轭 $C$ 不变性的一个推论。

(a) 在标量 QED 中，电荷共轭交换 $\varphi$ 与 ${\varphi }^{\star }$。为使拉格朗日量保持不变，$A_{\mu }$ 必须如何变换？ (b) 利用路径积分，在标量 QED 中非微扰地证明福里定理。 (c) 如果光子是离壳的，或者仅仅是在壳上的，福里定理是否成立？ (d) 在 QED 中证明福里定理。

(e) 在标准模型中，电荷共轭被弱相互作用破坏。对于光子的关联函数，你的证明在标准模型中是否仍然有效，还是你预期福里定理会存在微小的破坏？

使用前文：福里定理。模型判断为使用；原文：It is a consequence of charge-conjugation $C$ invariance.

路径积分测度的构造

引入 · 作者指出，通过显式构造满足场算符本征方程的所有态，是定义路径积分上测度的一种方法。

概念：路径积分测度的构造（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

This is one way to define the measure on the path integral.

PDF 文件页：178；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-14:u0463；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

14.4 在本题中，你将显式地构造出所有满足式 (14.19)（即 $\hat{\varphi }(\vec{x})|\Phi ⟩=\Phi (\vec{x})|\Phi ⟩$）的态。这是定义路径积分上测度的一种方法。

后文使用：场本征态。

场本征态

回指 · 作者要求显式构造满足 $\hat{\varphi }(\vec{x})|\Phi ⟩=\Phi (\vec{x})|\Phi ⟩$ 的所有态 $|\Phi ⟩$，并指出这是定义路径积分测度的一种方法；同时要求从单谐振子的位置本征态出发，将该构造推广到场论，并证明这些本征态满足式 (14.22) 的正交关系。

概念：场本征态（临时）

原文（OCR，未逐页核实）

In this problem, you will construct all the states that satisfy Eq. (14.19),  $\hat{\phi} (\vec{x})|\Phi \rangle = \Phi (\vec{x})|\Phi \rangle$ , explicitly. This is one way to define the measure on the path integral.

Generalize the above construction to field theory, to find the eigenstates  $|\Phi \rangle$  of  $\hat{\phi} (\vec{x})$  that satisfy  $\hat{\phi} (\vec{x})|\Phi \rangle = \Phi (\vec{x})|\Phi \rangle$

PDF 文件页：178；来源：schwartz-gauge-mineru-20261012；单元：schwartz-14:u0463；模型：qwen3.8-max。

候选译文（机器生成，未审阅）

14.4 在本题中，你将显式地构造出所有满足式 (14.19)（即 $\hat{\varphi }(\vec{x})|\Phi ⟩=\Phi (\vec{x})|\Phi ⟩$）的态。这是定义路径积分上测度的一种方法。

(a) 用产生算符作用于真空的形式，写出单个谐振子 $\hat{x}=c(a+a^{†})$ 的本征态。也就是说，求出 $f_z\left(a^{†}\right)$ 使得 $\hat{x}|\psi ⟩=z|\psi ⟩$，其中 $|\psi ⟩=f_z(a^{†})|0⟩$ (b) 将上述构造推广到场论，求出满足 $\hat{\varphi }(\vec{x})|\Phi ⟩=\Phi (\vec{x})|\Phi ⟩$ 的 $\hat{\varphi }(\vec{x})$ 的本征态 $|\Phi ⟩$ (c) 证明这些本征态满足正交关系式 (14.22)。

使用前文：场本征态（湮灭算符部分）。模型判断为使用；原文：Prove that these eigenstates satisfy the orthogonality relation Eq. (14.22).

使用前文：路径积分测度的构造。模型判断为使用；原文：This is one way to define the measure on the path integral.

未能定位的关系（46）

• 细化 · 惠更斯原理（临时）：同一单元中没有引用同一原文的陈述
• 使用 · 路径积分推导（临时）：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 细化 · 路径积分表达式（临时）：同一单元中没有引用同一原文的陈述
• 使用 · 薛定谔绘景：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 使用 · 正则共轭算符（临时）：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 使用 · 场本征态（临时）：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 使用 · 路径积分中的时间排序（临时）：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 使用 · 路径积分中的时间排序（临时）：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 使用 · 生成泛函（临时）：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 细化 · 生成泛函（临时）：同一单元中没有引用同一原文的陈述
• 使用 · 生成泛函（临时）：同一单元中没有引用同一原文的陈述
• 使用 · 传播子 $\Pi (x-y)$（临时）：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 细化 · 自由真空与自由量子场（临时）：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 细化 · 自由真空与自由量子场（临时）：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 回指 · 真空泡从 S 矩阵连通部分中脱落（临时）：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 回指 · 真空泡从 S 矩阵连通部分中脱落（临时）：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 使用 · 自由真空振幅的高斯形式（临时）：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 使用 · 反射正定性（临时）：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 使用 · 规范不变性与 $\xi$ 无关性（临时）：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 使用 · 规范不变性与 $\xi$ 无关性（临时）：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 回指 · 规范固定项（临时）：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 回指 · 规范固定项（临时）：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 使用 · Stueckelberg 技巧（临时）：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 使用 · 格拉斯曼代数：同一单元中没有引用同一原文的陈述
• 使用 · 偶次与奇次子代数（临时）：同一单元中没有引用同一原文的陈述
• 细化 · 格拉斯曼代数：同一单元中没有引用同一原文的陈述
• 使用 · 路径积分表达式（临时）：同一单元中没有引用同一原文的陈述
• 使用 · 狄拉克传播子（临时）：同一单元中没有引用同一原文的陈述
• 回指 · 费米子路径积分的连续极限形式（临时）：同一单元中没有引用同一原文的陈述
• 回指 · Schwinger-Dyson 方程（临时）：同一单元中没有引用同一原文的陈述
• 使用 · Schwinger-Dyson 方程（临时）：同一单元中没有引用同一原文的陈述
• 使用 · 自由标量场理论中两点函数的施温格-戴森方程（临时）：同一单元中没有引用同一原文的陈述
• 使用 · 存在相互作用时两点函数的施温格-戴森方程（临时）：同一单元中没有引用同一原文的陈述
• 细化 · 施温格-戴森微分方程（临时）：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 细化 · 施温格-戴森微分方程（临时）：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 使用 · 施温格-戴森微分方程（临时）：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 使用 · Ward-Takahashi 恒等式（临时）：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 使用 · 与电荷守恒相关联的施温格-戴森方程（临时）：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 使用 · 与电荷守恒相关联的施温格-戴森方程（临时）：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 回指 · 与电荷守恒相关联的施温格-戴森方程（临时）：同一单元中没有引用同一原文的陈述
• 使用 · Ward-Takahashi 恒等式（临时）：同一单元中没有引用同一原文的陈述
• 使用 · Ward 恒等式的非微扰证明（临时）：同一单元中没有引用同一原文的陈述
• 使用 · 协变规范参数无关性（临时）：同一单元中没有引用同一原文的陈述
• 使用 · QED 中 S 矩阵元与流的时间排序乘积的等价性（临时）：同一单元中没有引用同一原文的陈述
• 使用 · 福里定理（临时）：本书中尚无关于该概念的更早陈述
• 使用 · 路径积分测度的构造（临时）：本书中尚无关于该概念的更早陈述