高斯积分（临时概念）

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原文用语：Gaussian integral；高斯积分

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Schwartz · local-experiment

• 引入：一般的一维高斯积分定义为 $\mathcal{I}={\int }_{-\infty }^{\infty }dp{e}^{-\frac{1}{2}a{p}^2+Jp}$。
• 回指：对于多维积分，只需推广到多个 $p_i$（可为复数），$a{p}^2$ 替换为 $p_i^{\star }{a}_{ij}{p}_j={\vec{p}}^{†}\mathbf{A}\vec{p}$，其中 $\mathbf{A}$ 为矩阵；对角化 $\mathbf{A}$ 后积分变为对 $p_i$ 的积分的乘积，结果是一维高斯积分的乘积，其中 $a$ 被 $\mathbf{A}$ 的一个本征值取代。
• 回指：利用式 (14.6) 中的高斯积分 $\int dp\exp \left(-\frac{1}{2}a{p}^2+Jp\right)=\sqrt{\frac{2\pi }{a}}\exp \left(\frac{J^2}{2a}\right)$，取 $a=i\frac{\delta t}{m}$ 和 $J=i(x_{j+1}-x_j)$，可计算矩阵元。

来源与记录

建立于 Schwartz · local-experiment 的书内身份 c-d646a01feef37db40312。

永久标识：urn:uuid:4f1b12a6-5f82-4e7c-a4e7-1176c44e4300；机器入库总览