边缘算子（临时概念）

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原文用语：boundary operator； $\partial_{r}$

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引入： $r$ -单形 $σ_{r}$ 的边缘记作 $\partial_{r} σ_{r}$ ； $\partial_{r}$ 应被理解为一个作用在 $σ_{r}$ 上以产生其边缘的算子。
推导：通过低维例子说明，为使 $(p_{0} p_{2})$ 的边界与 $(p_{0} p_{1}) + (p_{1} p_{2})$ 的边界一致，应取 $\partial_{1} (p_{0} p_{2}) = p_{2} - p_{0}$ ；由此对一般 $r$ -单形 $σ_{r} (p_{0} \dots p_{r})$ （ $r > 0$ ）定义其边界 $\partial_{r} σ_{r}$ 为 $(r - 1)$ -链，并形式地定义 $\partial_{0} σ_{0} = 0$ 。
回指：算子 $\partial_{r}$ 线性地作用于 $C_{r} (K)$ 的元素 $c = \sum_{i} c_{i} σ_{r, i}$ 上，其右端是 $C_{r - 1} (K)$ 的元素，因此 $\partial_{r}$ 定义了映射 $\partial_{r} : C_{r} (K) \to C_{r - 1} (K)$ ； $\partial_{r}$ 称为边缘算子，且是一个同态。

来源与记录

建立于 Nakahara · second-edition-local 的书内身份 c-2ce9006c70452d9f6f4c。

永久标识：urn:uuid:63e6354d-b1e8-4f50-835c-9b4368891ad8；机器入库总览